Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3
Подождите немного. Документ загружается.
§1.
Диференціальні рівняння першого порядку
31
• Права частина цього рівняння є однорідною функцією нульового
виміру, тому що
. . (кх)
2
+(ку)
2
х
2
+у
2
.
0
Д\х,\у)=
у
/—= ' =Х Ах,у) •
2(Ах)
2
2х
2
Отже, задане
рівняння
є однорідним відносно змінних. Застосуємо під-
становку
у
—
их.
Тоді
у'
—
и'х + и.
Підставивши у та у' в задане рівняння, отримаємо рівняння з відо-
кремленими змінними, звідки дістанемо загальний інтеграл. Процес розв'я-
зання виглядає так:
, х
2
+и
2
х
2
, \ + и
2
,
(и-\)
2
хи + и = , хи = и , хи = ,
2х
2
2 2
сій (и-1)
2
ах 2йи
е
йх г 2а"и
X - - 1-і
г ах _
(•
^
ах 2 х "(и-1)
2
' > х > (и-1)
2
'
\п\х\ + \п\С\ = -~^—,
и-1
ІпІСх| = —, ]п\Сх\=-
2х
X
Остаточно загальний інтефал мас вигляд
2х
Сх = е
х
~
у
.
При відокремленні змінних ми поділили на х * 0 і на (и-1)
2
^0.
Точки, в яких х = 0 , не входять в область визначення правої частини зада-
ного рівняння, тому х = 0 не є розв'язком рівняння.
При и -
1
= 0 , маємо у = х .
Функція у = х перетворює задане рівняння в тотожність і є його особ-
ливим розв'язком, який слід вказувати додатково до знайденого інтеграла. ^
Приклад 8. Розв'язати рівняння:
а)
Оу_
=
х - у +1 . ^ г
х + у + 2
)сіх + (2х + 2у-\)с1у = 0.
сіх х + у - З
32
Глава
1.
Диференціальні рівняння
•
а)
*
=
£Г21±1.
ах
х + у-3
Задане рівняння
є
рівнянням вигляду:
>_у ' а
і
х + Ь
]
у + с
]
уа
2
х
+ Ь
2
у + с
2
Воно зводиться
до
однорідного відносно змінних,
бо
Д
=
1
-1
а
2
Ь
2
1
І
2*0.
Покладемо
Тоді
х
= х
х
+ Ь, у - у^ + к .
ау
_ аУ\
ах
ах,
Запишемо задане рівняння
у
нових координатах:
ау\
_ Х\ - у
х
+ к - к + \
йбс,
х^ + у\ +
И
+
к
—
3
Для знаходження
И і к
складемо систему:
\И-к
+ ]=0,
[Н
+ к-3 = 0,
звідки, розв'язавши систему, отримаємо
И = 1, к = 2 .
Тоді
х
=
дґ,+1,
у = У\ +2.
Отже, маємо однорідне рівняння відносно змінних
х, та у
х
:
Фі
=
*і - У\
а\\ х^ +у\
Підстановкою
У\ = их
]
, у\= и'х
х
+ и
однорідне рівняння зводиться
до
рівняння
з
відокремленими змінними:
и
+ х
сій
1-й
(\ +
и)іїи
йХ\
Лх
х
1
+ и
(\ + и)а"и
гсЬс,
\-2и-и
1
1 —
2и
—
и
1
1 г
4(} - 2и - и
2
)
2
1-2и-и
2
я.
1п
1-2к-и~ = Іп
я,—ІпСі,
(\-2и-и
2
)х
2
=
С,.
§1.
Диференціальні рівняння першого порядку
33
у.
Врахуємо, що и = — , годі
х,
2
а УІ
Л
V- -.2
=
С,
або
*І -
2
*і.уі ->т =
С
І •
Враховуючи, що х, = х-1, у
]
= у-2 , отримаємо загальний інтег-
рал у вигляді:
х
2
-2ху-у
2
+ 2х + 6у = С .
або
б) (х + у + 2)ах + (2х + 2у-\)с1у = 0.
Запишемо задане рівняння у вигляді
х+у + 2
у = -
2х + 2у-1
Воно є рівнянням вигляду:
/ = /
х + у + 2
•2х-2у + \
(
а
і
х + Ь
]
у + с
]
^
а
2
х + Ь
2
у + с
2
і зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними, бо
а
}
6,
1
1
а
2
Ь
2
-2
-2
д= ' = =о.
Покладемо г-х + у.
Тоді у = 2-х, у -г - \.
„.
. / х + у + 2
Підставимо вирази для у і у в задане рівняння у = - .
-2х-2>> + 1
Маємо
'
2+2
2
— І —
.
-22 +
1
Звідки отримуємо рівняння з відокремлюваними змінними
СІ2
2
+ 2
сіх
ах -22 +
1
-2 + 3
або
+ 1,
сіг.
ах
2-3
•22 +
1
сіх 2г-1
Відокремлюючи змінні та інтегруючи, маємо
22-1
2-3
-сІ2
= ах, Г——-с& = х + С ,
1
2-3
34
Глава 1. Диференціальні рівняння
2[_!_
й
Ь-[-^-
= х + С,
1
2-3
}
2-3
2г + 61п|2-3|-1п|2-3|=х + С,
2г +
5Іп|г-3|
= х + С.
Повертаючись до старих змінних, тобто враховуючи, що 2 = х + у,
отримуємо загальний інтеграл у вигляді
х + 2і> + 61п|х +
.у-3|
= С."*
Лінійні диференціальні рівняння та звідні до них
Приклад 9. Знайти загальний розв'язок диференціально-
го рівняння
у +—-Х.
X
• Це лінійне диференціальне рівняння першого порядку вигляду
у'+Р(х)у
= Дх),
деР(х)=-, Дх) = х\
X
Розв'язання цього рівняння виконаємо трьома способами.
Спосіб І. Метод Бернуллі.
Загальний розв'язок диференціального рівняння шукаємо у вигляді
у = ну,
де и = и(х), V = у(х).
Підставимо
у = НУ, у'
—
и'у + иу
у задане диференціальне рівняння.
Маємо:
, , 2иу з
иу + иу н = х ,
х
( > ^\ з
и у + п V Н = х .
І х )
Доберемо функцію у(х) так, щоб вираз у дужках дорівнював нулю,
внаслідок чого останнє рівняння спроститься.
§
1.
Диференціальні рівняння першого порядку
35
Отримаємо
V + = 0,
X
и\ = X
і
.
Інтегруючи перше з цих рівнянь, дістанемо
а\ 2У
•
+ — = 0,
ах х
1п V =-2 1п х
}
V
}
X
1
Підставивши V = — у друге рівняння системи, дістанемо
х
'
1
з
м — = х ,
X"
сій 5
— -х ,
сіх
сіп = х сіх,
и = — + С.
6
Тоді загальний розв'язок диференціального рівняння приймає вигляд:
\ , 4
у
х
+ С
С
Спосіб 2. Метод Лагранжа (метод варіації довільної сталої).
Запишемо однорідне диференціальне рівняння
/+221 = 0,
х
яке відповідає заданому диференціальному рівнянню
'
2
у у
У + — = х,
х
та знайдемо його загальний розв'язок.
Маємо:
^
+
^ = 0,
СІХ X
Ф_
=
_2у_
СІХ X
ау _ /.ах г «у 2
Г
у х у •' X
1пМ = -21п|х| + Іп|С|,
2сіх ;ау ^ г сіх
у =
-
с
36
Глава 1. Диференціальні рівняння
Вважаючи С функцією від х, загальний розв'язок вихідного дифе-
ренціального рівняння шукаємо у вигляді:
Знаходимо у':
X \ X
Підставимо у і у' у вихідне рівняння:
у'
= С\х)\
+
С(х){~
С'(х) 2С(х) 2С(х)
+ -
х
3
С'(х) = х
5
.
Інтегруючи, маємо
С(х) = |х
5
ах=^- + С,.
Отже, загальний розв'язок вихідного диференціального рівняння:
С(х)
=
1
х
1
х
2
(..6
Спосіб 3. Метод Ейлера (метод інтегрувального множника).
Згідно з цим методом виберемо інтегрувальний множник и(х) у вигляді
І7
Л
21п|
Помножимо обидві частини заданого рівняння на інтегрувальний
9
:
X' .
множник |і = х :
> 2 2 5
у -х + — -х
1
=х ,
X
у'х
2
+2ух
—
х
5
.
Звідки маємо зліва похідну функції ух :
Інтегруючи, маємо:
(ух
2
У = х
5
.
§1.
Диференціальні рівняння першого порядку
37
Приклад 10. Розв'язати рівняння
(2ху +
у
3
)сіу-ах
= 0.
• Запишемо задане рівняння у вигляді:
1
2ху + у
Воно є нелінійним рівнянням відносно функції у = у(х). Але якщо
змінити ролі шуканої функції та аргументу, то рівняння <лжлінійним відносно
функції х = х(у) та її
похідної:
х'
= 2ху + у
3
або
х'-2ху
= у
3
.
Розв'яжемо це рівняння методом Бернуллі:
х = «V, х' = и'у + и\ .
Тут и = и(у),
V
=
у(_у).
Тоді
Ї/ у + ш> — 2у • иу — у ,
и\ + и(\'-2уу) = у
3
.
Маємо
V -2у\ = 0,
[иУ = у
3
.
Розв'язуємо перше рівняння системи:
— = 2уау,
V
ІП | V | = у
2
+ІПІСІ,
Підставляємо отриманий розв'язок у друге рівняння системи:
аи у
2
з
сій = у
3
е~
у
ау,
и = Іу
3
е~
і2
ау^^\у
2
е'
у2
ау
2
=-^е-
у
\\ + у
2
) + С.
Останній результат отримано інтегруванням частинами.
38
Глава 1. Диференціальні рівняння
Отже, маємо
або
х =
т=\-^е-
у
\\
+ у
2
) + С \е
г
х = Се
у1
--(\ + у
2
).<
2
Приклад 11. Знайти загальний розв'язок рівняння
^
=
^ + ^І
ах 2х 2у
• Перепишемо задане рівняння у вигляді:
/ у _ х
2
2х 2у
Це рівняння Бернуллі, яке має вигляд:
у'+Р(х)у
= Дх)у
а
,
1 х
2
д.е Р(х) = -—х, /00
=
—, а
=
-1.
Перетворимо задане рівняння до вигляду
X
Розв'язання цього рівняння виконаємо двома способами.
2уу = х .
Спосіб 1. Застосуємо підстановку
= =
у
]
~
а
=у\
'-' = 2уу'.
Тоді отримуємо рівняння, яке є лінійним рівнянням першого порядку
/ 2 9
2 — Х~.
X
Розв'яжемо його методом Бернуллі:
2 = ш, 2 - и'у + и\>'.
Після підстановки маємо
и V +
XIV
= X ,
і?
1.
Диференціальні рівняння першого порядку
39
х
и'у = х
2
.
З першого рівняння системи масмо:
—
= —, Іп| у| =
1п|х|,
у = х.
V
X
З другого рівняння системи:
сій -> . х
1
х = х , сіп
—
х ах, и =
н
С .
ах
2
Тоді
х"
2
= «V = -с х =
У
Сх.
2
Врахуємо, що г = у .
Тоді загальний інтеграл диференціального рівняння:
і
у - —
+
Сх.
2
Спосіб 2. Застосовуємо безпосередньо до заданого диференціально-
го рівняння, записаного у вигляді
7
2уу =
х
,
X
підстановку: у = иу .
Враховуючи, що у' = и'у + «у', отримуємо
2иу (и'у + НУ') -
Л
(«V)'
і
' 2 , т 2 '
2мм V + 2и УУ -
Звідси
2шУ + м
2
у
2У'-*
]=х
2
,
х
2У'-- = 0,
2ш/'у
2
= х
2
.
Перше рівняння системи дає розв'язок:
2Л _ V ау _ сіх _
ах х' V 2х'
40
Глава 1. Диференціальні рівняння
Друге рівняння системи прийме вигляд:
2и — х = х
2
, 2исІи = хах,
ах
Отже,
«
2
=— + С, и=і — + С .
2 V 2
У = ^ =
Л
|^-+С-^=^+Сх
або
У
2
=
£І+сх.^
2
Приклад
12. Розв'язати задане рівняння Ріккаті, врахо-
вуючи
відомий частинний розв'язок >'
1
(х) заданого рівняння:
\ ' 2 2 1
а) У = У —2", у
1
(х) = -;
X
х
б) у' +
2у(у-х)
= \, у
]
(х) = х.
• а) задане рівняння у' - у
1
— є рівнянням Ріккаті
у'+Р(х)у
+ 0(х)у
г
=/(х),
де Р(х) = 0, 0(х)=\, /(х) = -\.
х
1
Оскільки у
х
(х) = — є частинним розв'язком цього рівняння (перевір-
те!),
то заміна
1
У~У\ +г = - + 2
х
зводить його до рівняння Бернуллі.
Підставимо у = — + г, у' -—-г
+ г
' У задане рівняння:
х х
1
1 , (І V 2