Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3
Подождите немного. Документ загружается.
§ 1. Індивідуальне завдання 1.
461
12.
а)
у'+у'-2у = 0; б) 7у"-/ = 0.
13.
а)
у"-4у'+5у = 0;
б)
у
ІУ
-Зу"
+
3у"-у' = 0
14.
а)
у"+\2у'+31у
= 0; б) у' -у
7
'' = 0.
15.
а)
у"
+ 4у'+5у = 0 ;
б) у"+3у"+2у' = 0.
16.
а)
/-б/
= 0;
б) у"'-5у"+3у' + 9у =
=
0.
17.
а)
/-3/
= 0;
б) у
,у
-6у"+9у* = 0
18.
а)
у'-2у'-15у = 0; б) у" + 2у* + у" = 0.
19.
а)
у'-3у'-10у = 0;
б) у"+5у' + 7у'+3у =
=
0.
20.
а)
у'-7у'+8у = 0;
б) у"' -2у"+у" = 0.
21.
а)
у"-4у'-2\у
= 0; 'б) у
г
-Зу" + у"" = 0.
22.
а)
у'-2у'+2у = 0;
б) у
п
+4у
ж
+ 4/ = 0
23.
а)
9у"+6у' + у = 0 ;
б) у"' +у' = 0.
24.
а)
у"-1у'-%у
= 0;
б) у"-у = 0.
25.
а)
2у"+3у'+у = 0;
б)
у"
+4у" +5у' +2у -= 0.
26.
а)
у"
+ 4у'+ \3у - 0 ;
б) у" -6у' + 9у = 0.
27.
а)
у"-6у'
+ 9у = 0 ; б) у"-5у" + 7у'-3у =
0.
28.
а)
/-3/-4у = 0;
б)
у'"-у'-9у'
+
9у
=
0.
29.
а) у"-10у' + 21у = 0; б) у
/к
-4у' = 0.
30.
а)
у'-3у'-18у = 0;
б) у"" +
у"+6у'
= 0.
31.
а)
у"+6у' = 0;
б) у
р
+8у' = 0.
Задача 5. [гл 1, §2, приклади 15-21 ]
Знайти частинний розв'язок неоднорідного диференціального рівняння
зі сталими коефіцієнтами, що задовольняє задані початкові умови.
Варіанти завдань
1.
у'-2/ = 2е\ у(1) = -1,у'(1) = 0.
2.
у'-9у = е
3ї
созх, у(0) = 1, у'(0) = 1.
3.
у' + 8у'+16у = 16х
2
-16х + 66, у(0) = 3, у'(0) = 0.
462
Глава 5, Типові розрахункові завдання
4.
у"-6у'
+25у = 2зіпх + Зсозх, ДО) = 0, >>'(0) = 1.
5.
у' + 2у' + 5у = -&е~" зіп2х, ДО) = 2, /(0) = 6 .
6. у"— 2у = 2хе
,г
(созх-зіпх), Д0) = 0,
і>'(0)
= 1.
7. /-2/ + 2>' =
4е
д:
со5х,
Дл) = яе\
/(я)^*.
8. у"-4у'+20у = \6хе
2х
, ДО) = 2, /(0) = 1.
9. у* + у = 4хсозх, ДО) = 1, Д(0) =
1
.
10.
/Ч25>> = е"
г
(соз5х-105Іп5х), ДО) = 2, /(0) = 0.
11.
/ + 5у' = 12е
х
, >'(0) = 3, /(0) = 1.
12.
у' + 4у = е
х
, Д0) =
1,/(0)
= 1.
13.
/-12/ + 36у = 32соз2х + 24зіп2х, ДО) = 2, у'(0) = 4 .
14.
у" - 4/ + 4у = зіп 2х + 2е
1
, >>(0) = 0, >''(0) = 2 .
15.
4/-5/ + .у =(4х + 2)е\ Д0) =
1,/(0)
= -1 .
16.
5у" + 9у'-2у = х
3
-2х, у(0) = 2, /(0) = 1.
17.
/ + 3у
18.
/ +
2>>
19.
у" + 2у
20.
/-6>-
21.
у'-іу
22.
у' + %у
23.
/ + 5у
-4у = е"
4і
соз2х, ДО) = 1, /(0) = -1
+ 2>> = 2х
2
+8х + 6, ДО) = 2,/(0) = 5 .
-2у=2х
2
+8х + 6, Д0) =
1,/(0)
= 4.
+ 25у - 9зіп4х - 24соз4х, ДО) = 2, /(0) = -2 .
+ 12>> = хе
3л
+2е\ ДО) = 2, /(0) = 3.
= 18х + 60х
2
-32х
3
, ДО) =
5,/(0)
= 1.
+ 6у = 52 зіп 2х~ ДО) = -2, /(0) = 4 .
24.
/-8/+16.У = 2хе
4
\ ДО) = 1, /(0) = 2 .
25.
у' + у'-2у = (2х-\)е-* ,
Д0)=1,
/(0) = 4 .
26.
/ + /-12.у = е
4
'
г
(8х+11), ДО) = 3, у'(0) =
1
.
27.
/-у = (14-16х)<Г\ Д0) = 0, /(0) = -1.
28.
у" + у =
х
3
-4х
2
+7х-10, ДО) = 2,/(0) = 6 .
29.
/-9/+18>> = 26со5х-45Іпх, ДО) = 1, /(0) = 8 .
30.
/-2/ + 37.У = 36е
х
соз6х, Д0) = 0, /(0) = 6.
31.
/-4/ + 207 = 16хе
2дг
, ДО) = 1, /(0) = 2 .
§
1.
Індивідуальне завдання 1.
463
Задача 6. [ гл. 1, § 2, приклади 22, 23 ]
Розв'язати задане неоднорідне диференціальне рівняння зі сталими
коефіцієнтами, застосувавши метод варіації довільної сталої.
у +у = Щх .
3.
у"-2у'
+ у-
5.
у + 4у--
Варіанти завдань
2.
у" + у = сі§х.
4.
у"-2у'+2у = -^—
зіпх
со$2х
7.
у'-у' =
е
х
\%х.
9. у"-2у = 4х
2
е"
2
.
11.
у*-3_у' + 2і' = Зх + 55Іп2х .
13.
у" + 6у'+\3у = хе
х
+ — .
хе
х
15.
у"-2у'+\0у = 5іп3х + е* .
17.
у"-4у'
+ 4у
19.
у"-4у'=
16сЬ4х.
9
21.
у +9у =
созЗх
23.
/
+
21
=
І
СЇВ
£.
' 4 4 2
25.
у"+ 2у +2у = е~
х
с\%х .
27.
у
'-3у'+2у-
\ + е~
29. у" - у = е
1х
со$(е
х
).
51П71Х
_2
31.
_у +я у = .
6. у +у =
-
51ПХ
8. у" + 2у' + у = ЗЄ~
х
уі\ + Х .
10.
у"-4у'
+ 4у - $Ь2х .
12.
у"
+ 9у =
-
'
51П.5Х
14.
у +2у + 5_у =
5Іп2х
16.
у -у.
е
х
-1
18.
/ + .у = г§
2
х.
20.
/-3/ = 2сЬЗх.
22.
у"-3у'+2у = -
3 + е
24. у'+ 9у-
5Іп2х
26.
у*
+ 6у' +
%у
=•
2 + е"
28.
/-/^'зіп-У)
-Зі
-2х
30.
у -3/ =
9е~
3 + е
-1*
464
Глава 5. Типові розрахункові завдання
Задача 7. [ гл. І, § 3, приклади 12-15]
Розв'язати задану систему диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієн-
тами двома способами:
а) мезодом виключення,
б) методом Ейлера.
Варіанти завдань
7.
10.
1
19.
ск_
сії
±
сії
ах
сії
±
сії
сіх
її
сіу
Ті
ск_
сії
±
сії
ск
сії
±
сії
ах
її
±
сії
сіх
її
±
сії
•
2х + %у,
•
х + 4 у .
•
х + 5у,
•
-х - Зу .
••Зх-2у,
•Зх - 4у .
•х-Зу,
•
х + у .
•-1х + 3у,
-
х + 5 у .
:10х-4}>,
-х + 1у.
•
2х + 3у,
-
5х + 4у .
2.
5.
14.
20.
сіх_
сії
±
сії
ск
сії
±
сії
сіх
сії
сіу
її
сіх
її
±
сії
сіх
сії
сіу
її
сіх
сії
±
сії
ск
сії
±
сії
•Зх + у,
•
х + 4 у .
•х-5у,
•
-х-Зу .
•
Зх-2у,
•
4х + 7у .
•
х + 2у,
•
Зх + 6у .
•
х + у,
--
—2х
—
у .
•--5х + 2у,
••
х - 6у .
•2х-5у,
• 5х-6у.
3.
і
6.
9.
12.
15.
18.
21.
ск
сії
сіу
сії
ск
її'
сії
ск
її'
±.
сії
ск
її
±
сії
ск
її
±
сії
сії
±
сії
ск
її
±
сії
••Зх-2у,
•
4х +1 у .
•У,
••-2х + 3у .
•-2х,
•-у •
••х-у,
•х + у .
•
х + 4у,
•-2х + 3у.
•
—5х + 2у,
- х - 6 у .
•
х + 4у,
--2х + &у .
$2.
Індивідуальне завдання 2.
465
22
ах
—
= 3х + у,
Ж
^
= х
+
3у.
.Сії
^
= 2х + &у,
25.
і
Л
—
-х + 4у.
сії
—
-Зх - 2у,
сії
-^
= 4х + 7у .
сії
сіх
28.
31.
сії
'
±-
сії '
х + 5у,
-х-Зу .
23.
26.
і
29.
сіх
її
±
сії
СІХ
~сїі
±
сії
<Ь_
сії
±
сії
:-5х + 2.у,
•
х-бу .
•
х + 5у,
•
х-Зу .
•
-х + 2у,
•
-2х - 5у .
24.
27.
ЗО.
сіх
-
= 4х
+
у,
—
= -2х + у.
сії
^
= 8х-3у,
сії '
^
= 2х
+
у.
сії
сіх
ау
§2. Індивідуальне завдання 2.
Ряди
Задача 1. [ гл.2, § ], приклади І, 2 ]
Довести збіжність заданого ряду та знайти його суму.
Варіанти завдань
2.
у ±Л-
„=,
б" 7/7
(х + 2)
3
'
п(п+\)(п + 2)
з
у !
~,
(2/7-1)
(2« + 1)
£і 12"
7-Х
9-І
2
4-
І'
«=і
п-
"
3" +5"
6-Х
л=1
15"
1
(Зи-2)(Зи+І)
З" +2"
8-Х
Г
г£\ 4п
2
+8/7 + 3
и=1
6"
ю- X-
2/7 +
1
и=|
Л"(Л + 1)
2
•
466
Глава 5. Типові розрахункові завдання
ч-
І
1
„ТІ (2«-1)(2,7+1)
із.
£—т
1
„Т|
49/Г
2
+7/7-12
^7/7(/7
2
-1)
'7-
£
'9-І
,Т, И(И
+ 2)(И + 3)
3/7
+ 2
21-
І
„ТІ
и(л + 2)(и + і)
8/7-10
23.
І
~,(/7-1)(/7+1)(/7-2)
5/7 + 9
„ТІ /7(/7+1)(/7 + 3)
25.
£ ^
„Ті я(и+!)(>»+ 2)
°° 1
„_2
п
+ /7 - 2
29-
£—т-^ •
,ТІ 4/Т
2
+4/1-3
зі.£-*ї±-.
«=2
77(/7
2
- 1)
12.
£ ?4.
„ТІ 9«
2
-12/7-5
14-
І
/7
+ 6
„ТІ «
(77
+ 2)
(/7
+ 3)
2"+5"
16.
у.
18-
£
3-/7
20.
X
„ТІ
и(л + 1)(и + 3)
5/1-2
22.
І
я
Т
2
(я-1),і(и + 2)
/7 + 5
24-
І
-
2
(„
+
2)(п"-\)
/7-1
26.
X
~|
/7(/7+1)(/7 + 2)
/7
+ 6
28.
X
Й
Т| /7(/7+1)(/7 + 2)
4-/7
И
Т( л(й+1)(и + 2)
зо.
х-т-^ •
„ТІ 9/7
2
+3/7-20
Задача 2. [ гл.2, $ /,
приклад
3 ]
Дослідити на збіжність задані числові ряди з додатними членами.
^,
п
2
+5
/7=1 ^
2.а)Х^т;
77!
З.а) X
3-5.
..(2/7
+ 1)
„Ті 1-4...(3/7-2)
Варіанти завдань
/1-І
2/7 +
1
б)Х
б) £ —
„
=2
/7ІП/7
оо
1
2 '
в) X
^
я=
2
П
ІП
/7
(ІП ІП
п)
« 1
в
)
£
1
„=|
/7(/7
2
+4/7 + 5)
»>хм+
V
§2.
Індивідуальне завдання 2.
467
4.а)£Лі+Л ; б)£-;
5-а) X
л=1
6-а) £
/7-1
.
у 1-3-5...(2я-1) .
п + \) ' І! 2
2
>-1)! '
1)
6)1
'
. 1
агсзіп — І ;
?
£2.5.8...(3,-1)
б)
£_6^
;
\^
1-5-9...(4//-3)
'£(#1-1)!
л=1
о и п=1 2 V "
9-а) 1-1=7
«=і « +1
6)1
«Ті (2,7-1)
и-І '
10.
а)Х
л=1
1-11...(10я—9)
2/7-1
6)1
1
п=2
«л/1П77
Ч.а)!:^-
0
-'
12.
а) X
„=і 7"и(/7+1)
6)1
77+1
чЗл
л=і
V
4п
;
„~
(2/7
+ 1)
6)1
л=|
УГП
3
+ 2
13-а) І7Г
2"
,Г,
5" (2/7-1)
1 , /7+2
1
6)1
(2/7
+ 1)"
14.
а) І-т= Іп-
п=2^П
77-
„=,(477
- 1)"
«і
л=І
15.
а) X
1
77+1
;6)Х^
1+
"(2/7
+
3)Іп
/
(/7+9)
~3'Ч "
в) У——
£
77
2
1п(/7
+ 1)
В
)Х-7Л"
„=1
/7ІП
(/7+1)
«=1
„2л+1
77!
„=і п +3
и=
2
/7 ІП /7
-)Х
\2л
4/7-3
/7
+ 2'
в)
У^_
-)Х
/7
-)Х
^х
77
+ 2 У
/7
+ 3
5 +
77
~
25 + 77
/
4-5-6...(и + 3)
»)Х
//=і
в) X агссоз
~
5-7-9...(2/7 + 3)
1
агссоз —
л=і
77
2
+3
-(3/7-2)"
„=] (3/7+
2)714(77
+ 3)
оо
агсів-—
агсзіп—•=
468
Глава
5.
Типові розрахункові завдання
17.
а
18.
а
19.
а
20.
а
21.
а
22.
а
23.
а
24.
а
25.
а
26.
а
27.
а
28.
а
29.
а
30.
а
1
; б)ї "
п+2
»='^Іп
2
(я
+ 5)
«=.(2^+1)
оо
З оо |
У ; б) У (я
2
+1)агс5іп—
:
—
„Т,(/7 +
2)!-5"
^
і
ч
~ е
Л
-1
в)
>
/Ті
«+з
/7 +77 + .)
»>Х
77
+
1
-;б)
У
„"(У
+1)1п(77-2)
Тї
^
3"
(ті
+ 2)!
$111-
577+1
п=І
77
6)1
//=1
£(Зя-1)5Іп^-;
б) £
I
/і=І
и=І
ґ
2п
+ ЗУ
(
ЗТ7
2
-Т7-1
7Л7
2
-+3/7
+ 4
V
/
7
\П/ і ч7
X
/7=1
I
«=1
1.3/7+
І
1
4...(3/7
+ 1)
,,= і 2"-//!
у 3-5...(2/7+1)
,•^2 5...(3/7+2)
б)
І
и=1
б)
і
/1=1
6)1
/1=1
б)
І
'
. 1
агсхіп
—
3/7
3/7-
1
/
'/1+1
)
я=1
2/7
4/7+1
6)1
/1=1
/
,
->
\/7
/7
+ 2 )
3/7-1
І7Г
/7!
н=|
-5"(» + 3)!
V
І
1 Я+1 ЧИ 77
1
Т7=^Т
агс1
8-І^
;
б
) X 7~
,ТІ^+1
/7
2
+б'
,^(77
+
2)!
ОО
ГІП
„ТІ
(277+
1)!
б)
£ і
агсзіп-
П
+
^
2/7
+ 5
~(я-5)ІгИ(я-5)
/7
+ 3
в)
І
/7=1
"
в)£
/і=і
-)£
агссоз
77
/1=1
*>х
2я-
//=2
^(4/7+
5)^
,
^ 2/7+1
в
)
х^:—-•
»=2»
(«-0
•)£
Ц
„Ті(3+8я)гп (З+8/і)
.
2 +
/7
в)
£~ 7-
/і=і
я -я+ 4
З+
/7
„ТІ
я -2я + 9
Зя+1
»Х
,Ті (2я-1)
2
1п
2
я
•>Х
„Т,(1п(я+1)Г
і
„
=2
яІп
я
§2.
Індивідуальне завдання 2.
469
31.а)Х
5
іп(>
-і); 6)1^-; в) X
я=І я=1 -> -ПІ „
=
І
я
~3"-я!
~/7Іп(/7
+ 2)
Задача 3. [ гл.2, § 1, приклад 4 ]
Дослідити задані ряди на абсолютну та умовну збіжність.
Варіанти завдань
і- К-і)"
л=1
3/7-
2.
І(-1)"
«=|
'2/т-П"
3/7
+ 2 І '
з. К-і)
5-
X
л+|
1-4-7.
..(3/7-2)
„=і 3-5-7.
..(2/7+1)
(-1)"
4.
Х(-1)"
ІП/7
л=2
2 '
„=2
« (ІП/7)
л=1 ^
" (-!)-'
^ «-5"
-,л
л-1 -З
9-Х
и. Хн)"
2« + 2
із-Х
(-і)
„=|
(77+1)
(«+ 4)
і5-
Хнг'^Чт
/7(/7 + 2)
17.
У
(-1)1—~
£
І2/7
+
1
і'-Хн)"-^.
и=1 1-і
21.
£ (-!)-•
8ІП
^.
Я=|
23.
X
(-0
//-і
6.
Х(-і)
в
"'-т-
я=І /7
8-
ХнГ'т^-т-
5/7
(/7+1)
ю.
уіііі .
£
1П(/7
+ 1)
12.
Х(-1)"
ИІ
7-
п=1 И
14.
Х(-0
я+1
2/7
-
1
//=1
3/7
'6-Х
(-1)"
-
(2/7
+ 1) 2
2
"
+
'
3
„
18.
X ("І)"-
„=,
2/7
+ 2
(-1)"
20.
У
„ТІ
(2/7+1)2
22.
Х(-1)"
+
'
л=1
24.
Х(-1)"
2я+1 '
(/7+1)
П
3/2
я=1
/7"
+1
470
Глава 5. Типові розрахункові завдання
25.
Х(-іГ'(1+(0,і)").
я=1
27.
ХНГ'т
«-і 3/7-2
п=1
3/7-1
26
- К-ОЧ'
Я=1
^
28-£(-іГ'('^|.
/7=1
29.
2 (-1)"-'-^ ,
„=і л* + /7 +
І
зо.
Х(-0
Я
« +1
л=|
зі.
І(-0
Я-1 2/7+1
и(и + 2)
Задача 4. [ гл.2, § 2, приклад 1 ]
Знайти області збіжності заданих функціональних рядів.
Варіанти завдань
(-1)
Я+1
X —
Гі 3"л(х + 2)"
4.
£(-1)
я
/Г*.
/7=1
СОЗ /IX
7-Х
г-.
/7=1 77 УІП
ю. Х^"^~
Я=1
•з-
X
„=1
7?(х+1)"
іб.
х4^
м
•
/7=1 77
19
. V МЬ*_
„ТІ 16"
(2/7+1)
(-1)
Я+1
22.
X-
„=1 /7(/7 + 1)х
25-
£•
/і=і
Я + І
2-
X—
1
—
»Т|
/7І(х + 3)"
5-
£ »
х
•
Я=1
„ ^ 5ІП/7Х
Я=1
Є
П.
Хе
-
""
14-
X
/72"
„=і (х-3)
17.
Х«е"
/7=1
2я
20.
X
з-
X
„Ті(х + 5)"
6-Х
9-Х
х" +-
2
/1 я
X
1п"х
12.
У "
ЯТ,(х-2)"
15.
Х^/тТе-".
х-1
х +
1
23.
X
/1=1 х
зіп"
X
21-
X
-2я
„Г2
(277-3) (2/7 -2)
„
=2
«(/7-І)
24-
X
(-1)"х"
+1
26-
ХМ • 27.Х
„Го(« + 1)(« + 2)
(/7 + х)"
Л
Т,
4" (2/7-1)
/7=1 77