Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3

Подождите немного. Документ загружается.

§2 Застосування операційного числення

441

Отже,

2 1 1

—

(р

+ \)(р + 2) 5р

+\ 5

+1 5 р + 2'

Таким чином, розв'язок заданого диференціального рівняння

12 1 1

Х(І) =

С05/

—

5ІП/

+ - Є~

=-(е~

-С05/

25ІП/)

. <

5 5 5 5

Приклад 2. Розв'язати задачі Коші для заданих диферен-

ціальних рівнянь другого порядку операційним методом.

а) х'

х'

\, х(0) = 0, х'(0) = 1;

б) х"+2х'-3х = е~', х(0) = 0, х'(0) = 1;

в) х"-2х'+х = е', х(0) = 0, х'(0) = 1.

• а) х"+ х'=], х(0) = 0, х'(0) = 1.

Нехай х(і)

.='

Х(р). Тоді

х'(і)

= рХ(р)-х(0) =

Х(р),

х\і)

Х(р)

- рх(0) - х'(0) = р

Х(р) -1 .

Зображення правої частини заданого рівняння: 1

—"

—.

Складаємо операторне рівняння і розв'язуємо його.

Х{р)-\

+ рХ(р) = -,

р(р+\)Х(р) = - + \,

*(/>)=-г-

Знаходимо оригінал - розв'язок диференціального рівняння:

х(і) = І.

б) х" + 2х'-3х = <?"', х(0) = 0, х'(0) = 1.

Нехай х(і)=Х(р).Тощ

х'(()

Х(р)-х(0) = рХ(р),

х\і)

Х(р)

- рх(0) - х'(0) =

Х(р)

-1 .

442

Глава 4. Операційне числення

Зображення правої частини заданого рівняння: е~' ='

Складаємо операторне рівняння і розв'язуємо його.

Х(р)-\

+ 2рХ(р)-ЗХ{р)

р + \

(р

+2р-3)Х(р) = -+1,

р + \

(

+ 3)(р-\)Х(р):

р + 2

р + \

р + 2

(р + \)(р~\)(р + 3)

Знайдемо оригінал. Розкладемо Х(р) на суму найпростіших дробів.

р + 2 А В С

+ -

(р+\)(р-1)(р + 3) р + \ р-\ р + 3

р + 2 = А{р-\)(р + 3)+В(р + \)(р + 3) + С(р +

\)(р-\).

р = -\

р= 1

р= З

Отже,

= /

4.(-4)=> А=--

3=68

-1=С-8

=> В= -

„, ч 1 • 3 1 11

Х(р) = +

4р

+ \ 8 р-1 %р + 3

Тоді оригінал

х(1)

= Л

< _!

-з<

(3е

2е

').

4 8 8 8

в) х"-2х' + х = е', х(0) =

0,х'(0)

= 1.

Нехай

—'

ЛЧр). Тоді

х'(О = /'А'(р)-х(0) = р^(р),

*'(/)

/Р

)

/яг(0)

- /(0) =

Х(р) -1.

Зображення правої частини заданого рівняння: е' =

р-\

Складаємо операторне рівняння і розв'язуємо його.

§2. Застосування операційного числення

443

Х(р)-1-2рХ(р)

+ Х(р) = '

{р

-2р

\)Х(р):

р-\

(р-\)

Х(р)

-^—+],

Я-1

(я-і)

' (я-і)

Запишемо

Х(р) у

такому вигляді, щоб були відомі оригінали доданків.

Знаходимо оригінал, скориставшись формулами 11,12 таблиці осно-

вних зображень. Отже,

*(/) =

-/V +1е' =—(і + 2).<

Приклад

Розв'язати задачі Коші

для

систем

диференціаль-

них

рівнянь першого порядку операційним

методом.

сіх

ІУ+у

= 0,

а)

, ' б)

[у

+х = 0,

—

= х + 2у,

сії

сіу

2х

+ у + 1,

або

х(0)

= 1,Я0) =

-1.

\х' +

•а) , ' х(0) =

\,у(0)

= -\.

[у

+х = 0,

Нехай

х(і) = Х(р), у(і) = У(р).

Тоді

х'(()

рХ(р)-х(0)

Х(р)-1,

у'<і)

рУ(р)-у(0)

У(р) + \.

Переходимо

до

операторної системи рівнянь:

Х(р)-1

+ У(р) = 0,

[рї(р)

+ \ + Х(р) = 0

[рХ(р)+

У(р)= 1,

Х(р) +

рУ(р) = -1.

х(0) =

0, ДО) = 5.

444

Глава 4. Операційне числення

або

Розв'язуємо цю систему за формулами Крамера.

Д =

Тоді

Р І

1 Р

Х(р) =

д,

= р -І

р+\

д,=

і і

•

+ !; Д, =

-р-\.

Д р

-\ Р~\ д р- -і

Звідси розв'язком системи є пара функцій

х(і) = е', у(і) = -е'.

Безпосередня перевірка показує правильність отриманого розв'язку.

сіх

її

сіу

б)

•

= х + 2у,

*(0) = 0, Я0) = 5.

= 2х + у +1,

Нехай х(1) = Л'(я), ЯО •='

•

Тоді

/(/)=>У(/

<0)

я>'(я)-5.

Врахуємо, що 1 —. Записуємо систему онераторних рівнянь.

Х(р) = Х(р) +

2У(

рУ(р)-5 = 2Х(р)+¥(р) + -

(р-])Х(р)-2У(р) = 0,

-2Х(р) + (р-\)У(р) = 5 + -.

Розв'язуємо цю систему відносно Х(р), У(р).

(1)

Домножимо перше рівняння на

та додамо до другого рівняння:

Х(р)

(Р-\У

-2 = 5 +

Звідси

ХІР)

10/5 + 2

р(р + \)(р-3)

§2.

Застосування операційного числення

445

Підставляючи Х(р) в перше рівняння системи (1), після перетво-

рень отримуємо ^

ПР)=

5Р2

4Р

•

р(р+Щр-3)

Для знаходження оригіналів скористаємось другою теоремою розкла-

дання. Враховуючи, що функції Х(р), У(р) мають прості полюси /?, =0,

Р (р )

= -1, р

= 3, скористаємось формулою /(/) = У ——— е

' .

к=\<2п(Рк)

туз Я„{Р)

Р(Р

\)(Р-У),

0'„(р)

-4р-з

-з;,(0)

-з,

е;(-о=4, а'дз)=і2.

Тоді

/-»\

^ о/ 8 _, 32 у 2 _, 8 з,

х(() = е е н е = 2е +

—

е ,

З 4 12 З З

у«)

= —е

Ле-

+—е" =і + 2е-' + -е

-З 4 12 З З

Отже, розв'язком сисісми є пара функцій

х(0

_2_

2е

з/

З З

ЯО = - + 2е-'+-е

'.^

З з

Приклад 4. Розв'язати задачу Коші для системи диферен-

ціальних рівнянь другого порядку операційним методом.

+ х +у -у = е ,

х+2х-у+у

= е ,

х(0)

= у(0) = у\0) = 0, х'(0) = 1.

•

Нехай х(і) = Л'(р), у(і) = . Тоді

х'«)

Х(р),

*'(/) .=

Х(р)

-1,е' =

Р-

/(/) = , у\і) .= р

Г(», =

Складаємо систему операторних рівнянь.

446

Глава 4. Операційне числення

Х(р)-\

+ рХ(р)+ р

У(р)-У(р)

рХ(р) + 2Х(р)-

У(р)+У(р)-

р(р + \)Х(р) + (р

-\)У(р) = ~

р-1

р + \

(р + 2)Х(р)- (р-1)У(р) =

р-\

р + \

Домножимо друге рівняння на (р+1) й додамо до першого. Тоді

2(р+1)(р + \)Х(р) =

р-\

+ 2,

Х(р) =

2(р-1)(р + 1)

(р + 1)

Розкладемо дріб

(р-1)(р + 1)

1 А

на суму найпростіших дробів.

В С

р = \

р = -\

Отже,

(р-1)(р + 1)

Р~\ (р + 1)

Р +

\ = А(р + 1)

+В(р-\) + С(р + ])(р-\).

\=4А =>Л= -

З =б(-2)=> В = -

0 = Л + С =>С =

Х(р):

1 1

або після перетворень

\4р-\

2 (р + 1)

4 р +

1 1 1

(Р + 1Г

8 р-1 4 (р + 1)

8р +

Знайдемо оригінал.

. . 1 , 3 _, 1 _, 5П' 3 _,

х(ї)--е

+-ІЄ

'--є ' = +

-ІЄ

' ,

8 4 8 4 4

§2. Застосування операційного числення

447

Тепер підставимо значення

Х(р) в

друге рівняння системи.

(р

2)(2р-1)

(р-\)У'р)

2(р-\)(р

+ \)

р +

(р-\)У(р)

У(Р)

У(р)

2р

Зр-2-2р

2(р

(р-1)

Зр

2(р+1)

(р-\)

Зр

_ 3 2р

2(р

-\)

*{р

-\У

Скориставшись формулою 15 таблиці основних зображень, знайдемо

оригінал

Отже, розв'язок заданої системи

4 4

Приклад

Розв'язати задачу Коші

для

системи диферен-

ціальних рівнянь другого порядку операційним методом.

х"-Х

+ у + 2

Х + у"-у + 2 = 0,

+ у + 2"-2 = 0,

х(0)

= 1,

х'(0)

= ДО) = /(0) = 2(0) =

2'(0)

= 0.

• Нехай х(1)=Х(р),

у(і)-У(р),

2(/)=2(я).Тоді

х'(/)

Х(р) -1, х'(і) =

Х(р)

- р ;

у\і)

рУ(

у"(і) =

У(р);

2'{і) =

2(р),

'і) =

І{р).

Складаємо систему операторних рівнянь.

Х(р)-р-Х(р)

+ У{р) + 2(р) = 0 ,

Х(р)+

У(р)-

У(р) + 2<р) = 0,

Х(р)+

У(

)

І(

)

г(

)

або

448

Глава

Операційне числення

(р

-])Х(р)+

У(р)+ 2(р) = р,

х(

)+(р

-\)у(

ад = о,

Х(р)+

У(р)

+(р

-\)2(р)

= 0.

Розв'яжемо

цю

систему

за

формулами Крамера.

•-(р

+\)

-1 1

1 р

1 1

+\ р

-1 1

А,

1 р

1 1

0р

-1

1 р

-1

-1р

]

0 1

0 р

1 о

Тоді

(У+ і)

-2 0 :(р

+1)(р

-2)

0 р

-2

р((р

-1)

-1) = р(р

-1 - \)(р

-1

+1) =

Лр

-2)

•

-р(р

-\-\) = -

р{р

)

р(1-/?

+1)

= -/;(У-2).

*(/>)

>Ч/>)

А,

(р

-2)

А (р

+\)(р

-2)

(р

+\)(р

-2)'

_ -Р(Р

-2) -р

(р

+1)(р

-2)

(р

+1)(р

-2)'

(У+1)(У-2)

(р

+])(р

-2)

Знайдемо оригінали

за їх

зображеннями.

Представимо

Х(р) у

вигляді суми найпростіших дробів.

_Ар+В

Ср+П

(р

-2)(р

+\)

-2 р

+\'

=(Ар

В)(р

+1)

+ (Ср

0)(р

- 2).

§2.

Застосування операційного числення

449

А + с = 1

= 0

А-

2С

= 0

р°

В-

= 0

Отже,

А = -, В = 0, С = - , О = 0.

З з

Х(р):

Зр

-2 Зр'+\

Аналогічно знаходимо представлення для У(р), 2(р).

Тоді маємо

ХІр)Л

-Л- Р-

У(Р)

2(р) =

Зр

+] З

-2

І_Р

1 Р

Зр

-2

1 1

Зр

3 р

-2'

Переходимо до оригіналів, тобто до розв'язку заданої системи дифе-

ренціальних рівнянь.

х(/) =

-СОЗ/

—

сЬл/І /,

З З

у(/) = -С05/--СП"У2/, <

З з

у(/) =

—

соз/ -

—

сп-\/21.

З З

IV. Задачі для практичних занять

У задачах 4.31 - 4.50 розв'язати задачі Коші для заданих

диференціальних рівнянь операційним методом.

4.31.

х'-х =

х(0) =

-1.

4.32.

х" -2х' = е

', х(0) = х'(0) = 0.

4.33.

х" + 2х + х = зіп /, х(0) = 0, х'(0) =

-1.

4.34. х" - 2х + 2х = 1, х(0) = х'(0) = 0 .

4.35. х"+х' = соз/, х(0) = 2, х'(0) = 0.

4.36. х' + 2х' + 5х = 3, х(0) = 1, х'(0) = 0.

450

Глава 4. Операційне числення

4.37. х" - 2х + 5х =

-1,

х(0) = х'(0) = 0.

4.38. х"

х =

зіп /, х(0) = 1, х'(0) = -1.

4.39. х'-х= іе', х(0) = х'(0) = 0 .

4.40. х"

2х + х = /, х(0) = х'(0) = 0 .

4.41.

х"-2х+х = і- зіп і, х(0) = х'(0) = 0.

4.42.

х* + 2х + х = 2 соз

і, х(0) = х'(0) = 0.

4.43.

х" + х = іе' + 4 зіп і, х(0) = х'(0) = 0.

4.44. х"-х' = зіп /, х(0) = х'(0) - х'(0) = 0.

4.45. х"

х = /, х(0) = 0, х'(0) =

-1,

х*(0) = 0 .

4.46. х

ІУ

-х"

соз/, х(0) = 0, х'(0) =

-1,

х'(0) = х"(0) = 0.

4.47. х" + х = 0, х(0) = 0, х'(0) =

-1,

х"(0) = 2 .

4.48. х"

х' = е

, х(0) = 0, х'(0) = 2, х'(0) = 0.

4.49. х"

х = е

', х(0) = х'(0) = х"(0) = 0.

4.50. х" - 2х" + х = 4, х(0) - 1, х'(0) = 2, х*(0) = -2.

У задачах 4.51 - 4.61 розв'язати задані задачі Коші для

систем диференціальних рівнянь операційним методом.

[х'

4у'+3у = 0, ' ' \-2х + у'-у = 1,

х(0) = 1, у(0) = -1.

дг(0) = Х0) = 1.

[у + у' = х + е',

х(0) = у(0) = \.

4.56.

х(0) = у(0) = 0. х(0) =

\х"-3х'+ 2х + _у'-г

;

= 0,

[- х' + х + у" - 5у'

4у = 0,

х(0) = х'(0) = /(0) = 0, у(0) = \.

х(0) = 2, у(0) = 4.