Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. т а ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 3

Подождите немного. Документ загружается.

Перетворення Лапласа

431

Р--

р+\

- + 2-

~2\

л/з

е~' +

2е'

соз

Далі за теоремою запізнювання при

т = 2

маємо

' З

—

+2е

соз—(1-2)

У]((-2)

•> «''-(ТїіГ

Знайдемо ориіінал

для

дробу —^——, використовуючи теорему

(р'+\)

множення. Врахуємо,

що

зіп

І.

Тоді

(У

+1)

Обчислюємо згортку.

'51П/*51П/ .

Отже,

81П'*5іП/

= [зіП(7-Т)зіПТ<ІТ =

—/СОЗ/ ЗІП/

2 2

1 1 .

„ =='—/соз/

ЗІП/

1Ч

2 1 2

(У+1)

Тоді за теоремою запізнювання при

т = 2

маємо

1 ( і л

, *

|[('-2)соз(/-2)-І

іп(/ -2)

тК/-2).<

Приклад 13. Знайти оригінал

/(/) за

його зображенням

Р(р),

використовуючи теорему розкладання.

а)^(р)=

р2+і?

+ 1

;

6)^) =

-^;

в)

Пр) =

-^—-

432

Глава 4. Операційне числення

•

цьому прикладі використовується друга теорема розкладання, згід-

но

якою

Л0=ХГЄ5[ЯР)^',

(1)

к = \

де

Р(р) -

однозначна функція,

яка мас

скінченне число особливих точок

,...,р„.

У випадку, коли

всі

полюси прості,

а Р(р) т < п,

маємо:

= 1

УпіРк)

(2)

а) Р(р)=-

Р'

+Р

ч2

(Р-\)(

+ ]У

Знаходимо особливі точки функції

Р(р) .

Вона має два полюси:

р = 1

полюс першого порядку,

р = -1 -

полюс другого порядку.

Знаходимо лишки функції Р(р)е'"

у цих

точках.

ГЄ5

р=\

РІ

{р-\){р+\)

І1ІТ1

(р

+р+\)(р-\)

СРІ

(Р-\)(Р+\У

ГЄ5

р=-\

Ііт —

р~*-\

сір

і(р-\)(р+\)

+Р

Кпі

р-\

,р'

сі

Ііт —

сір

(р~

+ р

\)(р

\)~

(р-\)(р

+ \)

,р>

Ііт

[^я+О^'

+(е

'(р

/7+1)](р-1)-(/7

+ + _ е~' /є"'

(р-1)

" 4 2

Тоді

за

формулою

(1)

№

гез[п

)е'"]+

ГЄ5

[Р(р)е"'].

р=\

Отже,

-2р

_ЗУ_

є-' Іе~'

(р

+\)

4 2

Функція

Р(р) має два

полюси

/?, = 1, />

=-1 ,

кожний другого

по-

рядку.

І.

Перетворення Лапласа

433

Знаходимо лишки функції Р(р)е

рІ

у цих точках.

Р(Р-1)

ГЄ 5

= Ііт

—

IV-!)

]

/>->1

сір

,Р'

(р-ї)\р+\)-

Ііт —

ре

рІ

Ііт —

_(/>+1)\

/>->і сір

_(/>+1)\

Ііт

(є"' + р<

"')(р+1)

-ре

' -2(р+1) _ ..

'"[0 + ^)(Р + 1)-2р]

е'[(1 + /)-2-2] 2'е' /є'

Ііт-

л->і

ГЄ5

/>=-!

(р

-1)

о-

= Ііт —

/>->-!

= Ііт —

/>-»-!

ре

Ііт

/>-*-

+/7'Є

')(/7-І)

-ре

" -2(^-1)

(Р-О

Ііт

є^[('

РО(Р-І)-2/?]

е"'[(1-Г)(-2)

+ 2] _ 21 е~' _ І є'

(р-1)

" (-2)

Тоді за формулою (1) маємо

ДО

= гев

Р—е

ГЄ5

р=-\

е~

1е~'

-8

е' -е ' І ,

—

5І1

' .

2 2 2

Отже,

(У-о

в) Рїр) = ^_.

Р -1

Знаменник дробу має тільки прості корені р,

= ± 1, Рз 4 = ± /, шо є

простими полюсами функції Г(р). Тому зручно користуватись формулою (2):

*=і

(?»(/>*)

Тут /

„,(р) = 1, &,(/>) =

/-1,

а'(Р) = 4р

. р, =1, р

-1,

=і,р

= -/•

Тому формула (2) приймає вигляд:

434

Глава

4. Операційне числення

е"-е~" \

•

= — (5П/-8ІП/) .

2/ 2

Отже,

-1 2

($ги-$іпО.-*

IV. Задачі для практичних занять

Знаходження зображення функцій за їх оригіналами

4.1.

Знайти зображення заданих функцій, користуючись

означенням.

а)/(/) = >; б)/(/) =

8ІпЗ/;

в)/«) = Ге

4.2.

Знайти зображення заданих функцій, використовую-

чи властивість лінійності.

а) /(і) = \ +і; б) /(г) = 2 зіп Г-соз ґ; в) Д/) = /+^е~'.

4.3.

Знайти зображення заданих функцій, використовую-

чи теорему подібності.

а) /(0 = е°'; б) ДО = зіп 4/;

в)Д0 = созюґ; г) Д0 = зНЗг.

4.4.

Знайти зображення заданих функцій.

а) ДО = зіп

/; б) ДО = соз

/; в)/(0=зні7;

) ДО

зі" тісовпї ; д) /(/) = зіп от/зіп я/.

4.5.

Знайти зображення заданих функцій, використовую-

чи теорему зміщення.

а) Д0 = е

'зіп/; б) /(/) = £•'созя/; в) /(() = е~'і

;

г) /(0 = е'зЬ ґ; д) ДО = е

зіп

е) Д/) = е-

ои

соз

р/.

4.6. Знайти зображення заданих функцій, використовую-

чи теорему запізнювання.

а) /(/) = зіп(/ -

Ь)

г\(ґ -Ь); б) /'(() = соз

(/ -

Ь)

т\(/ - А);

в)/(0 =

е'-

ті(/-2).

Перетворення Лапласа

435

4.7. Користуючись теоремою про диференціювання оригі-

налу, знайти зображення заданих функцій.

а) ДО = соз

/; б) ДО = зіп

в)/(0 = «зіпсо/; г) Д0 = /созсо/;

д)/(()

іе

4.8. Користуючись теоремою про диференціювання зобра-

ження, знайти зображення заданих функцій.

а) Д/) = /

соз/; б)/(/) = /(У +сЬ/);

в)/(/) =

+ 1)$іп2/.

4.9. Знайти зображення заданих функцій, користуючись

теоремою про інтегрування оригіналу.

ч ' '

) ДО - {зіпхах; б)/(/) = |(Х +

1)СОЗСОХЙХ;

о о

в) /(/) =

ІхзЬ2х(іх.

4.10. Знайти зображення заданих функцій, користуючись

теоремою про інтегрування зображення.

а)/(/) = —; б)/(/) = Ь^-; в)/(0=—;

/ / /

. .

1-соз/

. . С08/-С032/

г)/(/) = —-—; д)/(0 = •

4.11.

Знайти зображення заданих функцій, використовую-

чи теорему множення.

а) ./(/) =

<?'

*зіп/; б) 7(/) = соз/*£?

в) Д/) = /

*сп/; г) ДО = в'

' *(

Знаходження оригіналів функцій за їх зображенням

У задачах 4.12 - 4.30 знайти оригінали за їх зображеннями.

4.12. Р(р) = -

-± -. 4.13. Р(р) = -

^ -.

р +Ар + 5 р +4р + 3

4.14. Р(р) =

, . 4.15. Р(р) =

(р

+\)

(р

+\)

436

Глава 4. Операційне числення

4.16.

Р(р) = -Л Г-

4Л7.^(р)=—!

р + 2р

+р

7-Р

4Л8

. пр)=

2р3

+р2

2р+

+2р

4.19.

Р(р)

—\ .

(р

+])

4.20.

Р(р)

Р + 2

(р

1)(р-2)(р

+4)

4.21. Р(р) = ^—. 4.22. Р(р) = з

2Р+

•

р +1 /7

+4/Г+5/7

4.23.

/-(/?)

= ^ .

4.24.

Р(р) =

/ ,

(р-1)

(р

+ 2)

(р

-1)

4.25.

Др) =

з^Д^Г

•

4.26.

Р(р)

А^-.

/Г+З/Г+Зр

р +1

4.27. /г(р)

= . 4.28. = —^— .

+ І)

4.29. /?(р)

= . 4.30. ^(р) = +

-\ р

-4

§2. Застосування операційного числення

І. Короткі теоретичні відомості

Розв'язання задачі Коші

для

лінійних диференціальних рівнянь

зі сталими коефіцієнтами

Постановка задачі Коші така:

знайти розв'язок

х = х(і)

лінійного диференціального рівняння

«-го

порядку

зі

сталими коефіцієнтами

а„х

{п)

+Й„_|Д-

(

І)

...

+ а

]

х'+а

= /(і), (4.2)

§2.

Застосування операційного числення

437

який задовольняє початкові умови

х(0) = х

, х'(0) =

х'

,...,

{

])

(0) = 4"

-П

• (4.3)

Тут / (0 - задана функція-оригінал, а,, і = 0,п, та

,х'

,...,

ЯО"""

задані числа.

Застосуємо перетворення Лапласа до обох частин рівняння (4.2),

поклавши /(/)=' Р{р), х(і) = Х(р).

Згідно з теоремою про диференціювання оригіналу матимемо

х'(()

= рХ(р)-х(0),

х\{)

Х(р)

- рх(0) - х'(0), (4.4)

іп)

(?) =

Х(р)-

р"'

]

х(0) -... - х

(

(0).

Тоді, враховуючи властивість лінійності та формули (4.4), матимемо,

що ліва частина рівняння (4.2) має таке зображення

а„х

(п)

+ а

(п

У)

+... +

а]

х' + а

х = (а„р

+ а„_, р'

+... + а

]

р + а

)Х(р) -

0 Р

0 •••

Права частина рівняння (4.2): /(/) =' Р(р).

Отже, отримуємо операторне рівняння

(а„р

+а„_

]Р

]

+..Ла

]

ао

)Х(р) = Р(р) + р"-

]

+р

х'

+...+х^

)

. (4.5)

Далі розв'язуємо операторне рівняння (4.5) відносно Х{р) .

За знайденим зображенням Х(р) знаходимо оригінал х(і), тобто

Х(р) =' х(і) . Це і є шуканий розв'язок х(1) .

Розв'язання задачі Коші для лінійних систем

диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами

Розв'язання задачі Коші для лінійної системи диференціальних рів-

нянь зі сталими коефіцієнтами виконується за тією ж схемою, що і для одно-

го диференціального рівняння.

Задача Коші для системи лінійних диференціальних рівнянь першого

порядку зі сталими коефіцієнтами ставиться так:

знайти розв'язок системи

ах "

-^-+5>і***

=/і(0.

к = \

• (4.6)

йх "

—Г-+ 2^

пк

к =/„('),

к = \

438

Глава

Операційне числення

який задовольняє задані початкові умови

х,(0)

= х°, х

(0) = х°

х„(0)

= х°.

(4.7)

Тут

ік

, х

, і,к = \,п

-сталі числа,

((),

к = \,п

-задані функції.

Припустимо,

що

похідні

—— і

функції

(і),

к = \,п є

оригіналами.

сії

Тоді

функції

(і), к =

,п -

оригінали.

Нехай

(і)

(р),

(0 =

(р),

(0 =

(р)-х

(0) = рХ

(р) - х°

. (4.8)

Тоді операторна система рівнянь приймає вигляд:

рХі

(р) + Xа

хк

(р) = Р

(р) + х,° ,

= \

(4.9)

Р*

ЛР)+£^с>

„

{р) =

(р)

х°

к = \

Розв'язуючи

цю

лінійну систему

(4.9)

алгебраїчних (відносно Х

(р))

рівнянь, знайдемо

(р),

к = \,п .

Далі знаходячи відповідні оригінали

(і),

= 1, п,

отримаємо шуканий розв'язок задачі Коші

для

системи (4.6).

Розглянемо також випадок системи лінійних диференціальних рівнянь

другого порядку

зі

сталими коефіцієнтами.

Задача Коші

для

такої системи ставиться

так:

знайти розв'язок системи

к = \

сі

СІГ

Ь,

с&к

сії

с,,.х

(4.Ш)

який задовольняє задані початкові умови

х,(0)

= а

х'

{0)

= $

, к = \Тп.

(4.11)

Тут

ік

, Ь

ік

, с

ік

, а

, р\, і,к = \,п

-сталі числа,

/,(/),/

= 1,п -за-

дані функції-оригінали.

Нехай

/,(0 = ЗД, х

(і) =

(р).

Тоді

х'

(і) =

(р) - х

(0)

(р) - а

х"

{і)

= р

(р)-рх

(0)-х'

ф) =

(р)-ра

-р\.

(4.12)

§2.

Застосування операційного числення

439

Переходимо до операторної системи рівнянь:

2^(

,кР

,кР+с,к)

к(р) =

к=\

= Р,(Р)+

ІКИ/"**

+ $

) + Ь,

] , і = \~п. (4.13)

* = і

Розв'язуючи систему (4.13) як лінійну алгебраїчну систему відносно

(р),

знайдемо

(р),

к = \,п. Далі знаходимо їх оригінали х

(ї),к = \,п.

Це й буде розв'язок задачі Коші для системи (4.10).

Викладений метод розв'язання задачі Коші будемо називати опера-

ційним методом

II. Контрольні питання та завдання

Як ставиться задача Коші для лінійного диференціаль-

ного рівняння зі сталими коефіцієнтами?

Що таке операторне рівняння? Які теореми застосову-

ються для одержання цього рівняння?

У чому полягає метод розв'язання задачі Коші для лі-

нійного диференціального рівняння п -го порядку зі сталими

коефіцієнтами з використанням операційного числення?

Сформулюйте задачу Коші для лінійної системи дифе-

ренціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами першого поряд-

ку; другого порядку.

Як використовується операційне числення для розв'я-

зання задачі Коші для системи лінійних диференціальних рів-

нянь? До чого зводиться розв'язання такої задачі?

///. Приклади розв 'язання задач

Приклад 1. Розв'язати задачі Коші для заданих диферен-

ціальних рівнянь першого порядку операційним методом.

а) х + х = є'

, х(0) =

; б) х'+ 2х = зіп/, х(0) = 0 .

• а) х' + х = е~', х(0) = \.

Нехай х(1)

—'

Х(р). Тоді

х'(і)

= рХ(р)-х(0) = рХ(р)-1.

440

Глава 4. Операційне числення

За таблицею основних зображень знаходимо зображення правої час-

тини заданого диференціального рівняння: е —

Р+1

Складаємо операторне рівняння і розв'язуємо його.

(р+і)х(р)=-^—+і,

Х(р) = -+—-.

ІР+\)-

р+\

За знайденим зображенням знаходимо оригінал - розв'язок заданого

диференціального рівняння.

х(і) = іе~' +е~',

х(1) = є'

(( + ]).

Можна перевірити правильність розв'язку, підставивши х(і) в зада-

не диференціальне рівняння, а і акож безпосередньо перевірити, що х(0) = 1.

б) х' + 2х = зіп/, х(0) = 0.

Нехай х(і) = Х{р). Тоді

х'(і)

= рХ(р)-х{0) =

Х(р).

Зображення правої час жни заданою диференціального рівняння:

51ПІ;

Складаємо операторне рівняння і розв'язуємо його.

рХ(р) + 2Х(р) = —

(р + 2)Х(р)

Х(р) =

(р

+\)(р + 2)

Знайдемо оригінал. Розкладемо Х(р) на суму найпростіших дробів.

1 _ Ар + В С

А + С

2А+ В

р°

2В + С

(р

+\)(р + 2) р

+\ р + 2

(Ар + В)(р + 2) + С(р

+!)=!.

=> А = --, В=-, С=-.

5 5 5