Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1
Подождите немного. Документ загружается.
§1.
Алгебра лінійних операторів
171
Приклад 22. Для лінійного оператора
С^/ X
— ^
Х^
~г~
2л^2
~"Г~
Л-^
;
Х^
Х^ }
Х^
~т~ Х^ ) }
що діє у просторі К
3
, визначити ранг та дефект, а також
знайти базиси образу та ядра.
• Для того, щоб представити арифметичні вектори та заданий
лінійний оператор, скористаємося канонічним базисом у К
3
. У цьому
базисі матриця оператора має вигляд
'12 0
1 0 -1
1 1 0
у
тоді і тільки тоді, коли Л х = 0 , або у За означенням хєКегс^
координатному записі,
' 1
АХ =
0
х
2
(
о
о
о
Звідси ядро Кег Л співпадає з підпростором розв'язків наведеної
однорідної системи, тобто дефект оператора Л дорівнює аітКегс^ =
=
п-ІЇ£/1
= 3-2 = 1, а за базис у КегЛ може бути вибрана фундамен-
' 1 і
Е= -
тальна система розв язків системи, наприклад,
За означенням уеїтЛ тоді і тільки тоді, коли знайдеться век-
тор х є К
3
такий, що у = Лх, або, у координатному записі,
( 1 2
1>
х
і
(2
)
ґ
Г
У
=
АХ =
1 0
-1
х
2
1
+ х
2
0
+ *з
-1
, 1 1
Ь
,
х
3у
, о,
Остання рівність означає, що образ \тЛ збігається з лінійною оболон-
кою системи стовпців матриці А. Отже, ранг оператора Л збігається з ран-
гом його матриці, тобто дорівнює двом аіт Іт Л = 2, а за базис Іт Л може
бути вибраний будь-який із базисів системи стовпців матриці А, наприклад
(1 ї
(2Л
1
0
,1,
172
Глава
5. Лінійні оператори
Отже,
ядром оператора <Л є:
Кегс^
= {(с,-с,с)\
Усєк},
сІеГ
СУ?
==аітКегс/7 =1.
'
1^
Базис
Кегс/!: Е = -1
Образом
оператора Л є:
1тЛ
= {с
і
(і, 1, і) + с
2
(2, 0, і)| Ус,, с
2
єй},
К§с//
=аітІтсі = 2.
(2\
Базис
Ітсу/
: £, =
1 0
,1 Л
IV. Задачі для практичних занять
У задачах 5.1 -5.5 з'ясувати, які з даних відображень про-
стору У
3
у себе є лінійними операторами; виписати їх матриці в
ортонормованому базисі (і , у ,к
)
= р.
5.1.
сАх
= Ах, Я - фіксоване число.
5.2.
сАх =
Лх
+
а, А та а-фіксовані.
5.3.
с#3с = [а, Зс], де а - фіксований вектор.
5.4.
сАх
= (а, х)х, де 5 - фіксований вектор.
5.5. с# х = (у
+
г)і + (2х +1)і + (Зх - у + г)£,
де х = хг +
_у
і + гк .
У задачах
5.6-5.11
з'ясувати, які з даних відображень
простору арифметичних векторів К
3
у себе є лінійними опе-
раторами; виписати їх матриці у канонічному базисі.
5.6.
сА
х = (х
2
+ х
3
, 2х, + х
3
, Зх, - х
2
+ х
3
).
5.7. сАх = (х,, х
2
+1, х
3
+ 2).
§1.
Алгебра лінійних операторів
173
5.8. с^х = (0,х
2
-х
3
,0).
5.9.
сА
х = (х,
+
2х
2
+ 2х
3
, - Зх
2
+ х
3
, 2х, + Зх
3
).
5.10.
сА
х = (Зх, + х
2
, х, - 2х
2
- х
3
, Зх
2
+ 2х
3
).
5.11.
сА
х = (Зх, + 5х
3
, х, + х
3
+ 1, Зх
2
- 6х
3
).
У задачах 5.12-5.15 знайти матрицю С лінійного опе-
ратора С = Л1д -Зд(А та його явний вигляд у канонічному ба-
зисі простору К
3
, якщо у цьому просторі задані лінійні опера-
тори сА і ІЗ.
5.12. сАх = (7х, + 4х
3
, 4х
2
-9х
3
, Зх, + х
2
),
ІЗ
х = (х
2
- 6х
3
, Зх, + 7х
3
, х, + х
2
- х
3
).
5.13.
оАх = (2х, -х
2
+ 5х
3
, х, + 4х
2
-х
3
, Зх, - 5х
2
+ 2х
3
),
іЗх = (х, + 4х
2
+ Зх
3
, 2х, + х
3
, Зх
2
-х
3
).
5.14.
с/?х
=(3х, +х
2
-2х
3
, Зх, -2х
2
+4х
3
, -Зх, +5х
2
-х
3
),
ІЗх = (2х, + х
2
, х, + х
2
+ 2х
3
, -х, + 2х
2
+ х
3
).
5.15. <Ах = (Зх, + х
2
+ х
3
, 2х, + х
2
+ 2х
3
, х, + 2х
2
+ Зх
3
),
^3
X — ("^] "^2 ' ^"^"]
"^3
' )
*
5.16. Задано лінійні оператори сА та ІЗ відповідно мат-
рицями
( 2 -1
°1
Г-1
3
п
А =
1
3 1
, в =
4
0
-1
4
2,
V 2
3
4,
у деякому базисі. Знайти в цьому базисі матрицю оператора:
а) сА + її; б) сА'В; в) &Л.
174
Глава 5. Лінійні оператори
5.17. Оператор Л у базисі е
х
,е
2
має матрицю А =
1 2
-1 2
а оператор
в = '~
1
16
у базисі е[ = 2е
х
-е
2
, е
2
= е, - е
2
- матрицю
. Знайти матрицю оператора:
а)
сД+Зд
у базисі е
х
,е
2
; б) у базисі е[,е'
2
\
в)
сЛЗі
у базисі Є[, е
2
; г) СІІЗ у базисі е,', е
2
.
5.18. У просторі Х
4
задано лінійний оператор
ст?
, матриця
А якого у деякому базисі р= (е,, е
2
, е
3
, е
4
) така:
1
Л
2
1
З
А =
Ґ
1 2 0
3 0-1
2 5 3
1 2 1
Знайти матрицю цього оператора у базисах:
а) р' = (е,, е
3
, е
2
, е
4
);
б) Р' = (е,, е, +е
2
, е, +е
2
+е
3
, е
х
+е
2
+
е
г
+е
4
).
5.19. У просторі £
3
задано два базиси:
Р': е{=Щ-6е
2
+1е
г
, е
2
=-\6е
х
+1е
2
-\3е
у
, е
3
=9е,-Зе
2
+7е
3
,
Р":
<?,"
= ^ - 2е
2
+ е
3
, <?
2
= Зе, - е
2
+ 2е
3
, е" = 2е, + е
2
+ 2е
3
.
Знайти матрицю оператора с/? у базисі р", якщо його
матриця у базисі Р' має вигляд
Ґ
1 -18 15^
А'
-1 - 22 20
1 -25 22
§1.
Алгебра лінійних операторів
175
5.20. У просторі £,
г
оператор сА у базисі р'
:
е[ =
е
х
+
2е
2
,
^
5^
е'
2
= 2е
х
+
Зе
2
, має матрицю А =
Оператор £ у ба-
(4 6^
ч
4 З,
зисі р": е"= Зе, + е
2
, е
2
= 4е, + 2е
2
має матрицю В =
Знайти матрицю оператора
сА
+ В у базисі р".
5.21.
Нехай р(()
=
а„-\і"
1
+...
+
а
х
(
+
а
0
деякий многочлен
та сА лінійний оператор. Розглянемо оператор р{<Уі), що
визначається рівністю
р(сА)
=
а
п
__
]
сА"~
і
+ ... +
а,с//
+ а
0
£.
Знайти матрицю оператора
р(сА),
якщо р(і)
=
3(
2
-2г+ 5,
2 -4
а оператор сА задано матрицею А =
5.22. У просторі <Р
п
задано лінійний оператор диференцію-
вання © = —. Знайти матрицю цього оператора у базисі:
йі
а) І,?,/
2
,...,/""
1
;
Довести операторну рівність Ю" =0 (О - нульовий опера-
тор Ох = 0).
У задачах 5.23 - 5.25 встановити, які з операторів, що
задані в У
3
, є невироджені, та знайти для них явний вигляд
обернених операторів (х = хі + уу + гк ).
5.23. сАх = Лх, Л - фіксоване число.
5.24. сАх = (у
+
г)і
+
(2х +1)і
+
(Зх - у
+
і)к .
176
Глава 5. Лінійні оператори
5.25.
сА х
= 2гі + (х - г)у + (2х + Зг)к .
У задачах 5.26 - 5.28 встановити, які з даних лінійних
операторів у К
3
є невиродженими, та знайти явний вигляд
обернених операторів.
5.26.
сА х
- (х, - х
2
+ х
3
, х
3
, х
2
).
5.27.
сА х
= (х
2
+ 2х
3
, - х
2
, 2х
2
- х
3
).
5.28. сАх = (х, + 2х
2
+ 2х
3
, 2х, + х
2
- 2х
3
, 2х, - 2х
2
+ х
3
).
5.29. У деякому базисі простору Л задано матрицю А лінійно-
го оператора
сА
.
З'ясувати, чи існує оператор, обернений до дано-
го,
та коли існує, знайти його матрицю у тому ж базисі, якщо:
а) А =
в) А
1 -2
0 0
З
( 2
1
З
5^
4
1
у
3^
2
5
б) А
' З
2
V
1 4^
0 2
0 -5
г) А =
0 -1
2
0
З
2
7^
4
1
У задачах 5.30 - 5.31 для вказаних лінійних операторів,
що діють у просторі К
3
, визначити ранг та дефект, а також
знайти базиси образу та ядра.
5.31.
сА х
= (хі + х
2
+ х
3
, х, + х
2
+ х
3
, х, + х
2
+ х
3
).
5.32. Знайти ядро, образ, ранг та дефект лінійного оператора
сА,
що діє у просторі К
3
, матрицею якого є матриця А , якщо:
ґ-1
2
( і
-1 2^
а) А =
3
0 2
; б) А =
3 1 -1
1
ь
,
4
о і,
§2.
Власні вектори та власні значення
177
( 4 1
2
1
( 0 0 сЛ
в) А =
8
2 4
; т)А =
0
0 0
3
,0
0 о,
5.33.
Знайти ядро та образ оператора диференціювання у
просторі многочленів
<
Р
п
, степені яких <(л-і).
§2. Власні вектори та власні значення
І. Короткі теоретичні відомості
Власні вектори та власні значення лінійного оператора. Ненульо-
вий вектор х називається власним вектором лінійного оператора Л ,
якщо існує таке число X, що має місце співвідношення:
Лх=Хх. (5.1)
Число X називається власним значенням лінійного оператора Л ,
що відповідає власному вектору х.
Нехай лінійному оператору Л у деякому базисі відповідає мат-
риця А, а вектору х - матриця-стовпець X з координат цього векто-
ра. Тоді рівнянню (5.1) буде відповідати система рівнянь вигляду
(А-ХЕ)Х=0 (5.2)
або у розгорнутому вигляді
(а
и
-Х)х
і
+ а
п
х
2
+...+ а
]п
х„ =0;
«21*1 +(«22-^)
х
2+---+
а
2л*н=°; ^
53)
я„іх,+ а„
2
х
2
+ ...+ {а„„-\)х„ =0 .
Для існування нетривіальних розв'язків цієї системи необхідно і
достатньо, щоб її визначник дорівнював нулю, тобто
йеі(А-ХЕ)
=
0 (5.4)
або у розгорнутому вигляді
а
п
-Х а
]2
... а
Хп
«21
а
22
~Х ... а
2п
я
»2
а
т
-
X
= 0. (5.5)
178 Глава 5. Лінійні оператори
Рівняння (5.4) або (5.5) називається характеристичним рівнянням. Ліва
частина (5.5) представляє собою многочлен Р
п
(х) п -го степеня відносно X.
Многочлен Р
п
(X) називається характеристичним многочленом.
Корені характеристичного рівняння є власними значеннями
лінійного оператора. Сукупність всіх власних значень лінійного опера-
тора називається його спектром, причому кожне власне значення вхо-
дить у спектр стільки разів, яка його кратність. Спектр називається прос-
тим, якщо характеристичне рівняння має тільки прості корені.
Таким чином, для того щоб знайти власні значення та власні век-
тори лінійного оператора сА , що має матрицю А у деякому базисі,
виконуємо такі дії:
1. Знаходимо власні значення Х
і
оператора с/7, розв'язуючи
характеристичне рівняння (5.5).
2.
Для кожного власного значення Х
і
розв'язуємо систему рів-
нянь (5.3). Будь-який ненульовий розв'язок цієї системи («], а
2
,..., а„ )
визначає власний вектор х = (а
х
,
а
2
,...,
а„ ) з власним значенням X,.
Зауважимо, що власні значення та власні вектори лінійного опе-
ратора сА називають також власними значеннями та власними векто-
рами матриці А цього оператора у деякому базисі.
Якщо X - власне значення лінійного оператора с//, що діє у £„, і
К%(А-ЯЕ) = г, то існує (п-г) лінійно незалежних власних векторів
оператора <А з власним значенням Я , бо вимірність простору Г! розв'язків
відповідної однорідної системи с-іт V = п — г .
Теорема. У всякому комплексному лінійному просторі £.„ існує
хоча б один власний вектор лінійного оператора сА.
Нехай оператор сА, що діє у комплексному лінійному просторі
£„,
заданий у деякому базисі матрицею з дійсними елементами. Тоді,
а) якщо X - власне значення, тоді Я - також власне значення;
б) якщо - стовпець координат власного вектора, що відпові-
дає власному значенню Я , то - стовпець координат власного
вектора, що відповідає власному значенню Я .
§2.
Власні вектори та власні значення
179
Зведення матриці лінійного оператора до діагонального вигляду.
Якщо оператор А, що діє у просторі -£„, має п лінійно незалежних
власних векторів е\,
е
2
,...,
е„ , що відповідають власним значенням
Лі, Л
2
,...,
Л
п
, то у базисі з цих векторів матриця оператора А має
діагональний вигляд:
|% 0 ... 0 "|
0 Х,
2
... 0
ч
0 0 ... *.„,
Зауважимо, що лінійний оператор називається оператором простої
структури, якщо існує базис, складений з власних векторів цього оператора.
Можна довести, що власні вектори, що відповідають різним влас-
ним значенням, лінійно незалежні і отже можуть бути вибрані за базис
простору. Крім того, має місце теорема.
Теорема. Для того, щоб існував базис з власних векторів оператора
А, необхідно та достатньо, щоб кожному власному значенню відповіда-
ло стільки лінійно незалежних власних векторів, яка його кратність.
Квадратна матриця А називається діагоналізовною, якщо існує
така невироджена матриця Т, що матриця
Т~
Х
АТ-А'
діагональна.
Нехай задано два базиси {е,-} та
|е,'},
причому {є,-} складено з
власних векторів лінійного оператора А; матриці А та А' - матриці
лінійного оператора А у цих базисах відповідно, причому згідно з тео-
рією А' = о!іа§(Яі,
Л
2
,...,
Л
п
). Тоді склавши матрицю переходу Т (її
стовпцями є вектори є/), знайдемо Г
_1
А
Т = А' = аіа§(Л|,
Л
2
,...,
Л„ ).
Якщо матриця Т - ортогональна, тобто Т = Т , то маємо спрощену
формулу Т
т
А Т - А' = аіа§(
А], Л
2
,...,
Л
п
).
//. Контрольні питання та завдання
1.
Що називається власним вектором та власним зна-
ченням лінійного оператора?
2.
Що називається спектром лінійного оператора? Який
спектр називається простим?
180
Глава 5. Лінійні оператори
3.
Як знайти власні значення лінійного оператора, якщо
відома матриця А цього оператора у деякому базисі?
4.
Як знайти власні вектори лінійного оператора, що має
в деякому базисі матрицю А ?
5.
Нехай к - кратність власного значення А, лінійного
оператора, т - максимальне число лінійно незалежних влас-
них векторів з власним значенням X. Яке співвідношення
між т та і?
6. Які необхідні і достатні умови того, щоб у просторі Х„ існу-
вав базис, складений з власних векторів лінійного оператора Л
?
7.
В якому випадку лінійний оператор називається опе-
ратором простої структури?
8.
Яка матриця називається діагоналізовною?
9. Які необхідні та достатні умови діагоналізовності опе-
ратора (матриці)?
10.
Як знайти матрицю Т, що діагоналізує матрицю опе-
ратора Л
?
///. Приклади розв'язання задач
Приклад 1. Знайти власні значення і власні вектори
лінійного оператора Л, що заданий матрицею А.
(І 2)
А =
[2 і)
• Складаємо характеристичне рівняння
аеі(/1-
А £)=0, тобто
1-А 2
2 1-А
= 0.
Розкривши визначник, отримаємо рівняння А -2А-3 = 0.
Знаходимо власні значення А
(
= 3,
А
2
=-\.
Власні вектори
(А-АЕ)Х = 0, тобто
Власні вектори х^
]
\ Зг^
2
' знаходимо з системи рівнянь
(\-А)х
х
+ 2х
2
=0;
2х
х
+(1 -Д)х
2
= 0 .