Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1
Подождите немного. Документ загружается.
§1.
Теорія квадратичних форм 211
<
-/-і = Уі-і
Х
І
=Уі+У]
•*/+!
= УМ
{х„ = У
п
•
Тоді доданок, що містить ау, перетвориться до вигляду
2 а у х
(
.V, - 2й,
7
(у,
+
у
]
) у І - 2 г,- + 2 д,
у
,г) ,
де коефіцієнт при з>у не дорівнює нулю.
Тобто введене перетворення переводить квадратичну форму
І (*і, х
2
,... ,х
п
) у квадратичну форму змінних у і, у
2
, ..., у
п
, у якій
коефіцієнт при у
у
відмінний від нуля.
в) Метод Якові.
Введемо поняття головних кутових мінорів матриці А . Головни-
ми кутовими мінорами квадратної матриці А називаються мінори, що
стоять у верхньому лівому куті матриці А .
Таким чином, квадратична форма представиться у вигляді
І (х
ь
х
2
, ... ,х„ )
=
— {а
и
х
х
+
а
і2
х
2
+...
+
а
и
х
п
)
2
+ Ц(х
2
, х
3
, ... ,х
п
).
«11
Вводячи заміну у
х
= а\
х
х\ +
а]
2
Х2
+
• • •
+
а
\
п
х
п
, та аналогічно роз-
глянувши Ь\ (х
2
, х
3
,... ,х
п
), отримуємо канонічну квадратичну фор-
му змінних у\, у
2
, ... ,у„.
2.
Якщо всі коефіцієнти а
и
= 0 , то цей випадок зводиться до по-
переднього таким чином.
Нехай ау
Ф
0 (і'
Ф
]). Тоді виконаємо, наприклад, перетворення
Х
\ = У\ ;
-2
= Уг ;
212
Глава 6. Квадратичні форми
Метод Якобі зведення квадратичної форми до канонічного вигляду може
бути застосовано у випадку, коли матриця квадратичної форми А = [ац ) ,
т
А = А , така, що її головні кутові мінори відмінні від нуля, тобто
Ді = ац *0, А
2
=
а,, а,
2
«21
«22
«11
«12
«13
* 0 , Л
3
=
«21
«22
«23
«31 «32
«33
А„ =
«11
«12
«21
«22
«1п
«2л
*0 .
«»1
«п2 •••
а
г,
Нехай задана така квадратична форма Ь(х
х
, х
2
, ... ,х„ ), для якої
виконуються вказані умови. Тоді, згідно з методом Якобі, існує єдине
невироджене перетворення вигляду
х
1
=у
і
+а
21
у
2
+а
31
у
3
+ ... +а
п1
у
п
;
Х
2
= У2 + Я-12УЗ+ ••• +а
П
2Уп ;
х
3
=
у
3
+ ... +а
п3
у„ ;
Уп .
що зводить квадратичну форму Ь (х
х
,
х
2
,...
,х
п
)
=
Х
т
А X до
канонічного вигляду
.2
ДЄ
і
(у\ , Уі, ... ,у„)=И
Р/Р,-
,
7=1
р,=А,; Р,=-^-.
У
= 2,л.
Коефіцієнти цього перетворення а ., визначаються за формулами
+і
а
7~1 і
V-!
де А
7
-_!, - мінор матриці А , що розташований на перетині стовпців
цієї матриці з номерами 1,
2,...,
/
-1,
/ +1, ..., у і рядків з номерами
1,2,...,у-1.
§1.
Теорія квадратичних форм
213
Зведення квадратичної форми до канонічного вигляду не являється
однозначним, бо його можна виконати різними способами, в яких перехід
до канонічного вигляду пов'язаний з переходами до різних базисів (наприк-
лад,
у методі ортогональних перетворень базис ортонормований). Однак,
отримані канонічні форми мають загальну властивість, яка відома як закон
інерції квадратичних форм.
Закон інерції квадратичних форм полягає у наступному. Всі кано-
нічні форми, до яких зводиться дана квадратична форма, мають: одне й
те ж число нульових коефіцієнтів; одне й те ж число додатних ко-
ефіцієнтів; одне й те ж число від'ємних коефіцієнтів.
Знаковизначені квадратичні форми. Квадратична форма (с4х, х)
називається додатно визначеною, якщо квадра-
тична форма (Ах, х) називається від'ємно визначеною, якщо
{сАх,х)<0 \/х*0.
Додатно та від'ємно визначені квадратичні форми називаються
знаковизначеними.
Теорема 1. Для того, щоб квадратична форма була додатно
(від'ємно) визначена, необхідно та достатньо, щоб усі власні значення
А., матриці цієї квадратичної форми були додатні (від'ємні).
Теорема 2. (Критерій Сильвестра). Для того, щоб квадратична
форма була додатно визначеною, необхідно та достатньо, щоб усі го-
ловні кутові мінори матриці цієї форми були додатними; для того, щоб
квадратична форма була від'ємно визначеною, необхідно та достатньо,
щоб усі головні кутові мінори парного порядку матриці цієї форми були
додатними, а непарного - від'ємними.
//. Контрольні питання та завдання
1.
Що називається квадратичною формою п змінних
х,,
х
2
,...,
х
п
? Яка квадратична форма називається дійсною?
2.
Що називається матрицею квадратичної форми;
рангом квадратичної форми?
3.
Як записати квадратичну форму в матричному
вигляді; в операторному вигляді?
4.
Яка квадратична форма називається канонічною,
який вона має вигляд?
5.
У чому полягає метод ортогональних перетворень зве-
дення квадратичної форми до канонічного вигляду?
214
Глава
6.
Квадратичні форми
6. Чому дорівнюють коефіцієнти канонічної квадратичної
форми,
до
якої зводиться задана квадратична форма методом
ортогональних перетворень?
7.
У
чому суть методу Лагранжа зведення квадратичної
форми
до
канонічного вигляду?
8.
Які
мінори називаються головними кутовими
мінорами матриці?
9.
В
якому випадку може бути застосовано метод Якобі
зведення квадратичної форми
до
канонічного вигляду?
10.
Як
визначаються коефіцієнти канонічної квадратич-
ної форми,
до
якої зводиться задана квадратична форма
ме-
тодом Якобі?
11.
Чи
єдиним чином визначається канонічний вигляд
для
даної квадратичної форми?
12.
У
чому полягає закон інерції квадратичних форм?
13.
Яка
квадратична форма називається додатно визна-
ченою; від'ємно визначеною; знаковизначеною?
14.
Сформулюйте критерій Сильвестра додатно
визначеної (від'ємно визначеної) квадратичної форми.
III. Приклади розв'язання задач
Приклад
1.
Записати
у
матричному вигляді квадратичну
форму
Ь
(X]
, х
2
, х
3
) = 2х
2
—
5х
2
+ Зх
3
+
8Х]Х
2
+
4Х}Х
3
.
•
Матриця заданої квадратичної форми
А
=
2
4
2
4
-5
0
2^
0
З
Отже,
( 2
4
2"
(
V
^
Х
\
ь(х
іг
х
2
, *з )= Х
т
А X = (*[ х
2
*з)
4 -5
0
х
2
,
2
0
з,
1*3,
§1.
Теорія квадратичних форм
215
Приклад 2. Задана матриця А квадратичної форми
2 -1 0
-1 3
5
0 5 -2
А =
Записати цю квадратичну форму у вигляді однорідного
многочлена другого степеня, тобто у вигляді
/ х з з
І
у
х
х
, х
2
, х
}
)
=
І І а
ц
х
і
х
і
, а
ц
= а .,..
і=1
7=1
• Оскільки а
хх
=2, а
2
2
=
З , «зз=
_
2, а
і2
=а2\=-1,
«13 =«31 = 0. «23 = «32 =
5
'
то
Ь (*і , х
2
, *з ) = 2х
х
+ 3*
2
- 2*з -
2*]*
2
+10х
2
*з .
Або,
скориставшись матричною формою запису квадратичної
форми, та перемноживши відповідні матриці, отримуємо
(
2
~
1
( У
Л
Ь(х
х
, *
2
, *з
)
= Х
Т
А X = (*] х
2
-з)
-1
3 5
х
2
,
0
5 -
1
х
з,
( У
Л
х
\
=
(2*!
- х
2
-х\+ Зх
2
+ 5*з 5х
2
- 2*з)
Х
2
=
= (2*[ - *
2
) *) + (-
*]
+ 3*
2
+ 5*з) *
2
+ (5*
2
-
2*з) *з
= 2х\ + 3*
2
- 2*| - 2*і*
2
+ 10*
2
*з .
<
Приклад 3. Звести квадратичну форму Ь (х
х
, х
2
) до канон-
ічного вигляду методом ортогональних перетворень. Виписати
відповідну ортогональну матрицю, ортогональне перетворення
та канонічний вигляд. Виконати перевірку правильності знаход-
ження ортогональної матриці та ортогонального перетворення.
216
Глава 6. Квадратичні форми
• 1. Матриця заданої квадратичної форми
ґ
2 0
А =
1 2
Знаходимо власні значення Х\, Х
2
матриці А , розв'язавши характе-
ристичне рівняння.
2-А. 1
1 2-І
0.
Л-х = 3, Х
2
=1.
2.
Знаходимо власні вектори х\, х
2
матриці А , розв'язуючи систе-
му рівнянь
(2 - х)х
{
+ х
2
= 0 ;
хі
+
(2 - Х)х
2
= 0 ,
при Л-і = 3, Х
2
= 1.
X, =3,
-х\
+
х
2
= 0 ;
х,-х
2
;
х
2
= 1 ,
*1 -Х
2
=0 ,
*1
= (1 , 1). Нормований власний вектор: е\
Х\
+
х
2
= 0 ; [ Х| =
—
х
2
*1 + *2 = 0 ,
*2
:
х, =1;
х
2
= 1.
іУ
42"
4і
х
х
=-
\ ;
х
2
=
1
.
х
2
= (-1, 1). Нормований власний вектор: е
2
=
1 1
, 4г'
4г
3.
Складаємо ортогональну матрицю, взявши е\ та е
2
за стовпці
цієї матриці.
( 1 1
Л
Т =
4г 4г
і і
л/2
л/2
1
4і
<\ -і
л
і і
Це матриця переходу від вихідного базису до канонічного.
§1.
Теорія квадратичних форм
217
Ортогональним перетворенням, що зводить квадратичну форму до
канонічного вигляду, являється
Х
= Т¥,
Х
=
ЇЇ
1 -1
1 1
^2
1
ЇЇ
Уі
+У2.
або
х
\=-^{у\-У2);
х
2
=-^{у\+уі)-
(б.і)
4.
Записуємо канонічний вигляд квадратичної форми.
кІУі
>
Уі ) = +УІ-
Перевіряємо правильність, знаходячи матрицю Г> канонічної форми
за формулою:
т
1
0
= Т
!
АТ =
ЇЇ
'
і г
(2 1>
1
-Г
,-1 1,
2;
її
1
і
/
3
3
1
(\
-Г
_
1
'6 0"
Гз
(Л
2
V"
-1
К
,і
к
~
2
,0
2,
Отримали, що матриця В діагональна, на діагоналі стоять власні
значення, тобто £> = ша§(3, і). Отже, канонічна форма, а також орто-
гональна матриця знайдені вірно.
Можна також безпосередньо впевнитись у правильності знаход-
ження ортогонального перетворення (6.1), підставивши (6.1) у вихід-
ний вигляд квадратичної форми Ь(х\, х
2
)• Виконавши всі перетво-
рення, отримаємо канонічний вигляд.
Ц(х],
х
2
)= 2х\ + 2х| +
2х}Х
2
х.=^(Уі-й)
х
2=-^(Уі+У2)
=
2
\
(У\ -
У2
)
2
+ 2
~ (л + У2
У
+ 2 ™ (У\ -
У2
)ІУ\ +
У2
)
=
218
Глава
6.
Квадратичні форми
= У\ ~ ІУ\У2
+У2+
У\ +
2
У\У2
+У2+
У\ ~ у\
=
ЬЇ +У2 =к{у\ > У2
)•
^
Приклад
4.
Звести квадратичну форму
Ь(х
1
, х
2
, х
3
) до
канонічного вигляду методом ортогональних перетворень.
Виписати відповідну ортогональну матрицю, ортогональне
перетворення
та
канонічний вигляд. Звести канонічну квад-
ратичну форму
до
нормального вигляду.
1^
(
Х|
, Х
2
,
Х3
)
— Ху
8X1X2 1
6X1X3
+ 1Х
2
8X2X3
+ X
•
1.
Матриця даної квадратичної форми:
1
-4
-4
7
-4
Характеристичне рівняння
1-А. -
-4
-8
7-А
-4
-4
1-А.
=
0
Корені характеристичного рівняння
А]
значення матриці
А .
А.)
= -9 -
простий корінь,
А
2
= 9 -
корінь кратності
2.
Система рівнянь
для
визначення власних векторів
9,
А
2
=
А-з
= 9; це
власні
к
=
2.
"(і
-
А.)*,
- 4х
2
- 8х
3
= 0;
-4х
х
+(7-к)х
2
- 4х
3
= 0 ;
-8*1
- 4х
2
+
(і-А.)*
3
= 0.
При
А) = -9
система приймає вигляд:
10*!
- 4д:
2
- 8*3 = 0;
-
4*[
+16*2
_
4*з = 0; або
-
8*) - 4*2
+10*з
=
0 ,
5*]
-
2*2
-
4*з
= 0 ;
*1
-
4*2
+ *з = 0 ;
4*і
+
2*2 -
5*
3
= 0 .
§1.
Теорія квадратичних форм
219
А-Х,Е
=
5 -2
1 -4
4 2
1 -4
0 18
0 18
^ ' 1 -4 ї
0 2-1
0 0 0
г
= -Л
і
Е)= 2 => З п - г = З - 2 =
1
лінійно незалежний влас-
ний вектор.
Для його знаходження розв'язуємо скорочену систему
[дг] -4х
2
+х
3
= 0 ; [х) -4x2
=
_х
3
>
2х->
-
х
3
= 0 ,
х, = 4х
2
- х
3
;
2 '
х
3
= 2,
х
2
X] = 2 ;
х
2
= 1;
х
3
= 2 .
Х[
=(2,1,
2 ). Нормований власний вектор: е\ =
При Х
2
= 9 система приймає вигляд:
-
8х]
-
4x2
-
= 0 ;
-4*!
-2х
2
-4х
3
=0 ; => {2х!+х
2
+ 2х
3
=0 ;
-8х,
-4х
2
-8х
3
= 0 ,
2
І
2
З'
З' З
Х2 — —
2х| — і
х
3
= о.
X] = 1 ;
х
2
= -2 ;
х
3
= 0,
або
Х2
— —
2х|
—
2*з \
х, = 0;
х
3
= 1,
х\
= 0;
х
2
= -2;
х
3
= 1.
г = -Л^Я)=
1
:=> 3 л-г = 3-1 = 2 лінійно незалежних
власних векторів.
220
Глава 6, Квадратичні форми
'
°1
-2 -2
Знайшли Ф.С.Р. однорідної системи
Шукані власні вектори відповідно
*
2
=(і,-2,0), х
2
') = (0,-2,і).
Ці вектори лінійно незалежні, але не ортогональні. Запишемо всю су-
купність власних векторів, що відповідають власному значенню Х
2
.
х=Сі(і,
- 2, 0) + с
2
(0, - 2,
1
) = (сі, -2с[ -2с
2
, с
2
),
І
С
11
+
1
с
2
| *
0
>
сі,
с
2
є
К
.
Будемо вимагати, щоб вектори х
2
та х були ортогональні, тобто
(х
2
,
х)=0.
(х
2
,
х) = (і, -2, 0)-(с,, -2с,-2с
2
, с
2
) =
= 1-с, +(-2)-(-2с
1
-2с
2
)+0-с
2
=
=
Сі + 4с[ + 4с
2
=0 => 5С) = -4с
2
.
4
сі=-
?
с
2
.
Покладемо, наприклад, с
2
= 5 . Тоді
С]
= -4 і власний вектор
х
= (-4,-2,5). Позначимо х
3
= х = (-4, - 2, 5 ). Отже, маємо пару
ортогональних власних векторів
х
2
=(і,-2,0),
х
3
=(-4,-2,5).
Пронормуємо ці вектори.
1
лЯ'
лЯ
,0
е
3
=
ЗлЯ'
ЗлЯ' ЗлЯ
Отримані вектори
Є[,
е
2
, е
3
ортогональні і нормовані. Безпосе-
редньо впевнюємося, що (е,, е
•
)= 8
у
.
3.
Складаємо матрицю Г, де вектори е"[, е
2
, е
3
розташову-
ються стовпцями.