Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1
Подождите немного. Документ загружается.
§1.
Теорія квадратичних форм
231
6.6. Звести задану квадратичну форму
до
канонічного виг-
ляду методом ортогональних перетворень. Виписати ортого-
нальне перетворення
та
канонічний вигляд квадратичної фор-
ми.
Записати нормальний вигляд квадратичної форми.
Х| ,
5
Х-^
^
—
"4"
~т~
Х^
Н~ 4x^X2
~т~
4Х|Хз
~т~
4х2Х^
.
6.7. Звести квадратичну форму
Ь(х
{
,
х
2
,...,
х
п
) до ка-
нонічного вигляду методом Лагранжа
та
записати відповід-
не перетворення, якщо:
а)
7і( , х
2
)
=
х, + 2х
2
+
2х,х
2
\
б)
1~/(х,,
х
2
, х
3
)
—
х,
ч-
5х
2
~і~
2х
3
-і
-
2х^х
2
~ь
2х,х
3
2х
2
х
3
,
в)
Ь(х
]
, х
2
, х
3
)
=
4х
2
+ 2х
2
+
14х
3
-4х,х
2
-
6х
2
х
3
;
^(
5 ^2' "^*з )
—
^"^з
2Х|Х2
~Ь
2x^x^
^
д)
Х| ,
Д^2
^
Х3 ) -^2
"І
-
Х3
~г"
-^[-^з
2x2^2
,
є)
-^і
?
-^2 ' "^3 )
—
Х|Х2 Х|Хз .
6.8. Методом Лагранжа знайти нормальний вигляд
та
невироджене лінійне перетворення,
що
зводить
до
цього виг-
ляду,
для
заданої квадратичної форми:
Х| ,
Х2 5
Х^ ^
—
Х|
~г~
5x2 ^"*^3
2x^X2 4Х|Х^
.
6.9. Звести квадратичну форму
Ь(х
{
,
х
2
,...,
х
п
) до ка-
нонічного вигляду методом Якобі
та
записати відповідне
пе-
ретворення, якщо:
а)
х,, х
2
, х
3
)
—
х,
• х
2
-ь Зх
3
"Ь
4Х|Х
2
4-
2х
2
х
3
,
б) Ь{
Х|
, х
2
, х
3
) = 2х
2
Н" Х2
~і~
^Хз
2Х|Х2
)
в)
І^і^
Хі ,
Х2 5
Х^ ^
—
2x2 *^3
6Х|Х2
2X2X3 .
232
Глава
6.
Квадратичні форми
6.10. Звести квадратичну форму Ь(х
{
, х
2
,..., х„ ) до
канонічного вигляду: 1) за допомогою ортогонального пе-
ретворення; 2) методом Лагранжа; 3) методом Якобі (якщо
цей метод можливо застосувати), та записати відповідне пе-
ретворення, якщо:
3.) X] , Х2 )
=
Х\ "г"
2Х|Д^2
\
б)
Ь{
х
х
, х
2
)
=
Зх
2
- 4х
2
- 4л/2 х,х
2
;
в)
//( X]
, х
2
, х
3
) = х, + 2х
2
+ 2х
3
+ 2х
2
х
3
.
У задачах 6.11 -6.16 дослідити на знаковизначеність
кожну з даних квадратичних форм.
6« 11* Х/( Х| , Х2 ^ ~ Хі
"і~
2x2 2Х|Х2 •
6.12. Ь( х
х
, х
2
) = х
2
+
2х
2
- 6х,х
2
.
6»13» Х|
9
Х2
5
Х3
^
=
Х| ЗХ2 ^"^3 ^1"^2 2X2X3 .
6.14.
2,(
х,, х
2
, х
3
) = 6х,
2
+ Зх
2
+ 5х
3
+ 2х^
2
+ 4х,х
3
—
2х
2
х
3
.
6.15» ^у^Х|
9
5
Х3 ^ — 8Х| ^-^2 ^"^3
4Х|Х2
2Х|Х^ "т*
2X2X3.
6.16. Ь( х,, х
2
, х
3
) =
X
2
- 2х
2
+ Зх
2
-
4X4
+ х,х
4
+ 6х
2
х
3
.
У задачах 6.17-6.20 дослідити, за яких значень X кож-
на з даних квадратичних форм є знаковизначеною.
6.17. Ь(х
х
, х
2
, х
3
) = х
2
+ 2х
2
+ А.х
3
.
6.18. X], х
2
, х
3
)
==
2Х|
—
Зх
2
4- 4х
3
+
Х.Х]Х
2
+ х
2
х
3
.
6.19. Ь(х
х
, х
2
) = Хх
2
+
Зх
2
-4х,х
2
.
6.20. Ь{
X,,
х
2
) = -Зх
2
+
X
х\ - 4х,х
2
.
§2.
Використання теорії квадратичних форм
233
§2.
Використання теорії квадратичних форм
І.
Короткі теоретичні відомості
Зведення загальних рівнянь кривих та поверхонь другого порядку
до канонічного вигляду. Загальне рівняння кривої другого порядку має вигляд
•у
9
а
іх
х
+ 2а
Х2
ху +
а
22
у
+ 2ах
+
2Ьу + / = 0,
(6.10)
де а
у
-, і, і = 1,2 , а , Ь , / - задані числа, при цьому хоча б один з кое-
фіцієнтів ац
Ф
0.
Це рівняння може визначати невироджені лінії другого порядку: еліпс,
гіперболу, параболу або вироджені лінії другого порядку: пару прямих (може
й співпавших), точку, пусту множину.
Загальне рівняння поверхні другого порядку має вигляд
7
7 7
ацх +а
22
у +Я332 +2аі
2
ху
+
2ацХ2
+
2а2
3
у2
+
+2ах
+ 2Ьу + 2сг + / = 0,
(6.11)
де а,-,
*у
>
г,
У
= 1,3, а , Ь , с, / - задані числа, при цьому хоча б один з
коефіцієнтів ау
Ф
0.
Це рівняння може визначати невироджені поверхні другого по-
рядку: циліндри, конуси, еліпсоїди, гіперболоїди, параболоїди або ви-
роджені поверхні другого порядку: пару площин паралельних (може й
співпавших), чи таких, що перетинаються, точку, пусту множину.
Зведення загальних рівнянь кривих та поверхонь другого порядку до
канонічного вигляду виконується з використанням теорії квадратичних форм.
Дійсно, група старших членів рівнянь (6.10) та (6.11) представ-
ляє собою квадратичну форму змінних х, у та х , у , г з матрицями
А =
а
п
а
Х2
«12
а
2і)
та А =
а
и
0,2
а
\2
а
22
У
а
\3 «23 «33.
«13
«23
відповідно.
Тому, перш за все, зводимо вказані квадратичні форми до канонічного
вигляду, використовуючи метод ортогональних перетворень. З цією метою
переходимо від ортонормованого базису і, } або /, }, к до ортонормова-
ного базису е,, е
2
або
е
х
,е
2
>
^3 відповідно, що складається з власних век-
торів відповідних матриць.
234
Глава 6. Квадратичні форми
Підкреслимо, що новий базис обов'язково повинен бути ортонормо-
ваним, бо тільки у цьому випадку перехід від першого базису до другого має
геометричний зміст повороту координатних осей.
Зауважимо також, що коефіцієнти при квадратах змінних у канонічно-
му вигляді квадратичної форми, що одержані методом Лагранжа або Якобі,
не співпадають з власними значеннями матриці цієї форми, а перетворення
координат при цьому, хоча і є лінійним і невиродженим, не збігається з пере-
творенням координат при повороті осей.
Далі приводимо алгоритм зведення рівнянь кривих та поверхонь дру-
гого порядку до канонічного вигляду. Всі пункти будуть записані для повер-
хонь другого порядку, тобто для трьох змінних. Для кривих другого поряд-
ку, тобто для випадку двох змінних, всі формули відповідно спрощуються.
1.
Складаємо характеристичне рівняння
<іеі(Л-А£)=0
та знаходимо його корені Х\, А
2
, А
3
- власні значення матриці А .
2.
Знаходимо власні вектори Х\, х
2
, х
3
, що відповідають цим влас-
ним значенням. Вони повинні бути ортогональними, що збігається з вла-
стивостями власних векторів самоспряженого оператора. Пронормував-
ши їх, отримаємо ортонормований базис.
- Х\ _ X") -. Х-І
Є\=Т=~у
Є
2=Г^-|,
Є
3=Т=-\
1*1
І
\
Х
2\ 1*3
І
де (е,-, е
}
)= 8
у
, 8
у
- символ Кронекера.
3.
Виписуємо матрицю Т переходу від базису і,],к до бази-
су е\, е
2
, е
3
. Для цього записуємо вектори е
х
, е
2
, е
3
у стовпці мат-
риці Т , для якої йсіТ = ±1. Для збереження взаємної орієнтації нових
координатних осей, на матрицю Т накладають додаткову умову:
сієї
7"
= 1. Якщо ця умова не виконується, то їй легко задовільнити
відповідним вибором власних векторів.
4.
Виконуємо лінійне невироджене перетворення
х
=
тґ,
'х\
V
де Х =
У
Уі
1
г
,
§2.
Використання теорії квадратичних форм
235
Тоді матриця
А
квадратичної форми зведеться
до
діагонального
вигляду
73.
А
—» Б =
аіа§ (к\,
Л
2
, Л
3
).
Група старших членів перетвориться
так:
2
2 2
а
\\
х
+а
22У
+Я332 +
2аі
2
х у+ 2ацх 2+ 2а
2
-$у
2
=
= | X = ТХ'
І
= А,*,
2
+ Л
2
у\ + Я
3
2,
2
.
Група лінійних доданків представиться
так:
2ах +
2Ьу
+
2сг
=
\Х = ТХ'\ =
2а'х
]
+2Ь'у
і
+2с'г,.
Вільний член
/
залишиться
без
змін.
Таким чином, рівняння (6.11)
у
координатах
х\,у\,2\
приймає
вигляд:
Х
х
х
2
+ Х
2
у
2
+
Х.
3
2,
2
+
2а'х
х
+
2Ь'у
х
+
2с 2,
+
/ = 0
. (6.12)
5.
Виділяємо повні квадрати відносно змінних
х
х
, у\, 2
Х
,
вико-
нуємо паралельний перенос, переходячи
до
змінних
х
2
, у
2
, г
2
і
таким
чином отримуємо канонічне рівняння.
Зауважимо,
що
рівняння (6.11) задане
у
системі координат
0;/,у,£); рівняння (6.12)
у
системі
(О; е
х
, е
2
, е
3
), що
отримана
з
вихідної поворотом
на
деякий
кут,
канонічне рівняння записується
у
системі (О
х
;е
х
,е
2
,е
3
), що
отримується
з
попередньої паралельним
переносом початку координат
у
точку
О
х
.
Зауважимо також,
що
канонічні рівняння кривих
та
поверхонь дру-
гого порядку можуть представлятися
в
одному
з
наступних виглядів.
Для кривої другого порядку
(у
змінних
х, у у.
1)
Х\х
2
+
Х
2
у
2
+ с = 0,
ХіХ
2
*0;
2) Л
х
х
2
+ Ьу = 0, Х\ *0;
3)Я.,л:
2
+
с = 0, Х\ *0.
Для поверхні другого порядку
(у
змінних
х, у ,
2
):
1) Х.,л-
2
+
Я.
2
>'
2
+Я.з2
2
+с
= 0,
А.,Х
2
>.з#0;
236
Глава 6. Квадратичні форми
2) Х
х
х
2
+Х
2
у
2
+ Ьг = 0,
3) Х
х
х
2
+ Х
2
у
2
+ с = 0,
4) Х\х
2
+ Ьу = 0,
5) Х
х
х
2
+с = 0,
Х{Х
2
Ф0\
Х{к
2
*0;
Х
х
ФО;
Х,*0.
II. Контрольні питання та завдання
1.
Запишіть загальне рівняння кривої другого порядку на
площині.
Як знайти ортонормований базис, в якому квадратична
форма, що відповідає цьому рівнянню, має канонічний вигляд?
2.
Запишіть загальне рівняння поверхні другого порядку.
Як знайти ортонормований базис, в якому квадратична
форма, що відповідає цьому рівнянню, має канонічний
вигляд?
///. Приклади розв'язання задач
Приклад 1. Звести до канонічного вигляду задане
рівняння кривої другого порядку та побудувати її.
• Рівняння кривої (6.13) задане в системі координат уО\ і, і
Матриця квадратичної форми, що присутня в (6.13)
Знаходимо Д = 9-25 = -16<0. Маємо криву гіперболічного типу.
Виконуємо зведення рівняння до канонічного вигляду таким чином:
Зх
2
+1 Оху + 3у
2
- 2х -14у -13 = 0 (6.13)
3-Х 5
1. Складаємо характеристичне рівняння = 0 і знахо-
5 3-Х
димо його корені Я.) = 8, Х
2
= -2 . Це власні значення матриці А .
§2.
Використання теорії квадратичних форм 237
2.
Знаходимо власні вектори.
Використовуємо систему:
[(З-А.)*!
+5х
2
= 0;
5х
х
+ (3-А)х
2
= 0.
У цій системі послідовно покладемо А.) = 8, А
2
= -2 .
Г-5хі
+ 5х-> = 0;
(
[ 5Х] -5х
2
= 0,
х, = х
2
;
х
2
= 1,
Х[
=(і, і) - власний вектор; е
х
=
ний вектор.
{
5хі + 5хт = 0 ; ,
5х) + 5х
2
= 0 ,
х, =1;
х
2
= 1.
1 1
—!=,
—г=
| - нормований влас-
\2 у/2 .
х\
- -
Х2;
х
2
= 1,
х
2
=•
(-1, і) - власний вектор; е
2
=
хі =-і;
х
2
= 1.
^ і_
л/2
' л/2
нормований влас-
ний вектор.
Маємо нову систему координат (О; ?], є
2
), яка отримується з
попередньої поворотом на відповідний кут.
3.
Записуємо матрицю переходу від базису і,] до базису е
х
, е
2
•
Т =
1
1
л/2
л/2
1 1
І
л/2 л/2
)
4~2
(І -Г\
1 1
Матриця Т ортогональна.
238
Глава 6. Квадратичні форми
Перевіряємо: оеі Т =1, значить збережена взаємна орієнтація осей
при повороті системи координат.
4.
Виконуємо лінійне перетворення:
Х = ТҐ.
Х =
1
її
і
-п
1 1
тобто
У =
1
ЇЇ
1
ЇЇ
{х\~У\)\
(
Х
і+У\
)•
(6.14)
Підставимо формули перетворення (6.14) в рівняння кривої (6.13).
Тоді матриця А квадратичної форми прийме діагональний вигляд
А -> Б = йіа§(Я}, Л
2
) і група старших членів представиться так:
Зх
2
+
1
Оху + 3у
2
=
|
X = ТХ' | = А,*,
2
+ Л
2Л
2
= 8х,
2
- 2у\ .
Група лінійних членів:
-2х-14у = \х = ТХ'\ = -2~{х
1
-у
1
)-14--~(х
1
+у
1
) =
=
-2-^(*1
-Уі + 1х
1
+7у
1
)=-2~(Щ +6^).
Вільний член не змінюється.
Таким чином, рівняння кривої у змінних х\ та ^ прийме вигляд:
8х
2
-2у
2
-2--у=Х]
-2--^у] -13 = 0 .
(6.15)
л/2 '
5.
Виділяємо повні квадрати відносно змінних х
х
та >>і у (6.15).
9 9^|
'
2 1 1 О
/
Хі
—2—г="Хі
н —2
ЇЇ 2 2)
-13 = 0,
Г
11
2
Г
3
"І
-2
+
=
13
+ 4-9,
§2.
Використання теорії квадратичних форм
239
*1
'4г.
-2
У\ +
Покладемо
( 11
2
(
3
1
І^Тг]
1 4
х
2
- х
х
1
4І'
(6.16)
Це відповідає паралельному переносу початку координат у точку
О,
^ 3_
4г' 4г
. Отримаємо рівняння
2 2
х
г Уг
1
(6.17)
1 4
Це канонічне рівняння гіперболи. Воно записано в системі коор-
динат (О
х
;е
х
,е
2
).
6. З формул паралельного переносу (6.16) знайдемо вираз х\, у\
через х
2
, у
2
та підставимо у формули перетворення (6.14). Отримає-
мо результуюче перетворення координат (6.18).
У\ = Уг -
1_
4г
з
4г'
у =
1
4г
_і_
4~г
Х2+
Т2-
уг+
Тг)
і з )
і
лЯ
1
лЯ
(х
2
->'
2
) + 2;
(*
2
+у
2
) -1.
(6.18)
240
Глава
6.
Квадратичні форми
Очевидно, що якщо підставити формули перетворення (6.18)
у
ви-
хідне задане рівняння кривої
(6.13),
то отримаємо канонічне рівняння
(6.17).
(Перевірте!)
Таким чином,
(6.18) -
результуюче перетворення координат,
а
кано-
нічна система координат
(О
х
; е\, е
2
), де
<
1 з ^
1
Г 1 - - 1 Т 1
4їУ
Єі=
7Ґ
+
7Г
; Є2=
"7Ґ
+
7ї
7
2
2
X")
7. Побудуємо гіперболу задану рівнянням (6.17)
—
— = 1. По-
1
4
слідовно нанесемо
три
системи координат (о;/,_/)>
(0;е\,е
2
),
(О];
е\, е
2
) і в
останній канонічній системі координат представимо
гіперболу, задану
цим
рівнянням.
2
2
х~)
уу
Враховуємо,
що -у у- =
1
-
гіпербола
з
дійсною віссю
О
х
х
2
,
а
=
1
, 6 = 2-
півосі гіперболи.
Рис.
6.1
<