Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1

Подождите немного. Документ загружается.

Границі послідовностей та функцій

251

Арифметичні властивості збіжних послідовностей

Якщо існують скінченні границі послідовностей {х

} та {у

}

Ііт х„

а , Ііт у

= Ь

л-*да л-*оо

ТО

1) Ііт сх

= с Нт х

, с = сопзі;

И->00

—>0О

2) Ііт (х

±у„)= Ііт х„ ± Ііт у„ ;

Л —»оо Л—»со л—>ао

3) Ііт *„-.)>„ = Ит х„ • Нт у„ ;

Л~>00

—>00

Л—>00

Ит *„

4) 1іт^-=

^°° , нт.у

*0.

л_

со

Уя

пт

Уп

л_>ео

Л~>сс

Обчислення границь зводиться до застосування вказаних формул, за

умови існування скінченних границь послідовностей {х

} та {у„}. Якщо ж

ця умова не виконується, виникають так звані невизначеності, наприклад

типів |~|> І

00 - 00

). {І"} - Д

ЛЯ

розкриття невизначеностей спочатку ви-

конують перетворення, а після цього переходять до границі.

Функція

Основні поняття. Нехай задано дві непусті множини X та У. Якщо

кожному значенню змінної х, що належить деякій області її зміни X

(х є X), ставиться у відповідність за деяким законом єдине значення у еУ,

то кажуть, що на множині X задана функція у = /(х).

Множина X називається областю визначення

функції*

позначається .

Множина У називається областю значень функцій позначається Е(/). При цьому

х називається незалежною змінною або аргументом, у -функцією.

Якщо кожному значенню хеХ відповідає не одне, а декілька зна-

чень у є У, то функція називається многозначною, на відміну від однознач-

ної^функції, визначеної вище. В подальшому будемо розглядати тільки одно-

значні функції, якщо не застережене противне.

Графіком функції у = /(х) називається множина точок площини хОу

з координатами (х,

/(х)),

де х є

/-)(/).

252

Глава

Границі

та

неперервність функцій

Обернені функції.

Якщо рівняння

/(х)

може бути однозначно

розв'язано відносно змінної

х,

тобто існує функція

х = §(у)

така,

що

/[{;(х)],

то

функція

х = д(у) або в

стандартних позначеннях

у = %(х)

називається

оберненою по

відношенню

до у

/(х).

Очевидно,

що

[/(*)] =

тобто функції

/(х) і

%(х)

взаємно оберненими.

Суперпозиція функцій.

Нехай задані функції

= /(и), и =

ф(лг).

Су-

перпозицією

цих функцій (або

складною

функцією) називається функція виг-

ляду

у =

/[ф)].

Деякі класи функцій

Обмежені функції.

Функція

/(х),

визначена

на

множині

нази-

вається

обмеженою,

якщо існує таке число

> 0,

що для всіх

є X

, вико-

нується нерівність

/(х)

М .

Монотонні функції.

Функція

/(х)

називається

зростаючою (спад-

ною),

якщо /(х

/(х

)

(/(*])<

/і

))

\ >

• Ц'

функції назива-

ють

строго монотонними.

Функція

/(х)

називається

неспадною (незростаючою),

якщо

/(*,)> /(х

) (/(дг,)^ /(дг

))прид,

> х

. Ці

функції називають

ЛІОНО/ИОКШАМИ.

Парні та непарні функції.

Функція /(х) називається

парною (непар-

ною),

якщо

її

область визначення симетрична відносно точки

д:

= 0

Я-х) =

Ах)

(Л-дг)

»-/(*)).

Періодичні функції.

Функція

/(х)

називається

періодичною,

якщо існує

таке число

Т > 0, що

Удг

£)(/)

виконується умова

/(х

+ Т) =

/(х).

Най-

менше число

Т,

для

якого

виконується

ця

умова, називаєтьсяйф/одом функції.

Основні елементарні функції.

Основними елементарними функціями

називаються такі функції.

Степенева функція:

у =

аєК.

Показникова функція:

у = а

а>0,а*\.

Логарифмічна функція:

у = 1о§

х,

а>0,аф].

Тригонометричні функції:

у =

&'тх,

соя*,

у =

1&х,

у = сІ§х.

5. Обернені тригонометричні функції:

агсзіпі>

агссо$х,

•-

агсі£

х,

у =

агсс(£

х.

Границі послідовностей та функцій

253

Елементарні

функції.

Елементарними функціями називаються функції,

які отримуються з основних елементарних функцій за допомогою скінчен-

ного числа арифметичних операцій і суперпозицій (формування складних

функцій).

Гіперболічні

функції.

До елементарних функцій відносяться гіпер-

болічні функції, які визначаються так:

гіперболічний синус зЬх =

гіперболічний косинус сЬ

гіперболічний тангенс

Йі

х =

е —е

+ е~

2 '

кЬх є" -е~

сЬх е

+е

сЬ

х е

+ е

гіперболічний котангенс ст х = = —— , х

0 .

8П

X е

- Є

Раціональні

функції.

До елементарних функцій відносяться раціональні

функції, які визначаються так:

а,х +...

а„х"

+Ь

х + ...

х"

де а

, - дійсні числа, і = 0, п, } = 0, т, т,п є N .

Якщо т = 0, Ь

* 0, то позначивши с, = —, маємо функцію

+с

]

...

с„х",

яка називається цілою раціональною функцією або многочленом.

Якщо раціональна функція не є цілою, то її називають дробово-раціо-

нальною функцією або раціональним дробом.

Границя функції

Основні поняття. Нехай функція /(х) визначена в деякому околі

точки х = а, за виключенням, можливо, самої точки х - а.

Означення

(на мові послідовностей). Число А називається границею

функції /(х) в точці х = а, якщо для довільної послідовності {х

}, х

* а ,

збіжної до а , відповідна послідовність {/(х

)}

збігається до А.

254

Глава 7. Границі та неперервність функцій

Означення 2 (на мові " є - 8 "). Число А називається границею функції

Дх) в точці х = а, якщо для довільного числа є>0 знайдеться число

8 = 8(є) таке, що для всіх х, які задовольняють нерівності 0 <

х - а | < 8,

виконується нерівність

Д х) - А

< є.

Символічно той факт, що число А є границею функції Дх) в точці

х = а , записується так:

Ііт /(х) = А.

Геометрично цей факт інтерпретується так: для довільного є > 0 існує

таке 8 , що для всіх х є (9(а,8), х

а , відповідні значення Дх) є 0(Л,є).

Поняття границі має місце і при а -

оо,

і при А =

оо.

Запис Ііт Д х) = А означає, що для будь-якого є > 0 знайдеться таке

число М(г) > 0, що для всіх х, які задовольняють умові

х\> М(Е) , вико-

нується нерівність

Дх) - А | < є.

Запис Ііт /(х) =

оо

означає, що | /(х)

> М для всіх х, що задоволь-

няють умові 0 <

х - а | < 8(М), де М - довільне додатне число.

Якщо Ііт /(х) =

оо

, то функція /(х) називається нескінченно великою

х->а

при х -» а .

Якщо Ііт а(х) = 0, то функція а(х) називається нескінченно малою

при х

—>

а .

Якщо х < а і х

—>

а , то умовно пишуть х

—>

а - 0 ;

якщо х > а і х -> а , то умовно пишуть х

—>

0 ;

Числа

/(а-0)= Ііт Дх) та Да+0)= Ііт Дх)

х->а-0

х-*а+0

називаються відповідно границею функції /(х) зліва в точці а і границею

функції /(х) справа в точці а .

Границю зліва в точці а та границю справа в точці а називають одно-

сторонніми границями.

Для існування границі функції при х

—>

а необхідно та достатньо, щоб

/(а-0) = /(а + 0).

Границі послідовностей та функцій

255

Практичне обчислення границь основується на таких теоремах.

Якщо існують скінченні границі Ііт /(х) та 1іт£(х),то

х—>а

х-+а

Нт с/(х) = с Нт /(х), с = соті;

х—>а

х~¥а

Ііт [/(*) ±

(х)]

= Ііт Дх) ± Нт

(х);

х~>а

х—>а х-*а

Нт [ Д х)

•

І(Х)] = Нт Д х)

•

Нт ф); (7.1)

НтДх)

1іт^ = - , Нт£(х)*0.

х-т

£(х) Нт §(х) х-т

х—ю

Це так звані арифметичні властивості функцій, що мають скінченні

границі.

Використовуються також перша та друга важливі границі і наслідки з них.

Перша важлива границя:

Нт = 1. (7.2)

*->о х

Друга важлива границя:

1іт|і + -1 =е. (7.3)

Наслідки з першої важливої границі:

,. Ійх , ,.

агс5Іпх

, ..

агсїех

, ._ .

Нт

-2—

= 1; Нт = 1; Нт — =

. (7.4)

дг—>0 X *->0 X *->0 X

Наслідки з другої важливої границі:

Нт(1 + х)

= е ;

Ит

іо

Єа

п+*),_!_.

1іт

им

= 1;

*->о х та х->о х

а*

— 1

Нт = 1па; Ііт = 1; (7.5)

*->о х *-»о х

+ хУ-І

Нт - = ц .

х->0 X

256

Глава 7. Границі та неперервність функцій

Порівняння нескінченно малих

Нехай а(х) та р(х) нескінченно малі при х

—>

а .

а(х)

Якщо Ііт = А

0, то а(х) і Р(х) називають нескінченно ма-

*->я

р(х)

лими одного порядку та пишуть а(х) = 0(Р(х)) при х

—>

а (О - велике).

а(х)

Якщо Ііт = 1,то а(х) і Р(х) називають еквівалентними не-

Р(х)

скінченно малими та пишуть а(х) ~ Р(х) при х

—>

а .

ссГх)

З.Якщо Ііт = 0,то а(х) називають нескінченно малою вищого

*->л

Р(х)

порядку, ніж Р(х) та пишуть а(х) = о(Р(х)) при х

—»

а (о - мале).

сс(х)

Якщо Ііт — = А

0 , то а(х) називають нескінченно малою

*-+«р*(х)

-го порядку відносно Р(х), тобто а(х) = 0(р

;

(х)).

Відмітимо властивості еквівалентних нескінченно малих.

1°.

Якщо а(х) ~ Р(х) при х—>а, Р(х)~у(х) при х->а, то

а(х) ~ у(х) при х -> а .

2°.

Якщо а(х)~а,(х), Р(х)~р,(х) при х

—>

а і існує границя

а(х) . а,(х)

Ііт = т , то існує і границя нт —• = т .

х->а

Р(х)

ДГ->а

р, (х)

3°.

Якщо а(х) ~ р(х) при х

—>

а, то мають місце формули:

Ііт Дх)

•

а(х) = Ііт Дх)

•

р(х),

х—>а

х->а

х-щ

а(х) х-+а Р(х)

за умови існування границь зліва (справа) у цих формулах.

4°.

Сума скінченного числа нескінченно малих функцій різних по-

рядків еквівалентна доданку нижчого порядку.

Аналогічно порівнюються нескінченно великі функції.

Зокрема, якщо /

(х), /

(х) - нескінченно великі функції при

Х^Й

,. А(х) .

Ііт

—

= 1, то їх називають еквівалентними нескінченно великими при

X —>

а і пишуть

/\(х)~

(х) при х

—>

а .

Корисно використовуватилакгрда/сок еквівалентних нескінченно

малих,

який

Границі послідовностей та функцій

257

отримується з введених раніше важливих границь, а також з наслідків з них.

х ~ зіпх ~ г§х ~ агсзіпх ~ агсІ§х ~ 1п(1 +х) ~ е

-1, х

—>

0 (7.6)

або в більш загальному вигляді

и(х) ~ &ти(х) ~ 1§и(х) ~

агС8Іпн(х)

~ агсІ§и(х) ~

1п(1

+ и(х)) ~ е

и(х)

-1,

и(х) -» 0 при х -» а

(7.7)

Вказаний ланцюжок еквівалентностей, зокрема, и(х) ~ !п(1 +и(х)),

и(х)

—>

0, х

—>

а , дозволяє застосовувати такий підхід до розкриття невиз-

наченостей типу

{І

Ііт

\у(дг)

1пф(*)

Ііт

>|/(л)

1гі(1+(ф(л)-1))

1іт(ф(х))

(д:)

={Г}=е^" =е

лг->

л:-Ю

1п(1 + (ф(х)-1))~

(х)-1

х -> а, ф(х)

—>

ф(х)

-1

—>

Зауважимо також, що мають місце такі еквівалентності:

а*-1~х1пд, 1о§

(1 + х) , (1 + х)

-1~цх прих—»0.

Іпа

Для нескінченно великих функцій корисно використовувати еквіва-

лентність

(х) = а

х" +а,х"~

+... + а

~ а

х" при х->

со

. (7.8)

Техніка обчислення границь

При обчисленні границь використовується:

формули (7Л), пов'язані з арифметичними властивостями функцій,

що мають скінченні границі;

правило граничного переходу під знаком неперервної функції (див.

§ 2 цієї глави)

Ііт /(*) = /Ііт

*1;

(7.9)

—*а

\х^>а )

важливі границі (7.2), (7.3) та їх наслідки (7.4), (7.5);

ланцюжок еквівалентних нескінченно малих (7.6), (7.7);

еквівалентні нескінченно великі (7.8), тощо.

При обчисленні границь перш за все необхідно аргумент функції замі-

нити його граничним значенням. При цьому можуть отриматись або визна-

чені значення або невизначеності різних типів. Слід пам'ятати, що за умови

с = сопзі, маємо такі співвідношення - визначеності:

Ііт

ї|/(л-)(ф(д-)-1)

258

Глава 7. Границі та неперервність функцій

1) - = оо, с*0;

5) с

• оо

= оо, с * 0 ;

6) оо

• оо

= оо ;

(7.10)

оо

= оо ;

8) 0

= 0 ;

9) оо

= оо .

Підстановка граничного значення часто призводить до невизначенос-

тей вигляду:

Для розкриття невизначеностей спочатку виконують перетворення, а

потім переходять до границі.

Стандартні випадки розкриття невизначеностей усіх типів розглянуто

в п. Ш цього параграфа.

//. Контрольні питання та завдання

Що називається числовою послідовністю?

Наведіть означення границі числової послідовності та

тлумачення її геометричного змісту.

Перелічіть властивості збіжних числових послідовностей.

Дайте означення обмеженої числової послідовності.

Дайте означення зростаючої (спадної), неспадної (не-

зростаючої) числової послідовності.

6. Яка послідовність є монотонною, строго монотонною?

Сформулюйте критерій Коші збіжності послідовності.

8. Що таке число е, який логарифм називають натуральним?

9. Наведіть арифметичні властивості збіжних послідовностей.

10.

Визначте нескінченно малі послідовності, перелічіть їх

властивості.

11.

Визначте нескінченно великі послідовності.

12.

Дайте означення еквівалентних нескінченно малих

послідовностей та еквівалентних нескінченно великих

послідовностей.

13.

Дайте означення функції.

(7.П)

Границі послідовностей та функцій

259

14.

Що називається областю визначення та областю зна-

чень функції?

15.

Дайте означення оберненої функції.

16.

Що називається суперпозицією функцій?

17.

Яка функція називається обмеженою?

18.

Яка функція називається монотонною, строго монотонною?

19.

Дайте означення парної (непарної) функції.

20.

Що таке періодична функція, період?

21.

Перелічіть основні елементарні функції.

22.

Які функції називаються елементарними?

23.

Дайте означення гіперболічних функцій.

24.

Як визначаються раціональні функції? Що таке ціла ра-

ціональна функція?

25.

Дайте означення границі функції на мові послідовностей.

26.

Дайте означення границі функції на мові "є - 8".

27.

Визначте поняття границі функції на нескінченності.

28.

Дайте означення односторонніх границь.

29.

Наведіть першу важливу границю, наслідки з неї.

30.

Наведіть другу важливу границю, наслідки з неї.

31.

Визначте нескінченно малі функції, їх властивості.

32.

Як порівнюють нескінченно малі функції?

33.

Які нескінченно малі функції називають еквівалентними?

34.

Наведіть ланцюжок еквівалентних нескінченно малих.

III. Приклади розв'язання задач

Послідовність.

Границя послідовності

Приклад 1. Користуючись означенням границі числової

6л + 1 ,

послідовності, довести, що Ііт =3 .

л-+°°2л

+ 3

260

Глава

Границі

та

неперервність функцій

•

Для

заданої послідовності

6п

а = 3.

2п

+ З

Задамо довільне

є > 0 і

покажемо,

що для

нього можна знайти таке

натуральне число

N = Л^є), що для

всіх

п > Л^є),

виконується нерівність

< є

або

6/7+1

2п

+ 3

-З

є.

Звідси

<є,

2/7+3>—.

2/і

2/7 + 3

Розв'язавши останню нерівність відносно

п ,

матимемо

Отже,

за N(г)

можна прийняти найбільше ціле число,

яке не

переви-

щує ^(~"

то

М(е)

ІГІ-З

2Іє

Отже,

< є для

всіх

п > N(Е), а це

означає,

що

6/7+1

Ііт

= 3. <

л-к°

2/2

+ 3

Приклад

Знайти границі:

а)

Ііт

Зп +

4п

->°°2л

-5и + 7

б)

Ііт

л/«

+4п

""•"л/л'-Зл

(л

2)!-л!

+ 2 + ... + л

Ч1

. 5-3"

в)

Ііт

—^

; г) Ііт ,

=====;

д) Ііт

п-ю

^(п^ліп-І)])' л/4«

-л

+1 '

"-»

со

З"-2

•

Зауважимо,

що

кожна

заданих границь

невизначеністю типу

а)

Ііт

Зп

+4п +

>2/7

-5/7 + 7