Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1
Подождите немного. Документ загружается.
§2.
Неперервність функцій
291
///. Приклади розв 'язання задач
Приклад
1.
Довести, що функція у = зіпх неперервна для
будь-якого х є К.
• Знайдемо Ау:
• / А л - • Ах ( Ах
Ду =
ЗіПІХ
+
Дх)-5ШХ
= 2зіп соз хн
2 І 2
Ах ^ Ах\
Ііт Ау = Ііт 2зіп созі х + — = 0 ,
ді->о ' дг->о 2 V 2 )
Ах ( Ах\
бо зіп
——>0
при Лх-»0,
СОЗІХ
+ —
І
<1 Ухек.
Отже, функція у = зіп х неперервна для будь-якого х є К . Ч
Приклад 2. Дослідити задану функцію на неперервність,
знайти точки розриву і встановити їх характер:
а) т
=
б) Дх) =
^4;
|х|
1 лг+1
в) Дх) = З
х
~
2
; г) Дх) =
є*
2
-
3
*'
4
.
зіпх
• а) /(*)
=
-гт
•
\
х
\
Функція визначена для всіх х, крім х = 0, і є неперервною на інтер-
валах
(-оо,0),
(0,
+оо),
бо частка від ділення неперервних функцій є функ-
цією неперервною.
Обчислимо /(0 4-0) і ДО-0):
„, ,. зіп
X
зіпх ,
/(04-0) = Ііт ~—
г
= Ііт = 1;
л ->+0 X
дг-»+0
д:
„,„
пч
,. зіпх зіпх зіпх
/(0-0)= Ііт -—р= Ііт = - Ііт = -1.
х->-0 |х|
лг->-0
-X х->-0 X
Маємо, що /(0
4-
0)
Ф
/(0 - 0), отже х = 0 - точка розриву першого
роду, типу "стрибок".
Величина стрибка Д/ = /(04- 0) - /(0-0) = 1 -(-!) = 2 .
б) Дх) =
-
х
2
-9
х-3
292
Глава
7.
Границі
та
неперервність функцій
Функція визначена для всіх
х,
крім
х =
3,
і є
неперервною
на
інтерва-
лах (-со,3),
(3, +
со)
.
Обчислимо
/(3 +
0)
і
/(3-0):
7(3
+ 0)=
Ііт
^-—^
= 6;
7(3-0)=
Ііт ^—^ = 6.
г->3+0
X - З ЛГ-+3-0 X
—
З
Маємо,
що
/(З +
0)
=
/(3
-
0)
*
/(3)
, бо
при
х = З
функція невизна-
чена.
В
точці
х -
3
маємо розрив першого роду
-
усувний розрив,
і
в) 7(.г)
=
3>-
2
.
Маємо показникову функцію, яка неперервна
в
кожній точці
її
області
визначення.
У
точці
х = 2
функція невизначена. Отже, функція неперервна
на інтервалах
(-оо,2),
(2, +
оо).
Обчислимо 7(2
+
0)
і
7(2
-
0):
7(2
+ 0)=
Ііт З*-
2
=
3
+0
°
=+оо;
7(2-0)=
Ііт 3
х
'
2
=
3~°°
=
0.
х-»2+0 л->2~0
В точці
х = 2
функція
має
розрив другого роду,
г) 7(
х
)
=
є*
2
-*"-
4
.
Функція визначена
в
усіх точках, крім
х,
=-\,х
2
=4 (це
корені
рівняння
х
г
-Зх - 4 =
0). Отже, функція неперервна на проміжках
(-оо,-1),
(-1,4),
(4,
+
оо),
розрив можливий тільки
в
точках
х, =
-1,
х
2
= 4 .
Дослідимо характер точок розриву.
дг+1
і
Врахуємо,
що
7(х)
=
е
{х+[)(
-
х
'
4)
= е~
4
.
і
_\_ _і_ ^
/(-1
+
0)=
Ііт
е
х
~
4
=е
5
; /(-1-0)
= Ііт
е"-
4
=е
5
.
Маємо /(-1+0)
=
/(-1 -0), отже, точка
х =
-1 -точка усувного розриву.
/(4 + 0)=
Ііт е
х
~
4
= е
+0
°
=+оо;
/(4-0)=
Ііт
е
х
~
4
=е~
х
=0.
х->4+0
Х-+4-0
Точка
х = 4 -
точка розриву другого роду.
Ч
§2.
Неперервність функцій
293
Приклад
3. Дослідити задану функцію на неперервність і
побудувати
її графік.
І
(х-\)
2
5
- х,
оо < х < 0;
0
< х < 2;
2
< х
<
+оо.
•
Функція Дх) визначена і неперервна на інтервалах
-зс.О),
(0,2), (2, юо), де вона задана неперервними елементарними функ-
ИЛ*И.
Отже, розрив можливий тільки в точках дг, = 0 і х
2
= 2 . Визначимо
лвмггер точок розриву.
-0)=
Ііт (х-1)
2
=1; Д0-0) = Ііт х
2
= 0; Д0) = х
2
| =0.
х->+0 т->-0 '•»=•'
/"(0 + 0)
*•
ДО- 0), отже, функція Дх) в точці х, =0 має розрив пер-
"
•
ролу, типу "стрибок". Величина стрибка Д/ -1-0 = 1.
/(2 + 0)= Ііт (5-х) = 3; Д2-0)= Ііт (х-1)
2
=
1
;
>2+0
->2-0
IX-1)"
г=2
1 .
|\1+^Ф |(^-^ ,отже,'^уттля ^-х
4
) ВТОЧУ» х
1
=1 шк. розрита
тлр-
шого роду, типу "стрибок". Величина стрибка Д/= 3-1 = 2.
Графік заданої функції зображено на
рис.7.1.
Рис.7.1 <
294
Глава 7. Границі та неперервність функцій
Приклад 4. Дослідити функцію /(х) = 9
Х
~
2
+\ на непе-
рервність в точках х, = 2, х
2
= 3 .
• Для точки Х| = 2 маємо:
/(2 + 0)= Ііт
д->2+0
9
*-2
+1
/(2-0)= Ііт
дг->2-0
( _і_
9*-2
+
]
= 9
+0
°+1 =
+оо;
= 9"
=с
+
1
= 0+1 = 1.
Отже, в точці х, = 2 функція має розрив другого роду.
Для точки х
2
= З маємо:
/(3 + 0)= Ііт
<-->з+о
9*-2
+1
/"(3-0) = Ііт
х->3-0
/0)
=
^ _!_ ^
9 х-2
+
V
У
/" 1 >
9>
-2
+1
V ^ х=з
= 9 +
1
=10;
= 9 +
1
= 10;
= 9 +
1
= 10.
Отже, в точці х
2
= З функція неперервна. Ч
Приклад 5. За якого значення параметра А функція
/00 =
л/х~Л-2
, ХФ5;
х-5
А,
х - 5.
буде неперервною?
• Знаходимо Ііт /(х):
Ї->5
,. ,. , ,. л/х^-Т-2 ,. (Л/Х-Т-2)(Л/Х
::
Т + 2) .. х-1-4 1
Ііт / (х) = Ііт = Ііт . = Ііт = —.
х->5
х-5 *->5 (х-5)(л/х^1+2)
*->5(х-5)-4
4
§2.
Неперервність функцій
295
Враховуючи, що функція неперервна за умови, що
Д5 + 0) = Д5-0) = Д5)І Д5 + 0) = Д5-0)= |,
4
маємо, що /(5) = А = — .
4
Отже, функція Дх) неперервна при А=--.<
Приклад 6. Довести, що функція у - §іпх рівномірно не-
перервна на будь-якому проміжку числової осі.
• Задамо є > 0 . Доведемо, що існує таке 5 = 5(є) > 0, що з нерівності
| х - х"\ < 8 випливає, що
\/(х')-
/\х") | < є.
Оцінимо |
і(х')-
Дх")\
•
\Дх')-
Дх")\
=
\ат х'
-5ІПХ"
<
2
\І-*1
= \
Х
'-
Х
'\.
2 '
І повинно бути
І
х - х"\ < є.
Отже, 5 = с, тобто існує таке 8 = є, що як тільки | х - х"\ < 8, то вико-
нується нерівність
І
/(х') - Дх") | < е. -^1
Приклад 7. Довести, що функція у =
8Іп—
не с рівномір-
х
но неперервною на інтервалі (0,1) .
• Задамо с , що задовольняє умові 0 < є < 2 . Доведемо, що для
Уєє(0,2) не можна вказати 8>0, при якому \Дх')-/(х")\< с < 2 для
всіх х', х" о (0,1) за умови | х - х"
\
<
8 . Тобто доведемо, що якими б близь-
кими х' і л" не брати, | Дх') -_/ (х") | = 2 > є.
о- ,1,1
Візьмемо X = . X -— .
я Зя
— 4 2/ія
у
2яя
2 2
Для будь-якого 5 можна вибрати я таким, що
|а'-.г"|<8.
. . х - х х
+
х
2зіп соз
? 9
= 2 31П-
X -
X
С08--
X +
X
296
Глава
7.
Границі
та
неперервність
функцій
Але
при будь-якому
п
ІДО-/(*")|
.
1
.
1
81П-7
-51П—-
X X
8Іп|
—
4 2іт
|-8Іп[
— +
2пП
\2
) \2
=
|і-(-1)|=2>е.
.
1
Отже,
функція
у =
кіп
—
не е
рівномірно
неперервною
на
інтервалі
(0,1).
А
IV.
Задачі
для
практичних занять
7.135. Довести,
що
вказані функції неперервні
в
кожній
точці
їх
області визначення:
а) Дх)
=
х",
п є N
;
б)
Дх)
= а, аеЯ;
в
) Д
х
) - •*>
а>0,аФ\;
г) /(х) = созх.
7.136. Дослідити задану функцію
на
неперервність, знайти
точки розриву
га
встановити
їх
характер:
б) Дх)
=
а)
Лх):
в)
Дх)
Д)
Дх)-
х"(х-1)
2
1/х
-1
2^+1
:
і
з*-
2
-1
3*~
2
+1
є)
Дх) =
агсі§-;
X
Зх-5
г) Дх)
=
3^
2
-
\
44
\ ^Тх^-3
е) Дх)
=
-——-
х-А
1
ж)
Дх) =
(1
+
х)агсі§-
,
1
-х
з) Дх)
=
і) Дх)
=
2\
-1< х < 1;
1,
* = 1;
х-1,
1
< х < 4.
7Г
Я
соз
х, < х < —;
2
4
4
->
тс
2
тс
х"
,
—
< х < я.
16
4
§2,
Неперервність функцій
297
7.137. Для заданої функції /(х) визначити, за якого вибору
параметрів, що входять в її означення, функція буде неперервною:
а)Ж> =
[х + 1, х < 1;
}З-ЙГХ
2
,
х > 1.
Г
х
2
+х-2
б) Дх) =
•, х * 1;
х -1
А,
х = І.
В)
ДХ):
ах
+
\, х< —;
2
81ПХ
+ 0, Х>—.
2
г)/(-*)
=
-2зіпх, х<—;
2
ЛЗІПХ
+ ІК <Х< —,
2 2
С08Х,
Х> —.
2
Д) Д*)
=
(х-1)
3
,
х<0;
ах
+
Ь,
0
<
х <
1,
е) Дх) =
л/х, х>1.
х, ІхІ < 1;
х
2
+ ах +
/З,
І
х
І
> 1.
7.138. Функція Дх) не визначена при х = 0 . Довизначити
ДО) так, щоб функція Дх) була неперервна при х = 0 :
ч
(1 + Х)"-1
1-С08Х
а)Дх) = ^-—, пєИ; б) Дх) = -—;
X X"
в)
д
х) =
1п(1 + х)-1п(1-х).
г) т =
2
1
Д) /(*) = * 8іп-;
е) Дх) = ХСІ£Х
х
2
-1
7.139. Функція / (х) =
—г
не визначена при х = 1. Довиз-
х -1
начити /(1) так, щоб функція /(х) була неперервна при х = 1.
298
Глава 7, Границі та неперервність функцій
_ , . „ „ , ... 81ПХ .
7.140. Якого роду розриви мають функції у = і
X
СОЗ X
у = при х - 0 ? Вказати характер графіків цих функцій в
х
околі точки х = 0.
7.141.
Дослідити неперервність функції Дх) =
Щ х*0;
х
0, х = 0.
Побудувати її графік.
7.142. Скільки точок розриву і якого роду має функція
у =
—І—-?
Побудувати схематично її графік.
^1*1
7.143. Функція /(х) = агсі§
—
не визначена в точці х = 0 .
х
Чи можна так довизначити функцію Дх) в точці х = 0, щоб
функція була неперервна в цій точці?
7.144. Довести, що функція у - -—в точці х = 0 має
розрив першого
роду.
Побудувати схематично графік цієї функції
в околі точки х = 0 .
У задачах 7.145 - 7.148 дослідити на рівномірну непе-
рервність задані функції на заданих проміжках.
7.145. /(*) =
X
. 7 '
[-1.1].
7.145. /(*) =
4-х
2
7.146. Дх) = Іпх,
(0,1].
7.147. Дх) =
зіпх
(0,я].
X
7.148. Дх) =
V*,
[0,
+ »)
ГЛАВА 8. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ
ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
§1.
Диференціювання функцій
І. Короткі теоретичні відомості
Похідна, її механічний та геометричний шіст. Похідною від функції
Ау
у = /(х) у точці х називається Ііт — , якщо ця границя існує.
Дї-»0 Дх
Позначення:
у'(х),
у'
х
, —,
/"(х).
ох
Отже, за означенням
, ,. Ау ґ(х
+
Ах)-/(х)
у = Ііт — = Ііт — —і-^—і-.
Лі->0 Дх Лї->0 Дх
Операція знаходження похідної називається диференціюванням функції.
Механічний зміст похідної: швидкість у прямолінійного руху точки в
момент часу / є похідна від шляху 5 за часом /, тобто, якщо І =
.$(/),
то
У = •
Геометричний зміс т похідної: похідна в точці х
0
від функції у = /(х)
дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка цієї функції в точці з
абсцисою х
0
, тобто у' = 1§а .
Основні правила диференціювання
1.
С = 0 .
2.
(Си)'
=
Си'.
3. (и±у)' = и'±у\
4. (и-у)' = н'-у + и-у' .
Г
. (иЛ и'-у-и-у' .
6. (/(«))',-/:•«;.
7.
х'„ = —, де х = х(у) - обернена функція для функції у = у(х).
Ух
300
Глава 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної
У правилах диференціювання 1-6: С - стала, и = и(х),
У
- у(х).
Має місце також правило диференціювання добутку п функцій
и = и(х),
У
= У{Х),
и>
= \у{х),...,2 = г(х) :
(и
•
V-
\У...г)'
- и'
-
V• И>...2
+ и
-
У'•
№..,2
+
...
+
и
•
V
•
М...г'.
Основні формули диференціювання
1. (и
а
у
=
аи
а
'
]
аєК.
2.
(|
08в
„)' = _!_.и'.
ита
3.
(1пи)' = --м'.
и
4.
(а
и
у = а"1паи'.
5. (е
и
)'
=
е
и
6. (ЗІПИ)' =
СОЗИ
и' .
7. (созм/ = -зіпи-и'.
8. (1
8
и)'
=
-1
Т
~и'.
соз и
9. (сї
8
и)' = —-
1
— и'.
зіп и
10.
(агсзіпц)'= ~} 7-й'.
4\-и
2
11.
(агесозм)' = —,-~ ..
•
и'.
л/і^и
2
12.
(агсі
8
и)' = —і—-и'.
1
+м
13.
(агсс!£«)' = ^—и'.
1+и
14.
(зЬг()' = сЬ«-и'.
15.
(сЬі/)' =
8І1М
•»'.