Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1

Подождите немного. Документ загружается.

>, її ,

»• і.

Диференціювання функцій ЗОЇ

16. (ЛИ)' =

-І-Ї*.

сЬ и

17.

(сти)' = \-и •

$Ь и

Тут и = и(х). Якщо и(д-) = х , то и'(л:) = х' = 1.

Логарифмічне диференціювання.Логарифмічною похідною функції

У = /М називається похідна від логарифму цієї функції, тобто

Послідовне застосування логарифмування та диференціювання

функцій називається логарифмічним диференціюванням. У деяких випадках

попереднє логарифмування функцій спрощує знаходження її похідної.

Для знаходження похідної від складної показникової функції

У = и\

де и = и(х),

у(х),

и(х) > 0, попередньо застосовують логарифмування.

Маємо

1п у = у]пи,

У' м

— = у Іпи + V—,

у V Іпг/ + V—

у'

= И*' у'ІПИ + V = «" ІПИ

•

VII

' -м' .

Зауважимо, що похідну від складної показникової функції можна зна-

ходити, представивши цю функцію у вигляді

= и" =е'""' =е"

|п

Тоді

= {и")' = (е^

пи

) = е

УІпи

(у'Іпи +

у—

) = и

(у'\пи + у—

= и" ІПИ-У' + УИ"

и'.

Отримали такий же результат.

302

Глава 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

Похідна неявної функції. Якщо залежність між х та у задана в не-

то для знаходження похідної у'

= у' треба:

1) обчислити похідну по х від лівої та правої частини заданого рівняння

2) розв'язати останнє рівняння відносно у'.

Диференціал функції. Якщо функція у = /(х) диференційовна в

точці х, тобто мас в цій точці скінченну похідну у', то її приріст представи-

мий у вигляді

де а -» 0 при Дх -> 0.

Диференціалам функції у = /(х) називається головна частина її при-

росту, лінійна відносно приросту аргумента Ах .

Позначення: сіу.

Отже,

явній формі

Р(х,у) = 0,

вважаючи у функцією від х.

Отримаємо

Р,(х,у,у') = 0.

Ау =

у'

Ах

а Ах,

а'у

у'Ах

або

Лу - у'-йх .

Правила знаходження диференціалів:

йГ = 0 .

4{Си) = Ссіи.

с!(и

+>•)

сіи +

сіу.

4. й(и

•у)-уа'и

иа'\І.

Тут С - стала, и = и(х),

г(х).

§1.

Диференціювання функцій

303

Застосування в наближених обчисленнях. Порівняння Ау з ау показує, що

Ау « Ау.

Звідси

Дх +

Ах)-Дх)*Г(х)Ах,

Дх + Ах)«Дх)

Д{х)Ах.

Ця формула застосовується для наближеного обчислення значень

функції при малому прирості Дх незалежної змінної х.

Геометричний зміст диференціала. Геометрично диференціал Ау є

приростом ординати дотичної до графіка функції в точці М(х,у):

йу - 1§а- Дх (рис.8.1).

Ау

'. - ,

х х + Дг

Рис.8.1

Похідна функції, заданої параметрично. Якщо функція у = /(х) за-

дана параметрично рівняннями

|х = х(/)

[У = У(Ч

то похідна від неї обчислюється за формулою

ах х,

Похідні вищих порядків. Похідною другого порядку від функції

у = Дх) називається похідна від її першої похідної, тобто

йх

304

Глава 8. Диференціальне числення функцій однісї змінної

Аналогічно визначаються похідні більш високих порядків:

И*)У

=/"(*)=4т=^'

сіх"

Механічний зміст другої

похідної.

Якщо 5 = - функція, що опи-

сує закон руху матеріальної точки, то —— -а - прискорення цієї точки в

момент часу І.

Для похідних п -го порядку справедливі наведені нижче формули. В

них покладено, що и =

и(х), V

У(Х)

, С = соті.

1. (Си)

(л)

= Сі/

(п)

2 (и±у)

(я)

=і#

(

)

±і'

(

)

(и-у)

{г)

= £с*

(

"-*У*>

- формула Лейбніца. Тут і/

(0)

=и ,

(0)

=•

у , С* - число комбінацій з п по к , С

„ ~ — .

" (и-*)!*!

Наведемо також вирази для похідних п

-го

порядку зід деяких функцій:

(е

)

(п)

=е

;

(а

)

{п)

= а

(\па)";

(5ІПХ)

(

=5НШ

х + п

~^ 1!

(со$х)

(л)

созі

х + «~ 1;

(х

)

(,,)

т\,

якщоя = /и,

0, якщо п > т,

т{т-\)...(т-{п-\))х

~", якщо п <т.

Похідні вищих порядків функцій, що задані неявно. Нехай функ-

ція у = /(х) задана неявно рівнянням

Р(х,у) = 0.

Процифереиціювавши обидві частини цього рівняння по змінній

х,

вва-

жаючи, що у

(х),

отримаємо рівняння першого степеня відносно у', тобто

(х,у,/)

= 0.

§1.

Диференціювання функцій

19_5

Звідси знаходимо у'.

Продиференціювавши обидві частини останнього рівняння по х, вва-

жаючи, що у та у' функції від х, отримаємо рівняння відносно у", тобто

(х,у,у',у') = 0,

і т.д.

Похідні вищих порядків функції, заданої параметрично. Нехай

функція у = /(х) задана параметрично рівняннями

/* = *(/),

[.V = ДО-

Похідні від такої функції обчислюються за формулами

Ух , ~ ,

ах х

, _Лу\)

_{у\У,

У \.х

х\х

СІХ X

СІХ х\

і т.д.

Диференціали вищих порядків. Диференціалом я-го порядку від

функції

у-/(х)

називається диференціал від диференціала (п ~ 1) поряд-

ку цієї функції, тобто

і!" у = сі (а"'-

у).

Якщо задана функція у = /(л), де Ї - незалежна змінна, то маємо

сі

у - сі(йу) =

у'Чх

(І\ = сі(а"

у)^у

)

х".

Якщо у- /(и), м=ф(л'), и - залежна змінім, то маємо

(і

у =

у"„А

+УІ,'

•

Аналогічно знаходяться диференціали більш високих порядків.

306

Глава 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної

//. Контрольні питання та завдання

Дайте означення похідної. Наведіть її геометричний та

механічний зміст.

Наведіть формули похідних суми, добутку та частки двох

функцій.

Наведіть формули диференціювання степеневої та по-

казникової функцій.

Що називається логарифмічним диференціюванням?

Як знаходиться похідна від складної показникової

функції?

6. Сформулюйте означення диференціала. Який його гео-

метричний зміст?

Як застосовується диференціал у наближених обчисленнях?

8. Дайте означення похідної п -го порядку.

9. Наведіть формулу Лейбніца для похідної п -го порядку

від добутку функцій.

10.

Як знаходяться похідні першого та другого порядку від

функції, заданої параметрично?

11.

Як знаходяться похідні першого та другого порядку від

функції, заданої неявно рівнянням Р(х,у) = 0?

12.

Дайте означення диференціала п -го порядку.

13.

Наведіть формулу для диференціала п -го порядку від

функції- у - /(х), коли х - незалежна змінна.

///. Приклади розв 'язання задач

Приклад 1. Знайти похідні вказаних функцій:

а) у = 5х

- 6х

+ 7х + 4; б) у = х

агсІ§ х ;

в) у =

агезіп х

( З

г)у= 17 + —

' 4 '

V X )

Диференціювання функцій

307

д) у - 1п(х + \/х

+1); е) у =

хл/х(31пх-2).

•

а) застосовуючи правило диференціювання суми функцій, магмо:

= (5х

-6л-

+ 7х + 4)' =

5-ЗА-

6-2*+

7-І = 15х

-12х + 7;

б) застосовуючи правило диференціювання добутку функцій, магмо:

... ..V і..2 .„„,„3 1

_->„2.

У = (х агсі§х)' = 3х агсІ§х + х

•

Зх агсі£

+ х

' 1+х

в) застосовуючи правило диференціювання частки функцій, маємо:

У =

агсзіп х

. •

х - агсзіп х

•

4^7

->/ї~-

•

агсзіп х

г) застосовуючи правило диференціювання складної функції, степе-

невої функції та суми, маємо:

!7 +

12 Л

((17 + Зх"

)

) = 12(17 + 3х"

)" -3(-4)х"

д) застосовуючи правило диференціювання складної функції, логариф-

мічної функції та суми, маємо:

= (ь(х + \/х

+1)^ =

1п(х + (х

+ 1)

)

+ (Х

+1)

1 , -- ^

+ -(х

+1)

-2х

х + (х

+1)

(х

+1)

(х

+-1)

+х

х + (х

+1)

(х

+1)

л/Т+Т'

е) перепишемо задану функцію

у = х\/х(31пх -2)

у вигляді

у = х

(Зіпх-2).

Глава

Диференціальне числення функцій однісї змінної

Тоді

(Зіпх-2)

(

з А і 2 , о І

= -х~

(Зіпх--2)4-х

-3--

= -*

га*. <

2 х 2

Приклад

2. Знайти похідну функції у = х

С053г

•

Маємо складну показникову функцію, бо і основа, і степінь зале-

жать від х .

Прологарифмуємо задану функцію

У = А-

'' .

Маємо

Іпу = соз 3-ї

•

Іпх .

Далі диференціюємо обидві частини останньої різності по х :

(Іп^)'

= (созЗх-Іпх)'.

Звідси

У' 1

—

= -зіпЗх-31пх4-сохЗх —.

Далі знаходимо

у':

, „ . , . созЗх

- У\ -->зіпЗх

•

ІПХ

або

у' =

С083ї

І - ЗзіпЗх • Іпх + —І І.

Приклад

3. Знайти похідну функції

(2х-1)

-Уз~х

+ 2

~ (5х + 4)

-Уї^х '

•

Запишемо задану функцію у вигляді

(2х-І)

(ЗХ4-2)

у ~ \_ •

(5х4-4)

(1-х)

Прологарифмуємо задану функцію

1п^

31п(2х-1)4-|іп(Зх4-2)-21п(5х4-4)-^-1п(1-х).

Диференціювання функцій

309

Продиферснціюємо обидві частини останньої рівності

по х :

(1п

уУ

= |^31п(2х

-1) +

^-ЦЗх

+ 2) -

2Щ5х

4) -

—1п(1

-х)^

Звідси

3.-і-.2

І.-^.3-

2—^ 5-1.^-.(-1).

2х-\ 2 Зх

5х

3 1-х

3 1 10

= У

2х-\

2 Зх

5х

4 3(1

-х)

Отже,

,_ (2х-1)

-л/Зх

+ 2 ( 6 3 10

_ ..11

П.

/-V 1 ^

(5х

-Уї-х

\2х-1

2(Зх

+ 2) 5х

3(1-х)

Приклад

Знайти диференціал

сіу

функції

у =

8Іп

Зх.

• Згідно

означенням

сіу

= у

'сіх

Знаходимо похідну заданої функції

у'

(кіп

Зх)' =

6§іп

Зх

•

созЗх

•

Отже,

сіу

18яіп

Зх

•

сокЗхях

. А

Приклад

Обчислити наближене значення

• Розглянемо функцію

у =

л/х

Покладемо

х = 27, Ах =

0,1

засто-

суємо формулу

Дх

Лх)*Дх)

Ях)Лх.

~~ 1

У нашому випадку

/ '(х) =

—

Зл7х

Отже, маємо

310

Глава

Диференціальне числення функцій однієї змінної

Приклад

Знайти похідну другого порядку

від

функції

\п(\-х).

•

Знаходимо першу похідну

у'

(і

(1-дг))'=-^-.

Тоді

1-х)

(І-Д-Г

Приклад

Використовуючи формулу Лейбніца, знайти

від

функції

у - (х

х +

кіп

де.

•

Формула Лейбніца

має

вигляд

(

м.)

(

= £с*«"

і)

у"

)

Для заданої функції

и = х

кіпх

У нашому випадку

п = 15 , а

функція

така,

що

(0)

=х

+д-

и' = 2х +

и"

2, іґ

Отже,

((х

+ Х

1НІПА)

,і5

С,°

(,5)

С^/'г"

и"у

{]:

де

=1, С,'

= 15, С,

=І1І1

= Ю5,

(Л)

=(8ІП.ї)" =8іп^л-

+ я^,

(І5)

= ьіп( X + 15 — ) = 5Іп[

+ — І =

-С05Х

І 2 { 2

• 8ІП|

X + 14— | =

8ІП(

+ Я) =

—ЗІП

X ,

= ЗІп| X + 13— І =

5ІПІ

X + — І =

С05Х