Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1
Подождите немного. Документ загружается.
§ 1.
Диференціювання функцій
311
Отже, маємо
_у
(15
>
=((
Х
2
+.Ї+1)8ІПХ)
(І5)
=
1-(.Г
2
+Л-+1)(-С08Х) +
+
15(2х
+ 1)(-8іп
Ї)+
105-2СО8Х
=
(209-л--.г
2
)со8.ї-15(2л+1)8Іпл-.
•«
Приклад
8.
Знайти
у'
х
= — та = —¥г від
функції,
за-
йх
' ' йх
\х
= Іти,
даної
параметрично
^
{)>
=
[*+
21 +
1.
•
у
'
Т
*У _
Л{і
г
+2і +
\) _ {I
і
+2і
+
\)\ _ З/
2
+2
_
3ґ
з
,
2(
Ух
сіх
сЦІпі)
(іпо; і
І
V"
-. ''У = ^
(3?3 +2/)
=
(3
'
3 + 2/)
'
=
9,2 +2
=9ґ
3
і 2Г «
сіх
2
сіх
сІ(\пі)
(ІпО; і
Приклад
9.
Знайти
3/ та
у" від функції, заданої неявно
2
Л
.
рівнянням
х +7 =
1
.
•
Диференціюємо ліву
та
праву частини рівняння
ДГ
+ V =
1
,
вважаючи,
що у = у(х).
Згідно
з
правилом диференціювання складної
функції, маємо:
2х
+
2у-у'
=
0
або
х
+
у- у'
=
0.
Звідси
у'
=
- —
у
Далі диференціюємо ліву
та
праву частини рівняння
х
+
у-у'
=
0,
вважаючи,
що у
=
у(х), у' =
у'(.х).
312
Глава 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної
Маємо
Звідси
\ + у'
2
+ у-у" = 0 .
1+у'
2
У
X
Враховуючи вираз для у = , отримуємо
У
1 +
-Г 2 2
У
У у'
Але згідно з умовою х
2
+ у
2
= 1, отже остаточно маємо:
Приклад 10. Знайти диференціал другого порядку
(і
1
у
від
функції у =
1п(1
+
X
і
).
• Згідно з означенням
Знаходимо у' та у":
сі
2
у =
у"сіх
2
.
2х „_ 2(\+х-)~2х-2х
__
\-х~
У
'і + д-
2 ;
У
~
(1
+ х
2
)
2
~~
(1
+ х
2
)
2
'
Отже,
^ 20-£^) ,
2
.
« У = ГГ"
(1
+ х
2
)
2
IV. Задачі для практичних занять
У задачах 8.1 - 8.14 знайти похідні вказаних функцій.
8.1.
у = 3х
2
-5х + 1. 8.2. у = 3-2х + -х
4
.
З
8.3.
у = ~--\~\. 8.4. ^ = 2л/х"-- + л/з .
XXX х
8.5. у = -4= - ~р=
•
8.6. у = (х
2
- Зх + 3)(х
2
+ 2х - 1).
§1.
Диференціювання функцій
313
8.7. у = (х
3
- Зх + 2)(х
4
+ х
2
-1).
8.8. у = (л/х + 1)
л/х
8.9.
>>
= (х
2
-1)(х
2
-4)(х
2
+9).
8.10. у
8.12. у
8.14. у
х-1
х +
1
2 + л/х
8.11.
у =
х
2
+ 1
х
3
- X
1
2 - л/х
я + Ьх
с +
сіх
8.13. у = ^-
X
і
+3х-1
8.15. /(х) = Зх -
2л/х".
Знайти: /(1), /'(1), /(4), /"(4).
8.16. /(/) =
Г -5/-1
.Знайти:/(-1),/'(-1),Л2).
8.17. Дх) = (х - 1)(х - 2)(х - 3). Знайти: /'(0),
/'(І),
/'(2).
З
8.18. Дх) = Знайти: /'(0), ./"(-1).
х + 2 х
2
+1
У задачах 8.19 - 8.64 знайти похідні вказаних функцій.
2\3
8.19. у = (\
+
4х
г
)
8.21.
>>
= (х
3
-х)
6
.
8.23. у = (\-2л[х~)
А
8.20. у = (\-х)
20
8.22. у =
Л + х
2
"
1
+ х
8.24. = з/
1
+ х'
314
Глава 8. Диференціальне числення функцій однієї мінної
8.26. у = зіп Зх.
2х
8.28. у =
6
соз—.
8.30. у = соз
3
4х.
8.32. у = созх
3
.
8.34. у = зіп л/і + х
2
8.36. у = соз"
Я X
8.38. у = (агсзіп х) .
8.40. і' = агсзіп(х-1).
2
8.42. V = агсзіп
—
.
8.27. у = Ззіп(Зх + 5).
8.29. у = соз
2
х .
8.31.
у - Ззіп" х - зіп х.
8.33.
у =
зіп*"
х• зіпх .
8.35. у = (1 + зіп
2
х)
4
.
8.37. у - х агсзіп х .
8.39. у
агесоз х
8.41.
у - агсіцх".
і 1
8.43.
у = агсі§"
—
8.44. у = х" 1о§
3
х
,
8.46. у =
Іпх
8.48. у = 1о§
3
(х
2
-1).
8.50. у = 1п
4
зіп х.
8.51.
г/ = х-10\
8.53.
у - е
х
созх .
8.45. у = 1п
2
х .
8.47. .у =
1п
(х
2
- 4х).
8.49. у = 1п(§х .
8.52. у = х
•
с?
л
'.
8.54. = х
3
- З
л
'
§1.
Диференціювання функцій
315
8.55. .у = 10
2.г-3
8.56. у = а
кіп"*
.ї
8.57. у = 10
1-5ІП Зх
8.58. у = зЬ
3
х. 8.59. у =
1п сЬ
х .
8.60. у = іЬ(\-х
2
). 8.61.
>>
= зп
2
х + сп
2
х.
8.62. у =
ТспТ.
8.63. у =
е
сіЛ
.
8.64. у =
.X зЬ
х - сЬ х.
У задачах 8.65 - 8.72 продиференціювати задані функції,
використовуючи логарифмічне диференціювання.
8.65. у = х
Л
'
2
. 8.66. у = (зіп
х)
С05дг
.
8.67. у = (1пхГ. 8.68. у = х*.
8.69. у = (х
2
+
1
)
5І,1Л
'.
8.70. у = х
V'
зіп 2х.
(х-2)
2
-лУх
+
1
/і -агезіпх
8.71.
у = . 8.72. V =
л
\ •
(х - 5) "
V 1
+ агезіпх
У задачах 8.73 - 8.82 знайти похідні від функцій у, зада-
них неявно.
2 ,2 І і і
8.73.^
+ ^ = 1. 8.74. х
2
+у
2
=а
2
.
Ь~
8.75. х
3
+ V
3
- Заху = 0. 8.76. у
3
- Зу + 2ах = 0 .
8.77. у
2
- 2ху + Ь
2
= 0. 8.78.зіп(ху) + соз(ху) = 0.
8.79. 2
х
+
2
1
-
=
2
х+у
.
8.80. у = соз(х + у).
8.81.
агсі§^
= Іпл/х
2
+ у
2
. 8.82. у =
1
+ хе
г
.
х
316
і/
У задачах 8.83 - 8.87 знайти диференціал заданих функцій.
8.83.
у =
(І4-х-х
2
)
3
.
8.85. у = 2
і
С05Д-
8.84. у = 1§ х.
СОЗХ
8.86. 7
8.87. у = 3 *
2
+ Зх
3
- 4%/х".
8.88. Обчислити наближено:
а) агсзіп 0,05; б) агсІ§ 1,04; в)
1п
1,2 .
8.89. Обчислити наближено:
а) агсі§1,02; б) агс!§0,97.
8.90. Обчислити наближено:
а)
л/5,
л/Ї7;б) УЇО,
л/70;в)
л/Ї7
.
8.91.
Обчислити наближено:
а) зіп31°;б) соз61°;в) і§44°.
8.92. Знайти наближені значення функцій:
а) Дх) = л/х
2
-7x4-10 при х = 0,98;
б) /(*) = Л/І 4- х при х = 0,2 ;
в) /(х) = е
при X
,05.
йу
У задачах 8.93 - 8.103 знайти похідну у' = — від функцій,
<іх
заданих параметрично.
|х = 2ґ-1,
8.93.
\у
= ґ
8.95.
х =
1
±1
І
1-Х
і
8.94.
8.96.
[х = а созф,
і
у = 6 зіпер.
Глава
8. Диференціальне числення функцій однієї змінної
§ 1.
Диференціювання функцій
317
8.97.
Х =
ЙС
°
8
Ф
' 8.98>
= а(ф
-
8Шф)
'
[_У = Й8ІП
3
Ф. [у = (3(1-С08Ф).
8.99.
Ь'"<
1+
'
2
).
[у = і -
АГСІ£
і.
\Х
=
УІІ,
\х =
е'^тІ,
8.101.
\ _ 8.102
у = \Іг. {у = е'со5і.
[х =
А(С08?
+ /8ІП/),
8.103.
-ч
[V
= а(&'тІ
-(со$1).
У задачах 8.104 - 8.112 знайти похідні другого порядку від
заданих функцій.
8.104. у = х
2
-Зх
+
2. 8.105. у = (х
2
+ І)
3
.
8.106. у =
СО8
2
х
.
8.107. .у = агсі£ х
2
.
8.108. у = хе'
2
. 8.109.
Д^—Ц-.
1 + х'
8.110. 7 =
(1
+
х
2
)АГСІ§х.
8.111. у = л/а
2
-х
2
.
8.112. у = л/і - X
і
агсзіп х .
8.113. Знайти
/"(О
>
якщо /(х) = агсІ§ х .
8.114. Знайти /
(4)
(1),якщо Дх) = х
6
- 4х
3
+ 4.
8.115. Знайти
/"(0),
якщо Дх) = е
2л
"'.
8.116. Знайти /(0),
у"(0),
у"'(0), якщо у(х) = е
2х
8ІпЗх.
8.117. Знайти
у
т
(2),
якщо у(х) =
1п
(х - 1) .
8.118. Знайти .у
(4)
(1), якщо у(х) - х
3
Іпх.
318
Глава 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної
У задачах 8.119 - 8.124 знайти формулу для похідної п -го
порядку від заданих функцій.
8.119. у = е
ах
. 8.120. у = е'
х
.
8.121.
у = хе
х
. 8.122. у=-
ах
+
Ь
8.123. у = Щах
+
Ь) . 8.124. у = 1о§
й
х.
У задачах 8.125 - 8.129 знайти похідні вказаних порядків,
осовуючи формулу Лейбніца.
8.125.
У
= (х
2
+ 1)зіпх.
Знайти
у
{]5)
.
8.126.
У
= (х
2
-х)е
х
.
Знайти
у20)
8.127.
У
—
зіп х
•
е
х
.
Знайти
у
{5)
.
8.128.
У
=
XІ0§
2
X .
Знайти
у
{Щ
.
8.129.
У
= хзЬх. Знайти
у
ооо)
у
задачах
5.і_)и
- б.і^о знайти похідні вказаних порядків
для функцій, заданих неявно.
8.130. у
2
=2рх. Знайти у".
8.131.
Ь
2
х
2
+ а
2
у
2
= а
2
Ь
2
. Знайти у".
8.132. X
і
+
у
2
= г
2
. Знайти у
т
.
8.133. у = Щ(х
+
у). Знайти у'".
8.134. 8 = \
+
1-е*. Знайти з".
8.135. у
3
+ X
і
- Заху = 0. Знайти у".
8.136.
е
х+у
= ху . Знайти у".
У задачах 8.137 - 8.143 знайти похідні вказаних порядків
від функцій, заданих параметрично.
[х-\пІ,
(і
г
х
,
8.137. \ , Знайти
—4г.
сіх
§1.
Диференціювання функцій
319
Гх =
йС08/,
(]
2
у
8.138.
4
Знайти
у
\у =
Ь%\\\і.
сіх
2
{х = асові,
л
3
м
8.139.
\
Знайти
[у = Ь5ІПІ. сіх
З
'
8.140>"
=
"
(ф
-
5ІП<Р)
' Знайти^"
І>' = а(1-со8ф). ах
2
\Х
= Є ', СІ
3
у
8.141.
< Знайти
[у =
1
3
.
сіх
3
8.142.
\ ,
Знайти
^-4-.
[у =
і
2
-\.
сіх
2
\х - асо5
3
і, й
3
\
8.143.^ Знайти^-.
[у
= а
зіп
3
г\ сіх
У задачах
8.144 - 8.150
знайти диференціали вказаних
порядків.
8.144.
у
=
\Іх
2
.
Знайти сі
2
у.
*Л45.у
= х
т
. Знайти сі
З
у.
8.146.
у
=
(х + 1)
3
(х-1)
2
. Знайти сі
2
у.
8.147.
=
4"
д
"
2
.
Знайти
^
2
у .
8.148.
у
= х(1пх
-
1)
.
Знайти сіу
,
сі
2
у
,
сі
3
у
8.149.
у
=
х
2
е~
х
.
Знайти сі
3
у
.
х
4
8.150.
у =
——-. Знайти
^
4
_у .
2-х
320
Глава 8. Диференціальне числення функцій однієї змінної
§2.
Застосування диференціального числення
І. Короткі теоретичні відомості
Геометричні та механічні застосування похідної
Рівняння дотичної до кривої у = /(.т) у точці (л
0
,у
0
) має вигляд
Рівняння нормалі (перпендикуляра до дотичної в точці дотику) має вигляд
у
-
у
°
в
-7Ь
іх
'
Хо)
-
Дотична та нормаль до кривої у = /(х) у точці М визначає такі чо-
тири відрізки (рис.8.2): І-ТМ - відрізок дотичної, х, = ТК - піддотична,
п =
іУМ
- відрізок нормалі. а
п
= КМ - піднормаль.
Кутом між двома кривими у = /\(х) та у = /
2
(х) у точці їх перетину
М
0
(х
0
,у
0
) називається кут ф між дотичними до цих кривих у точці М
0
.
Кут між двома кривими знаходиться за формулою
Якщо ;іри прямолінійному русі точки задано закон руху
л-
-.?(/),
то
швидкість руку в момент часу / є похідна від шляху по часу:
V
= х'(і) ; при-
скорення цієї точки в момент часу і: а = л"(0.
п
Рис.8.2
і8Ф =
Лі-ч)-Л(-ч)
1+ /,'(-*„ )-/
2
'(х
0
)