Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика. Загальний курс: Збірник задач та вправ

Подождите немного. Документ загружается.

Приклад 3. Знайти у', якщо у =

С053х

Розв'язання. Іпу = созЗх Іпх

(созЗх

У' . созЗх

— = -З зіп Зх ІП

У =У\

-ЗзіпЗхІпх =х

С05 3д

''созЗх

•ЗзіпЗхІпх

Якщо функція у- Дх) диференційовна в точці х , тобто має в цій

точці скінченну похідну то — = у'

а, де а-+0 при Ах—>0 .Звідси

Ах

\у

у'-Ах

а-Ах .

Головна частина приросту функції Ау , лінійна відносно Ах,

називається диференціалом функції і позначається ау :

іїу^у'-Ах ,

або

й у

у'а"

Справедлива формула

або

Ау^сіу ,

Дх + Лх)* Дх) + /'(х)Ах ,

яка застосовується в наближених обчислення^ .

Приклад 4. Знайти ау, якщо

_у

= х

т.§2х •

Розв'язання.

у = 2хІ§2х +

2х'

соз

2х

ау

2 х 1§ 2х +

соз

2х

й х

Якщо функцію задано параметричними рівняннями х = х(() ,

у(1) , то

йу

у\і) йі

У(р

йх х'(() сії х'(0

сі У

Приклад 5. Знайти ——, якщо

сіх

Розв'язання.

4у _У,

і-зг

сіх х'. -2 і

]х

1-Ґ ;

— + — І

21 2

Нехай похідна від функції Дх) є /'(*) • Похідна від цієї похідн.

називається похідною другого порядку від функції Дх) і позначається

/'(*) , або

сіх

. Аналогічно визначається похідна третього порядку

Якщо функцію задано параметрично

х = х(?)

У = У(0

порядку

сІ

сі У)

^ сіх ^

(ау

[сіх

сіх

СІХ

похідна другогс

Приклад 6. Знайти

сіх

якщо

)х = 1-/

\у

<-і

2 .

Розв'язання. Використаємо знайдену у прикладі 5 першу похід-

сіу 1 3 _ . .

—— =

—

І . Тоді похідна другого порядку має вигляд

ах 2і 2

і з ^

— + -/

21 2

1 З

4ґ

сіх

сі(І-Ґ) -21

Викладемо метод розкриття невизначеностей за допомогою похідні'

Метод називається правилом Лопиталя і полягає в наступному: якщо функ-

/(*)

і(

) нескінченно малі або нескінченно великі при х->

диференційовні в околі точки х = а , §'{х)їО в околі цієї точки , існ

/'(*) . /їх)

іш ——— , то існує Ііт —-— і справедлива рівність

х^а

%(х) х->а §'(х)

Ця теорема справедлива і при х—><» та дозволяє розкривати

(01 . {ооі .

«визначеності типу

—

— к Інші типи невизначеностеи зводяться до

[О] [оо]

значених , для яких застосовується правило Лопиталя .

-1

Приклад 7. Знайти Пт .

х->

1 2 Іп х

г, , і- *

-1 ґ

•• 2х ,.

Розв'язання. Ііт = \

—

\ - Ііт —- = Ііт х -1 .

21пх [0] х-^.І *-и

Правило Лопиталя може застосовуватися повторно .

Приклад 8. Знайти Ііт

2х

+3х

5х

+х

Розв'язання.

2х

+3х ,. 6х

+3 ,. 12х ,. 12 2

Ііт — = Ііт = Ііт — = Ііт — =

—

5х + х +5

х-*со

\5х +2х

х->а>

30х + 2 30 5

ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

Дайте означення похідної. Наведіть її механічний та геометричний

'ПІСТ

Виведіть формули похідних суми , добутку і частки двох функцій .

Виведіть формули диференціювання тригонометричних функцій .

Виведіть формули диференціювання степеневої, показникової і

^адної показникової функцій .

Сформулюйте означення диференціала функції.

6. Сформулюйте означення похідної

диференціала вищих порядків

Як

знаходять похідну функції, заданої неявно

8. Сформулюйте теорему Ролля

Наведіть

її

геометричний зміст

9. Сформулюйте теорему Лагранжа

Наведіть

її

геометричний зміс

3.3. Дослідження функцій

за

допомогою похідних

[2,

гл. 4

§4.17-4.20,

4.22]

Функція

/(х)

називається зростаючою

на

інтервалі

(а, Ь) , як

для

V*], х

цього інтервалу, таких,

що х\ <х

виконується

уме..

Я*і)</(*2).

Якщо

при

Х\<х

виконується умова

/(х\)>

/(х

) ,

функц

називається спадною

Якщо /'(х)>0

на (а,Ь) , то

функція

на

цьому інтервалі зростає

Якщо

/'(*) < 0 на (а, Ь) , то

функція

на

цьому інтервалі спадає

Функція

у- /(х) має в

точці

екстремум (максимум

або

мінімум»

якщо

/(хо)

найбільшим

або

найменшим значенням функції

деякому

околі цієї точки

Функція

у = /(х)

може мати екстремум тільки

точках

, де у' =0

нескінченності

або не

існує. Такі точки називаються критичними

. В нкл

дотична

або

горизонтальна

, або

вертикальна

, або

немає певної дотичної

Достатні умови екстремуму полягають

наступному

Якщо

/(х)

неперервна

околі критичної точки

диференційовкі

в усіх точках цього околу

окрім

можливо

точки

Хд , і

якщо

при

перехо^.

х через

похідна змінює знак з «+» на «-», то

/(*о)

Утах

ЯКІІЮ

у'

змінює

знак

з «-» на

«+»,

то

/(х<>)

= у

тт

;

якщо

у' не

змінює знака

екстремуму

немає

Якщо функція

/(х)

неперервна

на

відрізку

[а,й] , то

вона досягас

на

цьому відрізку своїх найбільшого

найменшого значень .

Для

знаходженні

них значень потрібно знайти всі критичні точки

на

[

а, Ь ],

обчислити значенкт

/(х)

цих точках і в точках

х-а , х-Ь та

серед знайдених значень вибра"

найбільше

найменше

Приклад 1. Знайти найбільше і найменше значення функції

у = х

-9х

4-24х-10,

0<х^3-

Розв'язання. Знаходимо критичні точки функції:

/ = 3х

-18x4-24 = 0 ; х,=2, х

=4.

Із знайдених точок беремо точку х = 2 , бо 2 є [0,3] .

Обчислюємо /(2) = 10, ДО) = -10, /(3) = 8 . Порівнюємо числа 10,

-10, 8 . Знаходимо тіп у = ДО) = -10; тах у = Д2) = 10.

хє[0,3] хє[0,3]

Крива називається опуклою (угнутою) в точці х = х

, якщо в деякому

колі цієї точки вона розташована нижче (вище) дотичної в цій точці.

Якщо в точці х = х

у" < 0 , то крива опукла ;

2) у" > 0 , то крива вгнута .

Точки , що відділяють опуклу частину графіка від угнутої, називаються

точками перегину .

Необхідною умовою точки перегину є те, що в ній у" = 0, нескінченна

або не існує, а достатньою умовою є те , що у" в околі цієї точки змінює

знак.

Точки , в яких у" = 0 , нескінченності або не існує , назвемо

критичними точками другого роду .

Асимптотою кривої називається пряма , до якої необмежено

наближається точка кривої при її віддаленні по кривій в нескінченність .

Якщо Ііт Дх) =

±оо

, пряма х = а є вертикальною асимптотою кривої

Х-»<2

Дх)

Якщо 3 скінченні границі Ііт = к і Ііт (Дх)-Ах) = й, то

х->±оо X х-»±°о

пряма у = кх

+ Ь

є похила асимптота.

Якщо к = 0 , У = Ь - горизонтальна асимптота .

Для повного дослідження функції і побудови її графіка слід знайти :

1) область означення функції;

2) точки розриву функції;

3) симетрію графіка (парність, непарНість функції) ;

періодичність ;

5) точки перетину графіка з осями координат ;

6) інтервали монотонності і екстремуми ;

7) інтервали опуклості, угнутості і точки перегину ;

8) асимптоти .

Приклад 2. Дослідити функцію у = ^6х

-х

і побудувати її графі;

Розв'язання.

Функція визначена для Ух.

Функція неперервна на всій числовій осі.

Досліджуємо симетрію графіка

Х-*) = ^6(-х)

-(-х)

= >/бх

+х

Оскільки у(-х) Ф у (х), у (-х) * -у (х), функція не є ані парною , аж

непарною.

Функція неперіодична.

Знаходимо точки перетину графіка з осями координат .

Якщо у = 0, то 6х -х =0; X] = 0, х

= 6

Якщо х = 0, то у - 0 . Тсж

(0,

0) і (6, 0) - точки перетину графіка з віссю Ох ; (0, 0) - точка перетик

графіка з віссю Оу .

6. Знаходимо у' і визначаємо критичні точки:

12х-3х

4х-х

=0, х(4-х) = 0, хі=0, х

=4;

6х

-х

=0, х

(6-х) = 0,

=6,

х і, х

, х

- критичні точки .

Розбиваємо область визначення критичними точками на інтервали і а

знаком похідної в цих інтервалах установлюємо інтервали монотонності ті

екстремуми :

(-оо;

0 (0;4) 4

(4;

(6;+оо)

у'

ІПІП

тах

немає

екстремуму

Ітже ,

тіп

=у(0) = 0, у

тш

у(4) = 2Щ .

Знаходимо у":

Мб-х)

/*о ;

(6 - х)

= 0 > Х[=0 , х

= 6 - критичні точки другого роду .

Складаємо таблицю і досліджуємо знак у" поблизу кожної з означених

точок.

(-°°;0)

(0;

6) 6

(б;

+ ю)

оо

немає точки

перегину

точка перегину

Точка (6; 0) є точкою перегину .

8. Визначаємо асимптоти кривої

. .. Дх) .. ^/бх

-х

к= Ііт = Ііт

х->±со

х-»±оо

= Ііт

--1=-1;

х-»+°о

6= Ііт (/(х)-Ах) = Ііт

(>/бх

-х

+х) =

Х-++О0 Х-»±со

= Ііт

Х->±сО

4 «-ІІ51

(^/бх

-х

+х)Д(6х

-х

)

-х^/бх

-х

+х

)

^(6Х

-X

)

-Х^/бх

-X

4-Х

6х

-х

+х

,. у

= Ііт -=== , = Ііт —=====— ,

±со3

/(6х

-х

)

-4бх

-х

+х

*~>

±аз

(6х

-х

)

хУбх

х^

І х

2 +

Рис.

3.1

ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

Сформулюйте означення зростаючої та спадної на інтервалі функції

Які точки називаються критичними ?

Сформулюйте достатню ознаку існування екстремуму в точці за

допомогою першої похідної.

Як знаходять інтервали опуклості, точки перегину кривої ?

Як знаходять вертикальні та похилі асимптоти ?

6. Викладіть схему загального дослідження функції.

3.4.

Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Якщо кожній парі значень

(х, у)е Б

ставиться

відповідність

за

деяким законом число

г, то

кажуть,

що на

множині

задана функція

/(*> зО.

Рівняння

2 = /(х, у)

геометрично зображує деяку поверхню

Число

називається границею функції

2 = /(Р) при Р -> Р

якщо

/(Р)-А

нескінченно мала величина

при

будь-якому способі прагнення

ДО Р

Пишуть:

Ііт /(Р) = А.

р->р

Якщо задана функція

/{х, у) і

точка

Р(х, у)є В, то

частинні

прирости

за

змінними

х , у і

повний приріст функції визначаються

рівностями

Д.Ї

А.т,>)-/(х,у)

;

= Ах,у

Ау)-/(х,у)

;

2 = /(х

А х,у

А у)-

/(х,у)

Функція

2 =

/(х,у)

називається неперервною

точці, якщо

Ііт А

2 = 0 .

Лх-»0

Л>-->0

„

. ,. А

Якщо існує

Ііт —— , то ця

границя називається частинною

д*-»0

Ах

похідною функції

г = /(х, у) за

змінною

х і

позначається одним

із

символів

' /х(х,у), ~ .

ОX

О X

Аналогічно визначається частинна похідна

за

змінною

у .

Частинна похідна знаходиться

за

правилами диференціювання функції

однієї змінної, причому інші змінні вважаються

даному випадку сталими

, гл . 8 , § 8.1 - 8.9 , 8.13 , 8.16]

Приклад 1. Знайти частинні похідні функції

и = х

у + 3у

2-42

+ 2 •

„ , ди „ ди 2^2 °^ -> З *

Розв'язання. = 2ху; = х +

9у

2 ; = 3у -12л"

дх ду д2

Якшо функція 2 = /(х, у) визначена в околі точки Р(х, у) і мас

неперервні частинні похідні г'

, г'

в цій точці, то приріст Аг можи

записати у вигляді

Аг - 2'

(х,у)Ах +

г'

(х,у)Ау+аАх+0Ау,

де а 0, /? -> 0 при-

х -> 0, А у -» 0 .

Головна, лінійна відносно Ах та Ау частина повного приросту

функції г = /(х, у), називається повним диференціалом сіг цієї функції

у точці Р:

сі

2 =

(х,у)

Ах + 2^(х,у)

або,

приймаючи Ах = сіх, Ау =

сі

у , маємо

д2 , дг ,

й2-

ах

ау .

х д у

Функція, що має диференціал у кожній точці деякої області В

називається диференційовною в цій області.

Приріст Аг диференційовної функції можна при малих значеннях |Дх|

1 |

у | наближено замінити диференціалом

г » а

2, звідки

Дх + Ах, у + Ау)«/{х,у)+^- сіх + ^- сіу .

дх д у

Остання формула застосовується в наближених обчисленнях .

Якщо г = /(х, у) - диференційовна функція аргументів х та у , а

х = х(г/,у),

у-у(и,

у) , то частинні похідні складної функції

= /(х(и,

У),

у(и, у)) мають вигляд

дг_дг

дх^ді

ду

д2_д2

дх

дг ду

ди дх ди ду ди ' ду дх д\ ду ду

Аналогічно, якщо

100