Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика. Загальний курс: Збірник задач та вправ
Подождите немного. Документ загружается.
Задача 5. Знайти власні вектори і власні значення матриці А
г
2 0 -0
А=-
11-1
Розв'язання. Характеристичне рівняння
2-Х 0 -1
1 1-А. -1 =0.
-1 0 2-Х
«ззхривши визначник, отримаємо
(1-А)((2-ЛГ-1)
= 0 ;
(1-А) (1-А) (3-А) = 0
(1-А)
2
(3-А) = 0 ;
А і = А 2
=
1
, А3 = 3.
Маємо : корінь А,, =
1
- кратний , показник кратності г = 2 , кооінь
А-з
= 3 — простий , г =
1
.
Система рівнянь для визначення власних векторів має вигляд
(2 - А)Х] - хз = 0 ;
X] + (і - Я)х
2
- хз = 0 ;
- х, + (2 - А)х
3
= 0 .
Підставимо послідовно ^ і Х
3
в записану систему .
1. Ху =1 , г = 2:
х\
- х
3
= 0 ;
Х[ - хз = 0 ; =>
- X, + х
3
= 0 ,
X] — Х3 — 0 , \х\ — Х3 .
81
Фундаментальна система розв'язків одержується , якщо вільним
змінним х
2
, *з послідовно надати значення х
2
=1, х
3
=0 .
х
2 = °, *з
=1 :
'°1
1
; £
2
=
0
Відповідні лінійно незалежні власні вектори
х
0)
= (0,1,0), х
(2)
= (1,0,1).
Уся сукупність власних векторів , що відповідають власному значенню
^1
, має вигляд
х
Х
1
= С, (0,1,0)+С
2
(і ,0, і), С,,С
2
єЛ, |С,| + |С
2
|*0.
2.
А-з =3 , г =
1
:
—
Ху — Х3
—
0 І
• Х\ — 2х
2
- х
3
= 0 ;
— дг
3
= 0 ,
Фундаментальна система розв'язків одержується , якщо покласти
X] + *з = 0 ; (х\ = -Л"з ;
Х\ - 2х
2
- х
3
= 0 , [*і - 2х
2
= х
3
•
х
3
=\
х\
= -1 ; X] =-1
х\
- 2х
2
= 1;
=>
•
х
2
= -1
х
3
= 1 ,
х
3
= 1
'-О
-1
ч
}
у
-(з)
Відповідно власний вектор х
=(-1,-1,
1) . Уся сукупність власних
векторів , що відповідають власному значенню Л.
3
, має вигляд
х^ =
С(-1,-1,
1) , СєК, С*0 .
82
ГЛАВА
3. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
3.1. Границя і неперервність функції однієї змінної
[2,
гл.З, §3.1 -3.6, 3.8-3.10]
Число А називається границею функції /(х) уточці а , коли для будь-
ікого є>0 знайдеться таке число 8>0, що для всіх х , для яких
!) <
|
х - а
|
< 5 , виконується нерівність | /(х) - А
|
< е.
У цьому випадку пишуть Піп Дх) = А .
х—>а
Для обчислення границь функцій використовуються наступні формули :
Ііт с = с, с = сопзї ;
Ііт сДх)
=
с Ііт Дх) ;
х->а
1іт(Дх) +
<р
(х)) = Ііт /(х)± Ііт ср(х) ;
х—»а
*->а х~>а
Ііт (Дх)-<р (х)) = Ііт Дх) • Ііт #> (х) ;
х—>а
х->а х-+а
г,
л
Ііт Дх)
Ііт
Л*і
= і±2
_ 1і
т
^(х)^0.
х->а
^(х) Ііт
(р
(х) *->а
Означені формули мають місце, якщо 3 скінченні границі
Ііт Дх) , Ііт
ср(х).
х->
а
х—>
а
Знаходження границь зводиться до застосування вказаних формул та
підстановки в отриманий вираз граничного значення аргументу .
2
Приклад 1. Обчислити 1іт(3-х + 2х ).
х->2
Розв'язання.
1іт(3-х + 2х
2
)= Ііт 3- Ііт х + 2 Ііт х
2
=3-2 + 8 = 9
х->2 х-»2 х-»2 х-»2
Тут докладно розписані всі етапи. На практиці все зводиться до
5езпосередньої підстановки х = 2 у вираз (3-х + 2х
2
) і розв'язок має такий
83
вигляд: 1іт(3-х + 2х
2
) = 3-2 + 8 = 9 .
Однак підстановка граничного значення аргументу часто призводить
до невизначеностей вигляду
її}' й'
{
°'
С0}
'
{
°°
}
'
{<Х>0}
'
Г}
•
Для розкриття невизначеності спочатку виконують перетворення. і
після цього переходять до границі. Покажемо на прикладах деякі прийоші
таких перетворень .
Приклад 2. Знайти Ііт
х
2
-1
X
і
-
+5х-6
Розвз'язання. Тут не можна застосувати формулу про границю част-
ки , бо границя знаменника дорівнює нулю. Підстановка числа х =
1
під знаї
границі призводить до невизначеності типу |^-|. Розкладемо чисельник
знаменник на множники і скоротимо на (х-1), (х^І):
х
2
-1 ГО) ,. (х-1)(х +
1)
,. х +
1
2
Іігл—
= <
—
>=1нп =1іт-
2х
3
+3х
*-»'х
2
+5х-6 [0)
*->1
(х-1)(х + 6) х-+1х
+
6 7
Приклад 3. Знайти Ііт
5х
3
+х
2
+5
Гоо)
Розв'язання. Тут невизначеність типу і — >. У подібних випадках слід
[ооі
1
чисельник і знаменник поділити на найвищий степінь х , що входить в них
2х^ Зх _3_
2х
3
+3х Гоо) ^3
+
з
2+
х
2
Ііт — -г =
<
— }= Ііт — ^ = Ііт -• - - - -
5х
3
+ х
2
+ 5 І
00
і х-+«> 5
Х
3
х
1
5 х-хог.І, 5
і 1—
3 н
—*•
~~г
х
3
х
3
х
3
х
х
3
2 + 0 2
~ 5 + 0 + 0 ~5
84
Для обчислення границь часто використовують наступні границі, що
взивають відповідно першою та другою важливими границями :
,. 5ІП X ,
Ііт =
1
,
_!_
]іт(1+х)* =е , >
х->0
100
( і V
е
Ііт 1+— =е,
іє
є - ірраціональне число, е = 2,718282.... ,
Перша важлива границя використовується при розкритті невизначено-
„ ' /01 . . . ...
стеи типу І
—
>,
що містять тригонометричні функції, друга - при розкритті
невизначеностей типу {і
00
}
\2х-\
" -*-
X
Х->сс
\ Зд
і- /зх + 2 V
Приклад 4. Знайти пт ^_ _ ^
Розв'язання.
х->°О\ Зх + 1 / х->°о\ Зх + 1 / х-»ОО\ Зх + 1 /
1+
ЗхТг)
• пт
Х->ОО
і
Зх+1
~(2х-1) ьт її± 2
-е =е •
Функція а(х) називаєтся нескінченно малою при х—»а, якщо
Ііт а(х) = 0 .
Нехай а(х),/3(х) - нескінченно малі при х-ьа . Якщо
сс(х)
Ііт—— = Л*0, то «(х) і /?(х) називають нескінченно малими од-
т->а /3(х)
ного порядку та пишуть а(х) = 0(/?(х)) при х->а .
85
сс(х)
Якщо Ііт—-— = 1,то а(х) і /?(х) називають еквівалентними тг
Р(х)
пишуть а(х)~ /?(х) при х—>а .
а(х) , .
Якщо Ііт —-— = 0,то а(х) називають нескінченно малою вишог»
х-*а
@(х)
порядку відносно /?(х) та пишуть а(х) - о(/?(х)) при х-±а.
Якщо ііт = с=>=0 , то а(х) називають нескінченно мало»
*->«(/?(х))
и
л-го порядку відносно /?(х) .
Границя відношення двох нескінченно малих функцій не зміниться
якщо ці нескінченно малі замінити еквівалентними . Цей факт щирок:
використовується при обчисленні границь .
Основні еквівалентності: якщо а(х)-»0 при х—»а, то
а(х) ~ $іпа(х) ~ 1§ а(х) ~ агсзіп а(х) ~ агсІ§ а(х)~
1п(1
+ а(х))~ (е
а
^ -1)
Прклад 5. Знайти Ііт
агсзіп
2
Зх
х-»0
СОЗЗх-СОЗХ
Розв'язання. Згідно з відомою тригонометричною формулою
созЗх-созх = -25Іп 2х$іпх . Оскільки при х -> 0 5Іпх~х, зіп2х~2х
агсзіп
2
Зх ~ (Зх)
2
до
агсзіп
2
Зх ,. (Зх)
2
,. (Зх)
2
9
Ііт = Ііт -— = Ііт —-— = — .
л:->0 соз Зх - соз х *->0 - 2 зіп 2х зіп х *->0 - 2 • 2х
•
х 4
Функція називається неперервною в точці а , якщо вона визначена і
деякому околі точки х = а і Ііт Дх) = /(а)
-
Якщо ця умова порушується
х->а
то функція /Хх) називається розривною в точці а , а сама точка називається
точкою розриву .
Якщо існують скінченні границі /(а + 0), /(а-0), але
/(а + 0)=*
/(а-0),
точка х = а - точка розриву першого роду .
Якщо /(а + 0) = /(а-0) * /(а), то точка х = а - точка усувної»
розриву.
86
Якщо хоча б одне із значень /(а + 0) , /(а-0) нескінченне або не
снує , то точка х = а - точка розриву другого роду .
1
Приклад 6. Задана функція /(*) =
•
5-Лх-х
1
зервність у точках х, = -5; х
2
= 1; х
3
= 2.
Розв'язання.
*і =-5 ; Л-5-0) = Ііт
.
Дослідити ЇЇ на непе-
1
/(-5+0) = Ііт
*->-5-0
5-4д:_^
1
х-> -5+0 5 - 4х - х
с
У точці х
і
=
—5
функція /(х) має розрив другого роду.
х
2
= 1; /(1 - 0) = Ііт
1
Д1 + 0)= Ііт
х-И-0
5-4х-х^
1
•
= -00 .
У точці х
2
=1 функція /(х) має розрив другого роду.
1 1
х
3
=2;
Д2±0)= Ііт
х->2+0
5-4х-х
2
5-4х-х
2
Точка х
3
=2 - точка неперервності, оскільки /(2 + 0) = /(2).
ЗАПИТАННЯ І ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ
1. Дайте означення функції. Що називається областю означення
функції ?
2.
Яка функція називається парною , непарною ? Наведіть приклади .
3.
Яка функція називається періодичною ? Наведіть приклади .
4.
Яка функція називається складною ? Наведіть приклади .
5.
Яка функція називається елементарною ? Наведіть приклади .
6. Дайте означення границі функції.
7. Яка функція називається нескінченно малою ?
8. Яка функція називається нескінченно великою ?
9. Покажіть , що нескінченно малі функції зіпх , агезіп х, 4§х, агсІ§х
87
еквівалентні
при х
—>
0.
10.
Сформулюйте означення неперервності функції в точці
і на
відрізку
Які точки називаються точками розриву функції
?
11.
Яка
класифікація точок розриву функції
?
12.
Сформулюйте основні властивості функцій
,
неперервних
відрізку
, і
дайте геометричне тлумачення
цим
властивостям
.
3.2. Диференціальне числення функцій однієї змінної
[2,
гл. 4,
§4.1-4.7, 4.9-4.14,
4.16]
Якщо існує
Ііт —, то ця
границя називається похідною функц
Дх->0
Ах
У =
/(
х
)
в
точці
х і
позначається
у'(х) , у'
х
, — ,
/'(х).
ах
Отже,
,
г Ау
у
= Ііт —
д*->0 Ах
Механічний зміст похідної
:
швидкість
V
прямолінійного руху точкв
в момент
/ є
похідна
від
шляху
5 за
часом
/ ,
тобто якщо
5 = 8(1), то
К
= $'(/) .
Геометричний зміст
:
похідна
в
точці
х
0
дорівнює кутовом;.
коефіцієнту дотичної
до
графіка функції
в
точці
з
абсцисою
х
0
Рівняння дотичної
до
кривої
у = /(х) в
точці
(х
0
,у
0
)
має
вигля;
У-Уо
=/'(
х
о)(
х
-
х
о)
•
Рівняння нормалі (перпендикуляра
до
дотичної
в
точці дотику)
мас
вигляд
у-уо
=- Лх-х
0
).
Операція знаходження похідної називається диференціюванням
.
Основні правила диференціювання
:
1.
С' = 0 •
2 (С£/)'
= СІ/' .
з.
(^±Vу
=
^'±V'.
88
4.
(II-У)'
=
1)'У
+
1]У'
.
Ну
сЛ
і)'у-т'
У
2
6-
{ДЦ))'х=/и
"х •
Тут С-стала, (У
=
£7(>),
У = У(х).
Основні формули диференціювання
1. (V
а
)' = аИ
а
~
Х
- V, а&К ,
2.
(1о
8в
і/)'
=
3.
(ІпС/)
4.
(а'
7
) =а
{/
Іпа-сГ
.
5.
(е
и
)=е
и
^
.
6. (8Іпс7)' = созс7-с7' .
7.
(С08І/)'
=
-8ІПіУ-ІГ
.
8.
(і
6
Е/)'=_!_[/• .
соз
2
с7
9. (с1§£/)'
= ^—І/' .
5ІП
2
[/
10.
(агс5ІпС/)'=
,—і С/' .
11.
(агссо5(7)'
= —,
1
Ц'
УІІ^Ц
2
12.
(агсІ§с7)' = —V .
\
+ Ц
2
13.
(агссІ§с7)' =
Ц-С/'
.
1
+ С/
2
89
14.
(8Ь£/)' = сЬ£/•£/' .
15.
(сЬсУ)' = 5Ьс7-с7' .
16.
(Ш(7)' = —\— II' .
сп
2
і/
17.
(сіЬІ/)' = 1—С/'
зп
2
<У
Тут с7 = с7(лг). Якщо С/(х) = х,то с7'(х) = х' = 1.
Приклад 1. Знайти похідну функції
>>
= соз 1п
1
Розв'язання.
У =
1
С05
2
ІП-
- = 2 соз 1п —
*) X
-зіп 1п —
X
х-
х
2
)
І .
зіп 2 1п
х їх
Якщо функція у = /(х) має обернену х = (о(у), то справедливі
формула /'(х) = -^— .
<?> О)
Щоб продиференціювати функцію, неявно задану виразок
Р{х, у) = 0, необхідно цей вираз продиференціювати за змінною х
вважаючи у функцією від х , і з отриманої рівності знайти у'.
Приклад 2.3найтиУ, якщо х
2
-2ху
2
+у
2
=5 •
Розв'язання.
2х - Зу -Зх
•
2уу'
+
2уу'
=
0 ;
2у\у-3ху) = 3у
2
-2х
У =
Зу -2х
2>>(1-3х) '
Інколи , перш ніж диференціювати функцію , слідїїпрологарифмувати
а після цього знайти похідну як від неявної функції.
90