Тутубалин В.Н. и др. Математическое моделирование в экологии
Подождите немного. Документ загружается.
найдена из опыта та или иная физическая величина, не зная толком, что именно измерялось,
ни каким методом, а оперируя лишь результатами отдельных измерений. (Ниже мы
рассмотрим детально, что именно предлагалось: технология сводится к простой
арифметике.) Таким образом, теория вероятностей, опираясь на научный авторитет Лапласа
и Гаусса, бралась совершить настоящее чудо (в применении, конечно, к науке, т. е. к
обработке экспериментальных результатов). Правда, забегая вперед, скажем, что в
отношении фактографическом дело с этим чудом обстоит ровно так же, как с чудесами
священного писания. В самом деле, если мы установили, с какой точностью мы определили
ту или иную физическую константу, то ясно, что результаты последующих, более точных
определений той же константы, не должны выходить за установленные пределы (разве лишь
с некоторой малой вероятностью). Именно так думали и Лаплас, и Гаусс, и Чебышев. Но на
самом деле обнаружилось, что такой выход за заранее установленные пределы происходит
гораздо чаще, чем позволяет упомянутая малая вероятность. Мы в конце концов пришли к
тому, что метод наименьших квадратов для обработки наблюдений (метод Лапласа и Гаусса)
тоже дает не некоторую фактическую истину, а лишь исходный пункт для медитации на
тему — всё ли хорошо с измерениями. Но это было отчетливо установлено лишь во второй
половине нашего 20-го века, а полтораста лет назад, во времена С. Г. Строганова и
П. Л. Чебышева обещание чуда принималось вполне всерьез.
Ясно, что граф Строганов знал об этом чуде и стремился импортировать его в Россию.
Надо сказать, что вероятностные работы Гаусса имеют чисто научный характер и формально
касаются частных вопросов, а широко популяризировал новые достижения теории
вероятностей исключительно Лаплас. Его «Аналитическая теория вероятностей»
предваряется обширным введением «Философский очерк», которое написано блестящим и
общепонятным стилем. Совершенно логично, что Строганов предложил аспиранту задачу —
прочесть и понять Лапласа, включая его математику, и переизложить основные вещи
попроще: чтобы и русский Иван, который окончил лишь только гимназию, мог все это
понять. Приведем, наконец, точную цитату из диссертации Чебышева: «дать возможность
поверить все эти заключения анализом строгим и простым, доступным для большей части
учащихся, есть большой шаг в способе элементарного изложения теории вероятностей».
Иными словами, русский Иван должен еще получить гарантию, что Лаплас его не надул.
Однако во всем этом правильном и разумном замысле темы диссертации, которую
предложил С. Г. Строганов, есть одна глубокая трещина (о которой он знать не мог). Дело в
том, что математику «Аналитической теории вероятностей» Лапласа понять невозможно.
15
Лаплас очень странным (для нас) образом пользуется математическим анализом. Молодой
аспирант Чебышев (ему примерно 23 года) попал в трудное положение: ничего понять у
Лапласа нельзя, и ему остается лишь вывести основные результаты самостоятельно.
В предисловии к диссертации он, конечно, лицемерит, скрываясь за интересами
малообразованного Ивана. Но речь идет, однако, о доказательстве центральной предельной
теоремы: что сумма независимых случайных величин имеет примерно нормальное
распределение. Ничего не стоит вывести на чистую воду автора магистерской диссертации,
если знать, что было потом. В дальнейшем П. Л. Чебышев неоднократно ставил вопрос о
математическом доказательстве центральной предельной теоремы (стало уже
общепризнанным, что у Лапласа такого доказательства нет). Его собственные результаты в
этом направлении не вполне удачны; считается, что эту задачу решили ученики Чебышева
А. М. Ляпунов и А. А. Марков (старший). Задача импорта в Россию результатов Лапласа,
которую ставил С. Г. Строганов, обернулась совершенно неожиданно: после Лапласа
15
В недавнее время больших успехов в прочтении «Аналитической теории вероятностей» добился известный
специалист в теории вероятностей А. Д. Соловьев. По-видимому, его следует считать исторически первым
читателем Лапласа.
51
(и Пуассона) к математической проблематике теории вероятностей на Западе был временно
потерян интерес. Она разрабатывалась в России и таким образом пережила трудные времена.
В самой же магистерской диссертации Чебышева, в противоречие с приведенной выше
цитатой, нет ничего «строгого» (в отношении центральной предельной теоремы). До какой
степени там нет ничего и «простого», нетрудно понять, лишь стоит взглянуть на многие
страницы этой диссертации: идет сплошной формульный текст. В свете «России в
1839 году» А. де Кюстина закономерно возникает вопрос — сколько именно раз водил
почтенный Август Семен своих наборщиков пороть в полицию, пока они набрали все это
формульное великолепие? И был ли полицейский участок тем самым, в котором сидел
печальный соотечественник Кюстина, предаваясь медитациям на текст «Язык мой — враг
мой»? Дело в том, что во время пребывания Кюстина в Москве некий француз был посажен
в участок неизвестно за что, вероятно за допущенную языковую небрежность, неуместную в
стране просвещенного абсолютизма. Рядом с комнатой, в которой сидел несчастный,
с раннего утра до позднего вечера производились экзекуции. Кюстин помог, сколько было
возможно, вызволить беднягу; тот был выслан из России и явился к Кюстину
с благодарностью и рассказом, который тоже вошел в книгу.
В общем, когда Чебышев, щадя чувства малообразованного Ивана, выписывает вместо
интеграла сумму, содержащую 10
15
слагаемых, это мало помогает: гораздо легче узнать, что
такое интеграл, чем разбираться в мерзкого вида формулах. Какую же математическую
задачу на самом деле решил Чебышев?
Такая очень важная задача имеется. Чебышев получил центральную предельную
теорему методом хотя и не вполне строгим, но совершенно отличным от метода Лапласа.
Это означало, что практически несомненно то, что Лаплас по существу результата прав.
Конечно, нелепо утверждать, что теперь Иван может проверить Лапласа: ни Лапласа, ни
Чебышева он проверить не может. Но сам Чебышев Лапласа проверил, а лучше сказать —
освоил эту математическую проблематику настолько, что был в состоянии инициировать то
ее развитие на российской почве, о котором говорилось выше. Несколько легкомысленным
был А. де Кюстин, когда утверждал, что русские способны лишь заимствовать:
заимствование хоть в России, хоть в Японии, Индии или Китае непременно привносит какие-
то оригинальные черты.
И тем не менее, Лаплас (вместе с Гауссом и другими менее знаменитыми авторами)
надул-таки Ивана, а также Жана, Джона и Иоганна (дело тут не в национальности) в части
создания опоры для знаний, основанных на наблюдениях. Это не было надувательством
в математике, но скорее в области здравого смысла. Посмотрим, как это случилось.
3.3.3. Колодки статистической обработки измерений
Пусть (сказали Лаплас и Гаусс) в n опытах измеряются n величин, истинные значения
которых a
1
, a
2
, ..., a
n
. Поскольку ни одно измерение не обходится без ошибок, мы получили
результаты измерений x
1
, x
2
, ..., x
n
, где x
i
= a
i
+δ
i
, причем δ
i
— это ошибка i-го измерения.
Поскольку ошибка измерения определяется каким-то сочетанием случайных факторов
(случайных в смысле древнего архетипического представления о случайности) будем
смотреть на ошибки δ
i
как на значения случайных величин. Итак, модель результатов
измерения имеет вид
x
i
= a
i
+ δ
i
, (3.1)
где δ
i
— случайные величины.
52
Пока что сказано нечто тривиальное, а первая нетривиальная мысль состоит в том, что
во многих случаях точные значения a
1
, a
2
, ..., a
n
могут быть связаны уравнениями,
вытекающими из известных законов природы (мы воспроизводим рассуждения рубежа 18-го
и 19-го веков, когда науки уже развиты и законов природы известно немало). Если в эти
уравнения подставить вместо a
1
, a
2
, ..., a
n
результаты их измерений x
1
, x
2
, ..., x
n
, содержащие
ошибки, то, разумеется, уравнения не будут соблюдаться точно. Нельзя ли как-то
использовать получающиеся «невязки» с законами природы для уточнения результатов
измерений и вообще для извлечения какой-то полезной информации? Оказывается — можно,
и для этого предназначен метод наименьших квадратов Гаусса. Для наших целей этот метод
в его общем виде не нужен: мы ограничимся простейшим частным случаем, когда из законов
природы вытекает уравнение
a
1
= a
2
= … = a
n
= a,
т. е. во всех опытах определяется одна и та же величина a. Модель (3.1) принимает вид
x
i
= a + δ
i
. (3.2)
Если в моделях (3.1) и (3.2) под δ
1
, δ
2
, ..., δ
n
понимать просто какие-нибудь случайные
величины, то эти модели тривиальным образом верны, но не ведут ни к какой обработке
наблюдений. Обработка становится возможной, если что-то предположить дополнительно о
величинах δ
1
, δ
2
, ..., δ
n
. Важнейшим из таких предположений является предположение об
одинаковом распределении случайных величин δ
1
, δ
2
, ..., δ
n
. Это означает, например, что
вероятности P{δ
i
< z}, где z — любое вещественное число, одинаковы для всех i = 1, ..., n.
(Данное предположение может быть несколько ослаблено, но незначительно.)
На языке здравого смысла это предположение означает следующее. Случайная
величина — это результат некоторого случайного эксперимента. Например, можно
представить себе, что некий демон держит в руках мешок, в котором находится очень
большое число бумажных билетиков, на которых написаны числа. Мы не вдаемся в
детальный процесс образования ошибок измерений, а моделируем его следующим образом.
При каждом измерении демон наудачу достает билетик из мешка, а написанное на нем число
и есть ошибка данного измерения. Потом билетик кладется обратно, а при следующем
измерении все повторяется. В таком случае предположение об одинаковом распределении
всех ошибок измерений сводится к тому, что демон не имеет права менять мешок: мешок
не зависит от номера измерения. Понятно, что это очень сильное предположение о
стабильности (во времени) источника ошибок эксперимента.
Это основное предположение статистической однородности ошибок измерений
в классической теории дополняется еще двумя. Во-первых, предполагается, что отсутствует
систематическая ошибка, т. е. Eδ
i
= 0, где знак E обозначает математическое ожидание.
Классики аргументировали в пользу этого предположения примерно следующим образом:
раз ученый, делающий измерения, является честным человеком, то он не будет
систематически завышать или занижать результаты своих измерений, а в таком случае для
него одинаково вероятно ошибиться на (+ε) и на (–ε), что приводит к тому, что Eδ
i
= 0.
Конечно, подобная аргументация нам представляется наивной, поскольку ошибки измерений
зависят не только от субъективной честности измерителя, но и от свойств приборов,
которыми он пользуется. Однако, если мы уже приняли гипотезу об одинаковом
распределении ошибок, то в таком случае их математические ожидания тоже одинаковы:
Eδ
i
= α, т. е. фактически вместо величины a в (3.2) мы измеряем a + α. Такая ситуация
должна, вообще говоря, скоро обнаружиться. Например, если наши измерения
геодезические, то как только мы измерим углы какого-то (пусть, для простоты, плоского)
53
треугольника, то сразу и найдем, что их сумма отличается от теоретических 180°. Другое
дело, если систематическая ошибка α не остается всё время постоянной, а может зависеть
скажем, от истинного значения a измеряемой величины (в разных участках шкалы прибора
разные систематические ошибки). Такие систематические ошибки вылавливать сложнее
(и наиболее правильно считать, что классическое предположение Eδ
i
= 0 является просто
исходным пунктом, отправляясь от которого, начинается ловля систематических ошибок).
Вторым предположением является предположение о статистической независимости
ошибок различных измерений. В эпоху Лапласа и Гаусса (около двухсот лет назад)
различные случайные величины обычно считались независимыми. Вероятностные модели с
зависимыми случайными величинами начинают появляться примерно на век позже. Однако
и в настоящее время мы с крайней неохотой будем пользоваться моделями с зависимыми
ошибками, если наша задача — обработать какие-то конкретные наблюдения. Другое дело,
что такие модели могут употребляться для критики классических концепций (см. об этом
книгу П. Е. Элиасберга [82], о которой несколько слов будет сказано ниже).
Наконец, можно вводить или не вводить предположение, состоящее в том, что
отдельные ошибки измерений δ
1
, δ
2
, ..., δ
n
имеют нормальное распределение. Если это
предположение ввести (классики склоняются к нему), то для дальнейшего не требуется
центральная предельная теорема. Если этого предположения не вводить, то нормальность
распределения среднего значения
∑
=
i
xnx )/1(
следует обосновывать ссылкой на
центральную предельную теорему.
Какие же блага вытекают из всех этих предположений? Действительно доставляется
некая важная опора для знаний, основанных на наблюдениях. В самом деле, каждая
домашняя хозяйка знает, что за оценку истинных значений a нужно взять
x
, но насколько
это
x
может отличаться от истинного a? Ответ: E
x
= a, дисперсия Dx = σ
2
/n, где σ
2
= Dδ
i
—
дисперсия отдельного наблюдения. Следовательно, используя таблицы нормального закона,
находим, например, что
{
}
95,0/96,1 =≤− naxP . (3.3)
Беря грубо вместо 1,96 число 2, получаем, что лишь в одном случае из 20 отклонение
x
– a может превосходить по (абсолютной величине) число n/2σ . Вопрос состоит лишь в
том, как найти σ. Если бы ошибки δ
i
= x
i
– a были наблюдаемы, мы взяли бы за
приближенное значение σ
2
= Dδ
i
= Eδ
i
2
среднее значение
∑
δ
2
)/1(
i
n
. Но раз мы самих
ошибок δi не знаем, возьмем кажущиеся ошибки x
i
–
x
и составим выражение
∑
−=
22
)()/1( xxnS
i
. (3.4)
Классики рекомендовали принять приближенно σ
2
≈ S
2
, иными словами заменить в (3.3)
неизвестное σ на легко вычисляемое по формуле (3.4) значение S. Последовавший затем
длительный математический анализ вполне подтверждал рекомендацию классиков (в рамках
их модели) при числе наблюдений n порядка одного-двух десятков и более. Небольшая
разница состоит в том, что теперь вместо (3.4) обычно берут чуть отличающееся выражение
∑
−−=
22
)())1/(1( xxns
i
но при n порядка десятков (и более) разница между S и s несущественна.
54
Изложенная рекомендация в наше время широко известна (хотя всё-таки не каждой
домашней хозяйке), но двести лет назад речь шла о настоящем чуде. В самом деле, пределы
для возможной ошибки среднего из n наблюдений (по отношению к абсолютно истинному
значению a) устанавливается без каких-либо сведений о том, что именно измеряется и каким
методом, а лишь исходя из «невязок» наблюдений, т. е. разностей x
i
–
x
. Посмотрим, какой
пример этого чуда дается в магистерской диссертации Чебышева.
На последней странице диссертации приводятся n = 29 наблюдений Кэвендиша по
определению постоянной всемирного тяготения. Значение этой постоянной Кэвендиш
пересчитывал в значение средней плотности Земли. Таким образом, приводятся значения
плотности Земли (в г/см
3
), которые колеблются от 5,07 до 5,88. Истинное значение,
разумеется, лежит где-то в середине, и отклонения от него достигают примерно 0,40, т. е.
около 10% от измеряемой величины. Спрашивается, каков порядок точности среднего
значения
x
?
Всего лишь нужно вычислить
x
и S
2
по формуле (3.4). Чебышев это и делает, но он
сделал уже массу формульных и численных вычислений в своей диссертации. (В частности,
комментатор к изданию критикует лишь последний — седьмой — знак таблицы
нормального закона, составленной Чебышевым.) К концу работы он, видимо, устал и
простые вычисления производит с потрясающей арифметической безграмотностью. Имеет
место алгебраическое тождество
2222
)()/1()()/1( xxnxxnS
ii
−=−=
∑
∑
,
и Чебышев производит вычисления по его правой части. В этом случае (как понятно
каждому гимназисту) нужно от всех чисел x
i
отбросить целую часть, равную 5, и вычислять с
дробями. Но Чебышев этого не делает. Он принимает округленно
x
= 5,48. Оба числа
и
∑
2
)/1(
i
xn
2
)(x оказываются близкими к 30, а первая отличная от нуля цифра их
разности — знак сотых. Если учесть, что более точно
x
= 5,482, то получается, что ошибка
0,002 в значении
x
влияет на знак сотых в значении
2
)(x , и тем самым на первую значащую
цифру в значении S
2
. К счастью, при вычислении
∑
2
i
x
Чебышев тоже каким-то образом
ошибся, обе ошибки компенсировались и получился достаточно точный результат. Он
эквивалентен тому, что 04,0/ ≈nS . Итак, ожидаемый порядок ошибки значения
x
составляет что-то около 1% от измеряемой величины (Чебышев заключает, что истинное
значение плотности с близкой к 1 вероятностью лежит в пределах 5,48 ± 0,1). Теперь, через
полтора века после Чебышева, мы можем сказать, что чудо, в самом деле, произошло: в
настоящее время принято значение плотности Земли 5,52, и разница 5,52 – 5,48 составляет
как раз 0,04. Видимо, объективный мировой Разум так бережет выдающихся ученых ранга
Кэвендиша и Чебышева, что дает им возможность совершить научное чудо на удивление
потомкам, несмотря даже на арифметические ошибки.
3.3.4. Дальнейшая судьба теории ошибок
Идеология теории ошибок представляет взору самые типичные черты колодки
мышления. Предлагается модель той части мира, с которой мы собираемся работать (именно
ошибок измерений) в виде независимых одинаково распределенных случайных величин. Да,
ошибки измерения действительно могли бы быть устроены таким способом, особенно для
тех измерений, которые прежде всего имели в виду Лаплас и Гаусс — астрономических и
геодезических. Речь идет в обоих случаях об измерении углов между направлениями на два
предмета. Сначала мы наводим визир оптического прибора на один предмет, но, так как
55
изображение дрожит, то абсолютно точная наводка невозможна и направление определяется
с некоторой случайной ошибкой. То же повторяется со вторым предметом. Почему бы
не быть справедливой модели Лапласа и Гаусса? Модель, кстати, содержит подгоночный
параметр σ
2
(дисперсию единичного наблюдения), и за счет выбора этого параметра можно
объяснить почти любые полученные на опыте результаты измерения. Вообще, отвергнуть ту
или иную вероятностную модель на основании ограниченного экспериментального
материала бывает трудно.
Но в исторической перспективе все обстоит по-другому. Указывая доверительный
интервал для той или иной физической константы, исследователь, в сущности, заключает
пари с теми, кто будет измерять эту константу в будущем. Ждать решения вопроса, вообще
говоря, придется довольно долго, потому что для полной ясности необходимо существенное
усовершенствование методов измерения. Как часто такое бывает? Если мы скажем, что
существенное методическое усовершенствование появится через 20–30 лет, то это будет уже
следующее поколение ученых. Подобное пари со следующими поколениями ученых
заключил Лаплас (речь шла об отношении массы Юпитера к массе Солнца). Проиграл
Лаплас свое пари: современное для нас значение этой константы выходит за пределы
указанного им интервала.
Определенные надежды на доверительные интервалы сохранились еще в первой
половине 20-го века. Когда в 1913 г. Милликен определил заряд электрона, он дал и
доверительный интервал. В этом случае величина 2S/√n составляла примерно 0,001 от
измеряемой величины, и довольно долго считалось, что определение Милликена имеет
такую точность. Но в конце концов выяснилось, что точность значительно хуже — около
0,006 от измеряемой величины. Правда, в данном случае дело объясняется тем, что
Милликен использовал недостаточно точное значение вязкости воздуха (входившей в
пересчет результатов измерений), в силу чего возникла систематическая ошибка. В такой
ошибке не виновата вероятностная теория.
Сомнения насчет доверительного интервала возникали и в классической области
геодезии. Было обнаружено явление горизонтальной рефракции: в зависимости от погодных
условий, показатель преломления воздуха может быть переменным не только по вертикали,
но и по горизонтали. В этом случае возникает искривление лучей света в горизонтальном
направлении, которое заметно влияет на измерение углов. В геодезии были разработаны
нормы на то, сколь хорошо должны сходиться между собой результаты последовательных
(во времени) триангуляций. Оказалось, что результаты зимних и летних триангуляций
не сходятся так хорошо, как положено по нормам (по-видимому, из-за различий в
горизонтальной рефракции зимой и летом).
Пока в различных областях науки накапливались сведения о ненадежности результатов
статистической обработки измерительных данных, теоретики продолжали верить в мечту
Лапласа и Гаусса. Такой осмотрительный и осторожный автор, как А. Н. Колмогоров,
в своей работе 1946 г. о методе наименьших квадратов ([35], стр. 267-283) озабочен лишь
тем, как лучше объяснить студенту метод Гаусса (но не тем, что этот метод дает реально).
Однако во второй половине 20-го века наступил перелом.
Дело в том, что был введен в широкую практику принципиально новый метод
измерения расстояний — радиолокация. С появлением искусственных спутников,
естественно, стали проводиться радиолокационные измерения их траекторий. Оказалось, что
если обрабатывать их методом наименьших квадратов, то получается совсем скверно: этот
метод предсказывает столь высокую точность параметров орбиты, что два разных участка
одной и той же орбиты не хотят стыковаться друг с другом. Вопрос, конечно, в том, что
56
такое число измерений. Радиолокационные измерения можно проводить очень часто, почти в
режиме непрерывного времени, и если ошибки отдельных измерений считать статистически
независимыми (по Лапласу и Гауссу), то число независимых наблюдений делается очень
большим. Отсюда и высокая теоретическая точность определения параметров траектории
(а тогда ее различные участки приносят слишком разные параметры). Здесь уместно
вспомнить второе свойство российской ментальности по А. де Кюстину — острую,
доходящую до злобности критичность (первое свойство, напомним, — неспособность
создать ничего оригинального). Действительно, столь критичного отношения к
статистической обработке наблюдений, какое выражено, например, в книге П. Е. Эльясберга
[82], нам не приходилось видеть в западной литературе. Выпущена эта книга в ту пору, когда
существовал Главлит, так что на почве русской ментальности и Главлит мог пропустить
весьма критичную книгу.
В частности, в этой книге написано, что закон больших чисел — это предрассудок 19-го
века. Имеется в виду следующее. Если x
1
, x
2
, ..., x
n
— независимые случайные величины,
σ
2
— их (допустим, одинаковые) дисперсии, то дисперсия среднего арифметического
x
равна σ
2
/n и стремится к нулю при n → ∞ (один из вариантов закона больших чисел). Если
же допустить, что все величины коррелированы между собой (хотя бы с небольшим
коэффициентом корреляции r = 0,1), то дисперсия
x
отнюдь не стремится к нулю при n → ∞
(закон больших чисел не действует). В то же время на практике трудно отличить случай r =
0,1 от случая r = 0 (в этом Эльясберг тоже прав). Стало быть, нечего особенно надеяться на
закон больших чисел.
На этом простейшем примере понятно, что мало что остается от статистической
обработки наблюдений, если колодку мышления с независимыми ошибками дезавуировать
(заменив ошибки на зависимые). Казалось бы — подрыв основ науки, но, видимо, никто из
специалистов по теории вероятностей на этот подрыв не обиделся (и гонений на автора,
насколько нам известно, не было). Однако в развитие тезиса о критичности российской
ментальности заметим, что книга [82] имеет свои недостатки.
Из подобной книги хотелось бы узнать, как на самом деле устроены ошибки
радиолокационных измерений. Нужны ли здесь вообще какие-то вероятностные модели?
Принципиально радиолокатор — это часы, а погрешность измерения часами промежутка
времени может зависеть от длины измеряемого промежутка. Достаточно ли такой
систематической ошибки, которая зависит от измеряемой величины, чтобы объяснить,
в основном, ошибки радиолокатора? Если же подобные ошибки настолько нестабильны, что
их хочется считать случайными, то должны быть какие-то фактические исследования
стабильности их статистических свойств. В противном случае модели с корреляциями
не имеют отношения к радиолокации. Иными словами, из книги [82] не следует почти
ничего положительного.
По совокупности изложенных фактов можно сделать следующие выводы, которые на
самом деле касаются не только теории ошибок, но и других приложений вероятностных
методов.
Конечно, Лаплас и Гаусс задумывали теорию ошибок как некую физическую теорию
для оценки влияния ошибок наблюдений на конечный результат обработки — физическую в
том смысле, что ее выводы должны подтверждаться на уровне физической парадигмы.
Например, доверительные интервалы для значений физических величин должны, как
правило, подтверждаться по мере развития методов измерения. Однако подобные
подтверждения столь редки, что скорее должны рассматриваться как чудо. (Чудо бывает,
когда добиваются желаемого результата явно недостаточными средствами.) Спорить с тем,
57
что в очень многих случаях вероятностная модель теории ошибок не адекватна (на
физическом уровне строгости) реальным ошибкам, нет никакой возможности.
Правда, одним из бесспорных чудес, связанных с этой моделью, является то, что при
дальнейшем развитии науки она оказалась адекватной (на том самом физическом уровне)
моделью для других явлений. Стоит заменить слова «δ
i
— ошибка i-го наблюдения» на слова
«δ
i
— проекция на ось абсцисс скорости i-ой молекулы», как мы получим модель газа
Максвелла. При этом верно, что Eδ
i
= 0, что Dδ
i
одинаковы и что δ
i
— статистически
независимы и распределены по нормальному закону. Мы принимаем такую модель газа в
качестве простой, но в физическом смысле полноправной модели. Как видно, мировой Разум
позаботился также о Лапласе и Гауссе, чтобы их способ думать на что-нибудь пригодился.
Но что касается обработки результатов измерений, то тут, кажется, есть всего три
возможности:
1) не заниматься обработкой совсем (кроме элементарного представления результатов в
удобочитаемом, в частности, графическом, виде);
2) разрабатывать новые, более сложные модели, надеясь на их адекватность;
3) обрабатывать результаты с помощью метода наименьших квадратов и его более
современных аналогов, смягчив, однако, ту философию, которая определяет, какой радости
мы ожидаем от этой обработки.
Первый выход — скверный, так как в этом случае отдельные наблюдения детально
вообще не анализируются и мы рискуем упустить что-то важное (что на самом деле имеется
в фактическом материале, но мы не обращаем на него внимания).
Второй выход — мало реальный, так как усложнение моделей (например, введение
корреляций между ошибками наблюдений) обычно не делает их более адекватными.
Мы склоняемся к третьему выходу, который имеет хотя бы то преимущество, что
естественно вырос из классики и потому обеспечен компьютерными программами
обработки. Конечно, держать пари с последующими поколениями ученых относительно
точности определения физических величин вряд ли стоит. Но сопоставление реальных
данных с какой-то колодкой мышления (пусть даже ее неадекватность заведомо допускается)
обычно позволяет заметить какие-то новые особенности данных, которые не были бы
замечены без обработки. Философия сводится, таким образом, к надежде более полно
проявить какую-то дополнительную часть информации, содержащейся в данных, причем
недорогой ценой — используя существующие программы обработки. Конкретный пример
подобного более полного понимания результатов эксперимента, к которому в конце концов
привело последовательное применение метода наименьших квадратов, можно найти в [71].
Глава 4. Откровение дифференциальных уравнений
4.1. Проблема колебаний обилия биологических видов
Начиная с данной главы, мы будем рассматривать сравнительно узкий и специальный
вопрос — объяснение с помощью тех или иных математических моделей колебаний обилия
различных биологических видов. Под «обилием» может пониматься абсолютная численность
особей какого-то вида на определенной территории (акватории), но чаще речь идет о
плотности популяции, т. е. о количестве особей вида, приходящемся на ту или иную единицу
площади (или объема) среды обитания. Сам факт значительных колебаний во времени (или
58
пространстве) обилия тех или иных видов чрезвычайно широко распространен и известен
каждому из собственного повседневного опыта. Например, речь может идти о колебании
урожайности сельскохозяйственных культур, либо о колебаниях численности
сельскохозяйственных вредителей в саду, либо попросту о колебаниях обилия грибов или
ягод в лесу. Расхожей колодкой для объяснения подобных колебаний является модель,
включающая в себя как естественные, так и антропоморфные факторы окружающей среды.
Первая группа объясняет динамику обилия видов, в частности, погодными факторами,
а вторая — загрязнениями природной среды, от которых и происходит всяческое зло.
Но попытки количественного сопоставления, скажем, урожайности сельскохозяйственных
культур с ходом погодных явлений, либо с уровнем загрязнений мало успешны, если
не говорить, конечно, о критических ситуациях типа исключительной засухи или
наводнения, когда урожай погибает полностью от вполне очевидной причины.
В 20-х годах нашего века возник иной подход к объяснению колебаний обилия видов,
согласно которому эти колебания (по крайней мере, в некоторых случаях) объясняются
межвидовыми взаимодействиями. Например, хищники, как каждому известно, поедают
жертв и без этого не могут ни жить, ни размножаться, но если они вдруг съедят почти всех
жертв, то вскоре и сами почти полностью погибнут от голода. Тогда освобожденные от
пресса хищников оставшиеся в живых жертвы вскоре опять размножатся, но тут пережившие
голодовку хищники, пользуясь обилием доступной пищи, тоже размножатся и опять съедят
почти всех жертв. Таким образом, на уровне качественного рассуждения получается
возможность неограниченно продолжающихся во времени примерно периодических
колебаний численностей двух взаимодействующих видов — хищников и жертв.
Но возникнут ли именно периодические колебания или те и другие просто вымрут, или,
наконец, возникнет стабильное во времени равновесие численностей обоих видов — на
чисто качественном уровне сказать нельзя. Данная колодка мышления ничем не лучше, чем
упомянутая ранее.
Попытки эффективного научного анализа различных межвидовых взаимодействий с
целью объяснения динамики обилия видов начались в 20-е годы нашего века и связаны,
в первую очередь, с именами А. Лотки и В. Вольтерра. Это направление оказало глубокое
влияние на всё физико-математическое мышление. Конструктивно-критической (по
отношению к работам В. Вольтерра) разработкой этого направления занимался столь
выдающийся ученый, как А. Н. Колмогоров (см.
[34]). Влияние идей применения
дифференциальных уравнений можно проследить до самого последнего времени (см.,
например, недавний доклад В. И. Арнольда
[2]). Философски интересно сопоставить
историко-научную судьбу всей этой идеологии с тем «учением» о колодках мышления,
которое содержится в
предыдущей главе. Но мы намерены это сделать в несколько
необычных терминах.
Как уже говорилось, по нашему мнению, мышление в такой форме, которую можно
назвать «колодкой», чрезвычайно распространено. Колодки мышления встречаются в самых
различных областях — от религии до повседневных бытовых проблем. Конечно,
религиозное откровение, быть может, не следует вообще называть мышлением — это нечто
другое, но ведь всегда наступает момент, когда содержание откровения бывает нужно
выразить в словах. Тогда колодки мышления вступают в свои права, и по существу, как мы
уже видели, они одинаковы, идет ли речь о религии, науке или мелких проблемах. Поэтому
нам представляется интересным построить изложение историко-научного материала в
терминах историко-религиозных. В этой главе предпринята попытка выявить исторические
этапы и методологические основания применения дифференциальных уравнений в экологии.
В результате показано, во-первых, что исторически этот процесс прошел три этапа в своем
развитии: этап «пророков», предрекавших успех такому применению и создавших модели,
59
которые впоследствии, впрочем, оказались неадекватными эмпирическим данным; этап
«апостолов», которые считали возможным (а может быть, просто «верили» в необходимость)
подогнать экспериментальные данные к модельному виду; этап «приходских
священников» — практиков, пытающихся извлечь практическую пользу в этой безнадежной,
с точки зрения физической парадигмы, ситуации. А во-вторых, и это главное, показано что
здесь нельзя говорить об адекватности модели в том смысле, в каком это слово понимает
образованный человек, воспитанный на физических примерах. Тем не мене идея применения
дифференциальных уравнений в экологическом моделировании привела, по нашему мнению,
к некоторому нетривиальному развитию экспериментальных исследований, результаты
которых, в свою очередь, стали теоретическими предпосылками подхода к ряду чисто
практических вопросов. Каким же образом математическая модель может быть практически
полезной, не будучи адекватной? В этом и состоит главный вопрос, который как нам
кажется, инициирован практикой создания и применения дифференциальных моделей в
экологии. Полезность при отсутствии адекватности довольно странна для
общераспространенной философии науки и никогда не рассматривалась в работах по
истории и методологии прикладной математики. Постараемся восполнить этот пробел.
4.2. «Пророки», «апостолы» и «приходские священники» в науке
Как в науке, так и в любой другой области человек не может действовать, не имея
некоторой общей модели ситуации, в которой он находится. В принципе, человек волен и
придумывать, и использовать любые модели некоторой ситуации, но не каждая модель имеет
шансы на дальнейшее существование. Во-первых, она должна быть полезной (необязательно
в практическом смысле). Во-вторых, модель не может оставаться собственностью одного
человека; она либо признается другими людьми, имеющими дело с аналогичной ситуацией,
либо отвергается ими, что, как правило, приводит впоследствии к отказу самого создателя
модели от своего «детища». Социальные механизмы признания научных моделей (новых
подходов в той или иной области научного познания), перехода от одних моделей к другим
более четко описаны в таких классических концепциях развития науки, как концепции
Т. Куна [39], И. Лакатоса [41], Л. Лаудана [94], С. Тулмина [69]. В этих концепциях
рассматривается иерархическое строение научного сообщества, обеспечивающее признание
приоритета в изобретении нового знания и сообщающее одним членам сообщества больший
по сравнению с другими авторитет; описывается становление эффективных
исследовательских стратегий и их сдвиг; вскрывается наличие неявного знания,
не эксплицированного в модельных описаниях, и т. д. Тем не менее, указанные классические
концепции развития науки не обращают достаточного внимания на следующие общие черты,
характеризующие возникновение и профессиональное признание новых научных подходов.
1. Новый подход берется непонятно откуда в том смысле, что не имеет достаточного
обоснования. Эту особенность возникновения новых подходов в науке можно назвать
«теологической»
16
или доктринальной: всякая доктрина появляется как откровение свыше, и
при изложении модели факты оказываются как бы ни при чем.
2. По мере развития области знания, а иногда и сразу, становится ясным, что
предлагаемый подход неточен и, быть может, даже неверен. В «классических» концепциях
развития науки считается, что научное сообщество этого не понимает. Тем самым научному
сообществу приписывается простодушие, хотя в действительности мотивы поведения членов
сообщества более сложны.
16
В том отрицательном смысле слова «теология» в каком оно употреблялось во времена русских разночинцев.
60