Ван Хорн Д., Вахович Д. Основы финансового менеджмента

Подождите немного. Документ загружается.

Глава 5. Риск и доходность 191

Риск (risk)

Изменчивость доходности в сравнении с ее ожидаемой величиной,

Использование распределения

вероятностей доходности для

измерения риска ценной бумаги

Как только что отмечалось, реальная доходность всех ценных бумаг, кроме

безрисковых, может отличаться от ожидаемой. Таким образом, реальную до-

ходность данных рискованных ценных бумаг можно рассматривать как слу-

чайную переменную, подчиняющуюся закону распределения вероятностей

(probability distribution). Например, вы считаете, что возможные величины

доходности от инвестирования в обыкновенную акцию сроком на год будут

выглядеть так, как это показано в затененной части табл. 5.1, где представлены

показатели доходности и соответствующее им распределение вероятностей их

наступления. Данное распределение вероятностей характеризуется следую-

щими двумя моментами.

1. Математическим ожиданием доходности (ожидаемой доходностью)

(expected return).

2. Стандартным отклонением доходности (standard deviation).

Распределение вероятностей (probability distribution)

Набор значений, которые может принимать случайная переменная, и вероятностей

соответствующих исходов.

Ожидаемая доходность и стандартное отклонение

Ожидаемая доходность (expected return) R :

R = ±(R,)(P

), (5.2)

;"=1

где R

—

i-я возможная доходность, P — ее вероятность, а п — общее число воз-

можных вариантов доходностей. Таким образом, ожидаемая доходность пред-

ставляет собой средневзвешенное значение возможных ее величин, причем ве-

совыми коэффициентами являются вероятности их наступления. В приведен-

ном в табл. 5.1 примере ожидаемая доходность составляет 9%.

Ожидаемая доходность (expected return)

Средневзвешенная величина возможных значений доходности, где весовыми коэф-

фициентами являются вероятности их наступления.

ДЛЯ завершения описания нашего распределения вероятностей с помощью

двух параметров необходимо определить разброс, или величину изменчиво-

сти, ожидаемой доходности. Обычно разброс величин измеряется стандарт-

192 Часть II. Оценка активов

ным отклонением (standard deviation). Чем больше стандартное отклонение

доходности, тем больше ее изменчивость и, следовательно, выше риск инве

стиции.

Стандартное отклонение а определяется математической формулой

о = ^(Ъ-Я№). (53)

Квадрат стандартного отклонения а

называют дисперсией (variance) рас

пределения доходности. Технически мы вначале рассчитываем именно ее как

средневзвешенное квадратов отклонений возможных величин доходности от

ожидаемой доходности, где весовыми коэффициентами являются вероятно

сти. Затем квадратный корень из полученной величины дает нам стандартное

отклонение. Из табл. 5.1 видно, что в нашем примере распределения доходно

стей дисперсия составляет 0,00703. Извлекаем корень квадратный из этой ве

личины и находим стандартное отклонение, которое равняется 8,38%.

Стандартное отклонение (standard deviation)

Статистическая мера изменчивости распределения значений величины относи

тельно среднего ожидаемого значения, Равна корню квадратному из дисперсии.

Таблица 5.1. Пример использования распределения вероятностей для

расчета ожидаемой доходности и ее стандартного отклонения (за год)

Возможная

доходность, /?,

Вероятность на

ступления, Р,

Расчет математического

ожидания доходности

(ожидаемой доходности)

<R,)(P,)

Расчет величины

дисперсии (о

)

0,10 0,05

0,005 (О,100,09)

(0,05)

0,02

0,10

0,002

(0,020,09)

(0,10)

0,04

0,20

0,008

(0,040,09)

(0,20)

0,09

0,30

0,027

(0,090,09)

(0,30)

0,14

0,20

0,028

(0,140,09)

(0,20)

0,20

0,10

0,020

(0,200,09)

(0,10)

0,28

0,05 0,014

(0,280,09)

(0,05)

1,00

Е = 0,090 = /?

£ = 0,00703 = ст

Стандартное отклонение = (0,00703)

а5

= 0,0838 = а

Практическое применение стандартного отклонения. До сих пор мы имели

дело с дискретным (discrete) (не непрерывным) распределением, где случайная

величина, как, например, доходность, может принимать лишь определенные

значения в некотором интервале. В таком случае для определения вероятности

наступления события нет необходимости рассчитывать стандартное отклоне

Глава 5. Риск и доходность

193

ние. Чтобы выяснить, какова вероятность того, что доходность в нашем примере

окажется меньше нуля, обратимся к затененной части табл. 5.1: она составляет:

0,05 + 0,10 = 15%. Процесс несколько усложняется для непрерывного

(continuous) распределения, где случайная величина может принимать любое

значение в данном интервале. А именно такое распределение более реалистично

описывает доходность обыкновенных акций, потому что для инвестора возмож-

ны любые ее величины: от больших убытков до значительной прибыли.

Предположим, что речь идет о нормальном (normal) (непрерывном) рас-

пределении вероятностей доходности. Его графическое представление имеет

форму симметричного колокола, при этом 68% площади под кривой прихо-

дится на отрезок, включающий одно стандартное отклонение вправо и одно

влево от ожидаемой величины доходности (ее математического ожидания),

95% — на отрезок с двумя стандартными отклонениями по обе стороны и бо-

лее 99% — на три. Выражая разность заданного значения доходности и мате-

матического ожидания в величинах стандартного отклонения, можно опреде-

лить вероятность того, что реальная доходность окажется больше или меньше

заданного значения.

Проиллюстрируем сказанное числовым примером. Пусть распределение

вероятностей приблизительно нормальное, ожидаемая доходность равна 9%, а

стандартное отклонение — 8,38%. Скажем, мы хотим рассчитать вероятность

того, что доходность окажется меньше нуля. Вначале определим, на сколько

стандартных отклонений значение доходности (0%) отстоит от среднего зна-

чения распределения (т.е. 9%). Для этого разность указанных значений, рав-

ную -9%, делим на величину стандартного отклонения. Получаем результат -

0,09/0,0838 = -1,07 стандартного отклонения. (Отрицательная (negative) ве-

личина напоминает, что мы рассматриваем значение слева (left) от среднего).

В общем случае используется формула

где R — граница рассматриваемого диапазона значений доходности, a Z (пока-

затель Z) говорит о том, на сколько стандартных отклонений R отстоит от

среднего значения.

Табл. V Приложения, помещенного в конце книги, следует пользоваться

для определения того, какую часть от целого составляет площадь под кривой

нормального распределения, если она отстоит влево или вправо от среднего

значения на Z стандартных отклонений. Эта часть и будет равна вероятности

того, что реальная доходность окажется отличающейся от ожидаемой доход-

ности на Z стандартных отклонений.

По этой же таблице находим, что вероятность того, что реальная доход-

ность окажется нулевой или меньше, равна 14%. Распределение вероятностей

изображено на рис. 5.1. Заштрихованная область, отстоящая на 1,07 стандарт-

ного отклонения влево от среднего значения, представляет приблизительно

14% всей площади распределения вероятностей.

Z =

R-R

(5.4)

0-0,09

0,0838

= -1,07,

194 Часть II. Оценка активов

Итак, стандартное отклонение в распределении вероятностей доходности —

весьма универсальная мера риска. Оно может служить абсолютной мерой из-

менчивости доходности: чем больше стандартное отклонение, тем более неопре-

деленно будущее развитие событий. Кроме того, с его помощью можно опреде-

лить вероятность того, что реальное значение доходности окажется больше или

меньше некоторого заданного нами. Однако мнения расходятся и в этом вопро-

се: существует такая точка зрения, что следует рассматривать только значения

доходности ниже ожидаемого значения ("downside" risk), а не риск того, что ко-

лебания доходности будут выше и ниже среднего значения. В этом есть свой

смысл. Тем не менее, если распределение вероятностей доходности относитель-

но симметрично, т.е. его части выше и ниже средней величины представляют со-

бой зеркальное отображение, можно смело использовать стандартное отклоне-

ние. Но чем оно значительнее, тем выше вероятность больших разочарований.

Рис. 5.1. Нормальное распределение вероятностей воз-

можных величин доходности. Рассмотренная в примере

заштрихованная область отстоит от среднего значения

на 1,07 стандартного отклонения влево

Коэффициент вариации

Стандартное отклонение может сослужить плохую службу при сравнении

рисков или неопределенностей, сопровождающих различающиеся размером

варианты инвестиций. Рассмотрим две инвестиционные возможности А и В,

для которых доходность за год подчиняется нормальному распределению со

следующими параметрами.

Инвестиция А

Инвестиция В

Ожидаемая доходность, R

0,08

0,24

Стандартное отклонение, а 0,06 0,08

Коэффициент вариации, CV

0,75 0,33

Глава 5. Риск и доходность 195

Стандартное отклонение в случае В больше, чем в случае А. Следует ли из это-

го заключить, что В — более рискованное капиталовложение? Если использовать

стандартное отклонение в качестве меры риска — да. Однако по сравнению с ожи-

даемым значением доходности величина ее отклонения дтя инвестиции А больше.

Аналогично ситуации, когда стандартное отклонение в 10 тыс. долл. для годового

дохода мультимиллионера значит намного меньше, чем 8000 долл. — для человека

с обычными доходами. Чтобы подогнать задачу под размеры величин или масшта-

бы, рассчитывают коэффициент вариации (CV) (coefficient of variation) как част-

ное стандартного отклонения и ожидаемой доходности:

Коэффициент вариации (С V) = а/ R. (5.5)

Коэффициент вариации (CV) (coefficient of variation)

Отношение стандартного отклонения распределения какой-либо величины к средне-

му значению этого распределения. Служит мерой относительного (relative) риска.

Таким образом, коэффициент вариации служит мерой относительной дис-

персии (риска) (relative dispersion (risk)), т.е. величиной риска, "приходяще-

гося на единицу ожидаемой доходности". Чем больше CV, тем больше относи-

тельный риск инвестиции. Используя в качестве меры этот показатель, при-

ходим к выводу, что инвестиция А с CV = 0,75 более рискованная, чем инве-

стиция В, для которой CV составляет лишь 0,33.

Отношение к риску

Представьте, вы спокойно читали себе свой любимый учебник по финан-

сам, как вдруг появилась гигантская воронка искажения временного про-

странства и вы оказались среди участников телеигры Сделка, правила которой

очень напоминают правила игры Поле чудес. Ведущий объясняет, что перед

вами две двери: за одной — 10 тыс. долл. наличными, а за другой... — б/у шина

с нулевой рыночной ценой. Вы вправе выбрать дверь и забрать то, что окажет-

ся за ней. Итак, подумав, вы решили открыть дверь № 1 и ... будь, что будет.

Но тут ведущий объявляет, что может предложить вам некоторую сумму де-

нег. Согласившись взять ее, вы отказываетесь от возможности выбрать одну

из дверей и забрать свой приз.

(Прежде чем читать дальше, решите для себя, при какой предложенной

сумме вам будет безразлично: открывать дверь и принимать оказавшийся за

ней приз или же взять деньги и отказаться от выбора. Иначе говоря, если ве-

дущий предложит на доллар больше какой-то задуманной вами суммы, вам

захочется взять деньги, а если на доллар меньше — соблазн попытать счастья

с отгадыванием двери победит. Запишите эту сумму на листке бумаги. Сейчас

мы попробуем спрогнозировать ее.)

Предположим, вы решили для себя: если ведущий предложит "откупные"

в размере 2999 долл. или меньше, вы откажетесь от них и будете отгадывать, за ка-

кой же дверью деньги. Сумма в 3000 долл. заставит вас колебаться, а 3001 долл.

или больше убедят вас не рисковать, а согласиться на "синицу в руке". Ведущий

предлагает вам 3500 долл., так что вы отказываетесь от возможного выигрыша

196 Часть II. Оценка активов

большей суммы. (Кстати, 10 тыс. долл. лежали за первой дверью, так что вы упус-

тили свой шанс.)

Итак, какое отношение все это имеет к теме риска и доходности? На самом

деле — прямое. Мы только что увидели пример того, что обычный, так назы-

ваемый средний инвестор стремится избежать риска. Давайте посмотрим по-

чему. В нашем примере решение открыть одну из дверей означало возмож-

ность получить 10 тыс. долл. или ничего при соотношении шансов 50 на 50.

Математическое ожидание исхода отгадывания двери равняется: 5000 долл.

(0,50 х 10 000 долл. + 0,50 х 0 долл.). Состояние безразличия, или индифферентно-

сти (indifferent), наблюдалось тогда, когда вы не могли уверенно выбрать ме-

жду "журавлем в небе" — рискованными (негарантированными) 5000 долл.,

и "синицей в руке" — гарантированным доходом в 3000 долл. Другими словам,

эта гарантированная сумма и является для вас безрисковым эквивалентом

(certainty equivalent — СЕ) выигрыша в рискованной игре, который обеспечи-

вает вам тот же уровень полезности и удовлетворения, что и негарантирован-

ный ожидаемый доход в 5000 долл.

Безрисковый эквивалент (certainty equivalent — СЕ)

Сумма денег, гарантированное получение которой в некоторый момент времени

порождает состояние индифферентности — невозможности сделать четкий выбор

между нею и негарантированным доходом, получение которого ожидается на тот

же момент времени.

Удивление вызвало бы совпадение вашего безрискового эквивалента с ис-

пользованной в примере суммой 3000 долл. Посмотрите на число, которое мы

попросили вас записать. Вероятно, оно не превышает 5000 долл. Исследования

показывают, что в рассмотренной ситуации для большинства людей безриско-

вый эквивалент оказывается меньше математического ожидания (т.е. меньше

5000 долл.). В принципе, отношение инвестора к риску можно определить по

соотношению между определенным им безрисковым эквивалентом и суммой,

ожидаемой (математического ожидания) от рискованной инвестиции. Если

• безрисковый эквивалент меньше ожидаемого значения, то у инвестора

наблюдается неприятие (risk aversion) риска;

• безрисковый эквивалент равен ожидаемому значению, то у инвестора

наблюдается индифферентность (risk indifference) к риску;

• безрисковый эквивалент больше ожидаемого значения, то у инвестора

наблюдается предпочтение (risk preference) риска.

Таким образом, в нашем примере с телеигрой Сделка безрисковый эквива-

лент, установленный на уровне ниже 5000 долл., свидетельствует о неприятии

риска ее участником. Для избегающих риска инвесторов разница между безрис-

ковым эквивалентом и ожидаемой величиной дохода составляет премию за риск

(risk premium), т.е. дополнительный доход, который должен быть получен в ре-

зультате рискованной инвестиции, чтобы инвестор согласился вложить свои

средства. Отметим, что в приведенном выше примере математическое ожидание

рискованного предложения должно было на 2000 долл. или больше превысить

гарантированный доход в 3000 долл., чтобы вы согласились принять его.

Глава 5. Риск и доходность 197

В этой книге мы примем сторону широко распространенного мнения о том,

что

инвесторы

большинстве своем

не

приемлют риска,

т.е.

являются осто-

рожными, избегающими риска (risk

averse)

инвесторами.

Это

означает,

что

рискованные инвестиции должны сулить большую доходность, чем менее

рискованные, — только тогда инвесторы могут согласиться на них. (Не забы-

вайте, однако, что мы говорим об ожидаемой (expected) доходности; реальная

(actual) доходность рискованной инвестиции вполне может оказаться намного

меньше, чем реальная (actual) доходность менее рискованной альтернативы.)

Выбирая меньший риск, придется согласиться на инвестицию с более низкой

ожидаемой доходностью. Короче говоря, когда речь заходит об инвестициях,

на бесплатный обед рассчитывать не приходится. А к сообщениям о высокой

доходности инвестиций с низким риском следует относится со скептицизмом.

Неприятие риска (risk averse)

Термин, характеризующий поведение инвестора, ожидающего, что чем выше до-

ходность от его инвестиций, тем больше их риск.

Риск и доходность в управлении

инвестиционным портфелем

До сих пор мы рассматривали риск и доходность единичных, обособленных

инвестиций. Однако на практике инвесторы редко вкладывают все свои сред-

ства

какой-то один актив

или

проект.

На

самом деле создается инвестицион-

ный портфель (portfolio). Следовательно,

и нам

необходимо проанализиро-

вать риск и доходность применительно к портфелю.

Инвестиционный портфель (portfolio)

Комбинация двух и более ценных бумаг или активов.

Доходность портфеля

Ожидаемая доходность инвестиционного портфеля представляет собой

взвешенное среднее значений ожидаемых доходностей составляющих его

ценных бумаг. Каждый весовой коэффициент равен той части, которую фор-

мируют от общей суммы средства, вложенные в данную ценную бумагу

(сумма всех весовых коэффициентов должна равняться 100). Ожидаемую до-

ходность портфеля Р

рассчитывают по формуле

(5.6)

где Wj равно весу, или части от общего объема средств, инвестированной в

ценную бумагу у, Р» — ожидаемая доходность ценной бумаги j; т — общее

число ценных бумаг в данном портфеле.

Пусть имеется два вида ценных бумаг. Их ожидаемая доходность и стан-

дартное отклонение приведены в следующей таблице.

198 Часть II. Оценка активов

Ценная бумага А (%) Ценная бумага В (%)

Ожидаемая доходность, /?,

14,0

11,5

Стандартное отклонение, а

;

10,7

1,5

ЕСЛИ ВЛОЖИТЬ в них равные суммы средств, то ожидаемая доходность ин-

вестиционного портфеля составит: (0,5) 14,0% + (0,5) 11,5% = 12,75%.

Риск портфеля и значение ковариации

В то время как ожидаемая доходность портфеля представляет собой про-

стое средневзвешенное доходности отдельных его составляющих, стандартное

отклонение доходности портфеля не равно взвешенному среднему стандарт-

ных отклонений отдельных ценных бумаг. Расчет стандартного отклонения

портфеля как простого средневзвешенного составляющих означал бы игнори-

рование взаимосвязи, или ковариации (covariance), доходностей ценных бу-

маг. В то же время ковариация не оказывает влияния на величину ожидаемой

доходности портфеля.

Ковариация (covariance)

Статистический показатель, определяющий степень связи, существующей между

двумя переменными (например, значениями доходностей ценных бумаг). Положи-

тельная ковариация свидетельствует о том, что в среднем изменение этих двух пе-

ременных происходит в одном направлении.

Ковариация — статистический показатель, определяющий степень связи,

существующей между двумя переменными (например, доходностями ценных

бумаг). Положительная ковариация свидетельствует о том, что в среднем из-

менение этих двух переменных происходит в одном направлении, а отрица-

тельная — в противоположном. Нулевое значение ковариации говорит о том,

что переменные не связаны между собой и не проявляют тенденции к совме-

стному изменению: будь то в одном или в разных направлениях. Наличие ко-

вариации доходностей ценных бумаг усложняет расчет стандартного отклоне-

ния для всего портфеля. Однако в темных дебрях сложных математических

расчетов есть и положительная сторона — существующая между ценными бу-

магами ковариация позволяет устранить некоторую часть риска, не снижая

при этом потенциальной доходности.

Итак, расчет стандартного отклонения портфеля а

сложен и требует ил-

люстрации

. Этому будет посвящено приложение А в конце этой главы. Вы

увидите, что для большого портфеля стандартное отклонение зависит в ос-

Стандартное отклонение распределения вероятностей возможных величин доходности,

обеспечиваемых инвестиционным портфелем, а

рассчитывается по формуле:

где m — общее количество различных ценных бумаг в портфеле, — доля, инвестированная

в ценную бумагу j, W

— доля, инвестированная в ценную бумагу к, и a

—

ковариация воз-

можных доходностей ценных бумаг j и к.

Глава 5. Риск и доходность 199

новном от "взвешенных" значений ковариации ценных бумаг. "Весовые коэф-

фициенты" соответствуют доли средств, инвестированной в ту или иную цен-

ную бумагу, а ковариации определяются для каждой пары ценных бумаг, ко-

торые составляют портфель.

Понимание принципа расчета стандартного отклонения доходности порт-

феля приводит нас к удивительному выводу. Рискованность портфеля зави-

сит не столько от рискованности (стандартного отклонения доходности) от-

дельных ценных бумаг, сколько от ковариации попарных их комбинаций. Это

значит, что сочетание рискованных по отдельности ценных бумаг может

представлять собой портфель со средним и даже малым риском, если доход-

ности ценных бумаг не "связаны жестко" между собой. В целом, низкая кова-

риация обеспечивает низкий уровень риска всего портфеля.

Диверсификация

Концепция диверсификации опирается на здравый смысл. Ее главный

принцип отражен пословицей: "Нельзя класть все яйца в одну корзину". Идея

состоит в том, чтобы распределить риск среди множества активов или инве-

стиций. Хотя направление в целом правильное, это примитивное толкование

диверсификации. Следуя ему, можно прийти к выводу, что вложение 10 тыс.

долл. равными частями в 10 разных ценных бумаг обеспечит большую дивер-

сификацию, чем инвестирование той же суммы в пять ценных бумаг.

"Ловушка" в том, что примитивная диверсификация игнорирует ковариацию

(или корреляцию) между доходностями ценных бумаг. Упомянутые 10 цен-

ных бумаг могут быть акциями предприятий одной отрасли, поэтому их дохо-

ды будут сильно коррелированы между собой. В то же время пять акций в

другом портфеле могут быть выпущены предприятиями различных отраслей,

и корреляция их доходностей окажется малой, что обеспечит низкую измен-

чивость дохода всего портфеля.

Разумную диверсификацию или такое сочетание ценных бумаг, которое

снизит риск, иллюстрирует рис. 5.2. Доходность ценной бумаги А циклически

изменяется во времени, как и состояние экономики в целом. Однако доход-

ность инвестиции В изменяется в противофазе. Таким образом, их доходности

характеризуются отрицательной корреляцией. Если вложить равные суммы

в эти ценные бумаги, дисперсия доходности портфеля а

уменьшится благо-

даря взаимной компенсации изменений дохода отдельных инвестиций. Ди-

версификация приносит выгоду в виде снижения риска, если корреляция цен-

ных бумаг не является полностью положительной.

Инвестирование на мировых финансовых рынках также обеспечивает

большую диверсификацию, чем вложение средств в ценные бумаги одной

страны. В главе 24 мы поговорим о том, что экономические циклы разных

стран неодинаковы, поэтому более сильная экономика одних стран послужит

противовесом временным сложностям в других. Кроме того, свой вклад в ди-

версификацию вносит риск, связанный с обменом валют, и другие перечис-

ленные в главе 24 риски.

200 Часть II. Оценка активов

Ценная бумага А

Систематический и несистематический риск

Мы говорили о том, что сочетание ценных бумаг, для которых корреляция

не является полностью положительной, помогает снизить риск всего портфе-

ля. Но насколько же может уменьшиться риск на практике? Какое количество

различных ценных бумаг следует иметь в одном портфеле? Рис. 5.3 поможет

ответить на эти вопросы.

В ходе исследований мы пытались понять, что же происходит с риском

портфеля при добавлении в него выбранных случайным образом ценных бу-

маг. Портфель формируется таким образом, что весовые коэффициенты его

составляющих одинаковы. Пока у нас есть акции только одной компании,

риск портфеля представляет собой стандартное отклонение доходности этих

акций. При добавлении случайно выбранных акций риск портфеля в целом

снижается. Однако скорость такого снижения постепенно уменьшается. По-

этому значительного сокращения риска портфеля удается достигнуть при

весьма умеренной диверсификации, скажем, с 15-20 произвольно выбранны-

ми акциями, которым соответствуют равные суммы инвестиций. Схематиче-

ски это отображено на рис. 5.3.

Как видно из рисунка, риск портфеля имеет две составляющие.

Систематический риск

Общий риск =

(недиверсифицируемый или

неизбежный)

Несистематический риск

(диверсифцируемый или

такой,

которого можно избежать)

(5.7)

Первая часть — систематический риск (systematic risk) — обусловлена

факторами, влияющими на весь рынок в целом, такими как изменения в на-

циональной экономике, проводимая Конгрессом США налоговая реформа

или изменение ситуации в энергетической отрасли в мире. Эти риски влияют

на все ценные бумаги, поэтому их нельзя преодолеть диверсификацией. Дру-

гими словами, такому типу риска будет подвержен даже инвестор, распола-

гающий хорошо диверсифицированным портфелем.

Систематический риск (systematic risk)

Изменчивость доходности акций или инвестиционных портфелей, связанная с изме-

нением доходности рынка в целом.