233
поведение системы, к системе из n дифференциальных уравнений первого порядка. Запи-
сав эти уравнения в компактной матричной форме, получаем математическую модель сис-
темы в переменных состояниях, которая вполне приемлема для компьютерного анализа.
Именно последнее обстоятельство и делает целесообразным описание динамических сис-
тем в переменных состояния во временной области.
C
Проиллюстрируем понятие переменных со-
стояния на примере электрической цепи, питаю-
щейся от источника тока i, приведенной на
рис.1.2.Заметим, что этот ток является входным
воздействием х(t).
Состояние рассматриваемой системы можно полностью охарактеризовать двумя
переменными
ν
1
и
ν
2
, где
ν
1
- напряжение u
с
на конденсаторе С;
ν
2
– ток i
L
в катушке ин-
дуктивности L. Выбор этих переменных произведен исходя из того, что общая энергия Е в
цепи RLC зависит именно от них:
)(5,0
22
cL
СuLiE +=
Таким образом, переменные
ν
1
(t)= u
с
(t) и
ν
2
(t)= i
L
(t) несут информацию о полной
энергии электрической цепи и, следовательно, о состоянии системы в текущий момент
времени t. Подчеркнем, что число переменных состояния равно числу независимых эле-
ментов системы, накапливающих энергию: в элементе L накапливается магнитная энер-
гия, а в элементе С – электрическая.
Используя законы Кирхгофа, можно записать:
i
c
+i
L
=i;
LR c
uu u
= или
ii
dt
du
С
L
c
=+ ; (1.12)
L
Rc
di
Luu
dt
= . (1.13)
Здесь u
R
=Ri
L
– выходная переменная системы y(t); R – выходное сопротивление.
Запишем уравнение (1.12) и (1.13) относительно переменных состояния
ν
1
=
c
u и
ν
2:
= i
L
, и учтем, что u
R
=Ri
L
= :
2
R
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
−=
+−=
.
1
,
11
21
2
2
1
νν
ν
ν
ν
L
R
Ldt
d
i
CCdt
d
(1.14)
Решение полученной системы дифференциальных уравнений первого порядка при
известных начальных условиях
ν
1
(t
0
) и
ν
2
(t
0
), характеризующих энергетическое состояние