Волькенштейн М.В. Общая биофизика

Подождите немного. Документ загружается.

8.7. АВТОКОЛЕБАНИЯ В

ФЕРМЕНТАТИВНЫХ

РЕАКЦИЯХ

441

Глюяаза

Глжозо-б-фосфтп

ключевой реакции от концентрации

субстрата.

Основная нели-

нейность возникает в

результате

совокупности механизмов, дей-

ствующих

независимо

друг

от

друга.

Примером типичного био-

химического нелинейного про-

цесса

служат

ферментативные

реакции,

ингибируемые избыт-

ком

субстрата

или кофермен-

та, например, реакции с уча-

стием биосинтетических

дегид-

рогеназ, ингибируемые НАДФ-

Такую реакцию можно

представить схемой, показан-

ной

на рис. 8.31. Реакция

+ Y' —* Х' + Y,

катализируемая ферментом Е,

ингибируется активной фор-

мой кофермента Y'. Скорость

v конверсии Х->Х' в стацио-

нарных условиях можно выра-

зить приближенной формулой

VXY'

Диаш-

аце/ло//-

Фруктозй'-ff-фосфшп

I^J—

ЛТФ

| ^ АДФ

Фру/гтозо^З-Зифаефат

НАД, Ф

НАД-Н

J-

v =

Y'{\

(8.89)

где V — величина, имеющая

размерность скорости, пропор-

циональная концентрации фер-

мента. Скорость поступления

субстрата

скорость регене-

рации

кофермента из неактив-

ной

формы v

и скорость ис-

пользования кофермента и

представим формулами

г-,

НАД-Н

Лируеат

НАД

Vi = v

— k

= k

Y';

J7a/rmam

З/ланол

(мышца)

(фжжи>

(8.90)

Рис. 8.29.

Упрощенная

схема

гли-

колиза.

Ск,

(

— шести- и трехуглеродные соедине-

ния,

—

—реакции,

определяющие

кипе-

тику

процесса в целом.

здесь X, Y, Y' — концентрации, v

— максимальная скорость

реакции X

-*•

X', К\, Л^, Кг — константы, у — порядок ингибиро-

вания

фермента коферментом Y'. У + Y' = Y

— постоянная ве-

личина и имеется большой избыток X и Y', т.е. Х/Е, Y'/E 3> 1.

442

ГЛ.

НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

Введем безразмерные переменные

VX , У VI

/ /

: Т

V QI\

'о А1

^ 1 * 771 17 / t, I

' О

Кинетические уравнения имеют вид

= б-у -v,

где

(8.91)

(8.92)

v = •

Квазистационарная скорость реакции v определяется из урав-

нения

*= , .,5. ..„w

(8.93)

; + /7' (1 + av'

) '

где у' = 6 — v — квазистационарная концентрация кофермента.

0,5 1,0

1,5

2,0

2,5

t, час

Рис.

8.30. Колебания концентрации НАД-Н в экстракте дрожжей.

Из

этих значений v и у' находим концентрацию субстрата

(8.94)

Выходные характеристики системы, т. е. значения х, нахо-

дятся из уравнения

(8.94)

путем подстановки значений v, удо-

влетворяющих условию 0 < х <С

< б. Область существования S-

образной нелинейности ограни-

чена значениями параметров,

при

которых два экстремума х

Рис.

8.31. Реакция с субстратным сливаются, образуя^ точку пере-

Y':

VV,

ингибированием.

ру^ у р

гиба

- Д

ля

которой

dx/dv

= 0.

Если такая нелинейность имеет

место, то возникает ряд специфических явлений, в частности,

множественные стационарные состояния, их неустойчивость, ги-

стерезисный характер зависимости v от параметров системы и

8.7.

АВТОКОЛЕБАНИЯ

ФЕРМЕНТАТИВНЫХ РЕАКЦИЯХ 443

скачкообразные переходы

между

стационарными состояниями

(ср.

[7]). Возникает также возможность генерации импульса

реакции в ответ на надпороговое возмущение параметров. На-

конец,

возможны автоколебательные состояния. На рис. 8.32

показаны

три стационарных состояния, отвечающих пересече-

нию S-образной входной характеристики v(x) с прямой vi =

— $х. На рис. 8.33 показаны устойчивый и неустойчивый

предельные циклы, окружающие неустойчивые стационарные

состояния.

Рис.

8.32. Несколько ста-

ционарных состояний,

возникающих вследствие

нелинейности входной

характеристики.

Рис.

8.33. Устойчивый (с

) и

неустойчивый (С~) предельные

циклы.

/, 2,

3 — стационарные состояния.

а=100,

0,08,

= 3,6 =

0,9, £

0,01,

Сельков отмечает, что распространенное мнение о малых

временных постоянных автоколебательных биохимических про-

цессов ошибочно. Периоды колебаний порядка суток и больше

возможны, например, если

субстрат

X может обратимо перехо-

дить в неактивную форму [81]. Соответствующий расчет приве-

ден в [79].

Можно показать, что

существует

неограниченное разнообра-

зие биохимических механизмов, подобных рассмотренной реак-

ции

и, тем самым, обладающих такой же нелинейностью. Такие

модели рассмотрены в [79] (см. также [19]). Различные

меха-

низмы

могут

взаимодействовать

друг

с другом. Нелинейные си-

стемы являются регуляторными. Факторы, прямо или косвенно

влияющие на стационарные состояния или воздействующие на

основные нелинейности биохимических реакций, определяют их

динамическое поведение. Даже малое изменение поступления

субстрата может, например, привести к исчезновению автоколе-

бательного режима и к исчезновению альтернативных стацио-

нарных состояний. Таким образом, основная нелинейность под-

лежит строгому контролю.

Реакция

гликолиза является ярким примером нелинейного

биохимического процесса. Рассмотрим ее подробно, следуя за

444 ГЛ. 8.

НЕЛИНЕЙНЫЕ

ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

изложением в [18], основанным на работах Селькова (в част-

ности,

[82]) и Хиггинса [63]. Обратимся к схеме, показанной на

рис.

8.29. Кинетика процесса в целом определяется несколькими

«узкими местами», обозначенными на

схеме

цифрами. Обозна-

чим через у

скорость реакции /, катализируемой ферментом

гексокиназой

(ГК). Реакция Cg

+=±

Cg' быстрая и обратимая,

поэтому

будем

считать, что концентрации этих веществ пропор-

циональны

друг

другу

— устанавливается квазиравновесие. Кон-

центрация

X одного из веществ Cg, Cg' возрастает со скоростью

убывает

за счет реакции 2, катализируемой фосфофрукто-

киназой

(ФФК).

Далее, вплоть до реакции 3, протекает не-

сколько

быстрых обратимых реакций и, следовательно, концен-

трации

промежуточных веществ пропорциональны

друг

другу.

Обозначим одну из этих концентраций через У. ФФК активи-

руется продуктами своей реакции, т. е. веществом Y. Поэтому

увеличение У за счет реакции 2 зависит как от X, так и от У.

Скорость возрастания У равна скорости убыли X. В реакции 3,

катализируемой пируваткиназои (ПК), У убывает. Получаем ки-

нетические уравнения [63]

Х-г, k

Х Y

В работе Селькова [82] вместо множителя Y/(KY + У) фигури-

рует

/(/Су

+ У

), т.е. вводится более высокий порядок акти-

вации

ФФК, что обосновывается биохимически. Однако уже

простая система

(8.95)

характеризуется интересующей нас не-

линейностью,

и результаты расчетов в работах [63] и [82] сходны

друг

с другом. Более того, автоколебательный режим полу-

чается и при дальнейшем упрощении, если принять, что Кх ^ X,

/СУ

^> У. Получаем систему

-k[XY,

)

у Г

(8.96)

— ь'ХУ — k I

подобную системе Лотка (см. стр. 440). Здесь k[ =

k^K

—

kJK. Очевидно, что v

пропорционально содержанию ГК,

k\ — содержанию ФФК и k'

— содержанию ПК-

Стационарные

концентрации X и У равны

, - v

/K ' к

8.7. АВТОКОЛЕБАНИЯ В ФЕРМЕНТАТИВНЫХ РЕАКЦИЯХ

445

Введем безразмерные переменные

х Y t

- v

-t.

Тогда

(8.96)

примет вид

dx ,

Чх—

У'

(8.97)

где

(k'

-v

/K)

- v

Фазовый

портрет системы на плоскости х, у и главные изоклины

показаны

на рис. 8.34. Изоклина вертикальных касательных

(/) —гипербола у = хг\ горизонталь-

ных касательных (//) — гипербола

х = (1 -f- r)/{\ -\- гу) и

прямая

у = 0.

Линеаризуя уравнения (8.97), опреде-

ляем характер особой точки О. Корни

характеристического уравнения равны

Л] о = — "

_^1

TT7

1+г

\+г

Рис.

8.34. Фазовый портрет

колебаний

при гликолизе.

/, // — изоклины.

При

4а/(1 + г) >(\ - аг/(1 + г))

точка О есть фокус. Если аг/(1 + г)<0,

фокус устойчив, если аг/(1 + г) > 0,

фокус неустойчив и вокруг него воз-

никает

предельный цикл. При аг/(1 + г) = 1 происходит бифур-

кация.

Вблизи этой точки, если \аг/(\-\-г)—1|<С1, частота

колебаний

равна мнимой части корня характеристического

уравнения,

т. е.

со:

(8.98)

Таким

образом, при определенных условиях система

(8.96)

дей-

ствительно

дает

автоколебания. Увеличение параметра а спо-

собствует

их нарастанию, уменьшение а — затуханию. Из вы-

ражения

для а

следует,

что уменьшение k\ и скорости притока

должно вызывать самовозбуждение колебаний. К тому же

результату

должно приводить увеличение k'

, т. е. добавка ПК-

Это согласуется с опытом.

446

ГЛ. 8.

НЕЛИНЕЙНЫЕ

ДИНАМИЧЕСКИЕ

ПРОЦЕССЫ

§ 8.8. АВТОКОЛЕБАНИЯ

ПРИ

ФОТОСИНТЕЗЕ

Периодические процессы непосредственно проявляются

в фи-

зиологии

как

животных,

так и

растительных организмов. Речь

идет

прежде всего

процессах, связанных

вращением Земли

вокруг

ее оси, со

сменой

дня и

ночи, таких, например,

как че-

редование

сна и

бодрствования.

связи

этим было введено

понятие

биологических часов [66].

Хальберг

назвал

циркадными

ритмами

биологические колебания

периодом, близким

суточ-

ному

[83].

Питтендрай перечисляет характерные особенности

циркадных ритмов

статье

[84].

Циркадные ритмы повсеместны

в живой природе

имеют эндогенный

врожденный характер.

Физическая

причина циркадных ритмов лежит

автоколебатель-

ных процессах, периоды

их

практически независимы

от

темпе-

ратуры

и от

химических возмущений.

Они

автономны

на

клеточ-

ном

организменном уровне.

Наряду

циркадными, суточными, ритмами периодических

изменений

состояния всего организма

живой природе наблю-

дается

ряд

колебательных явлений

другой

периодичностью,

которые также

следует

отнести

категории биологических

ча-

сов. Рассмотрим

качестве примера колебания интенсивности

фотосинтеза. Ясно,

что

фотосинтез непосредственно связан

с ос-

вещенностью. Скорости поглощения

СО

выделения

зеле-

ными

растениями также периодичны. По-видимому, периодич-

ность, определяемая эндогенным ритмом, свойственна темновому

циклу Кальвина

(см. стр. 360), так как

реакции светового цикла

протекают очень быстро

— за

доли секунд. По-видимому, ритм,

связанный

темновым циклом, характеризуется периодом,

су-

щественно меньшим суток. Однако этот ритм хорошо синхро-

низуется

периодической освещенностью.

Очевидно,

что

непосредственно наблюдаемый ритм фотосин-

теза должен определяться периодическими биохимическими

про-

цессами темнового цикла.

Мы

видели,

что

периоды колебаний

ферментативной активности

могут

быть

весьма длительными.

Теоретическая модель колебаний

темновых реакциях фотосин-

теза разработана Чернавским

и его

сотрудниками

[18,

85—87].

В цикле Кальвина

участвуют

трехуглеродные,

пятиуглерод-

ные

шестиуглеродные соединения

(см. рис.

7.18).

Написание

всех

кинетических уравнений

для

цикла приводит

системе,

слишком сложной

для

исследования.

Как

справедливо указы-

вается

в [18],

целесообразно максимальное упрощение системы,

сохраняющее, однако,

ее

основные качественные особенности.

Кинетика

процесса лимитируется медленными стадиями, быст-

рые обратимые стадии

могут

рассматриваться

как

равновесные.

Поэтому

следует

ограничиться рассмотрением лимитирующих

стадий.

сущности, такая процедура

уже

применялась

при ана-

5 8.8. АВТОКОЛЕБАНИЯ ПРИ ФОТОСИНТЕЗЕ 447

лизе ферментативных реакций в §§ 8.6, 8.7. Упрощение систем

кинетических уравнений проводится на строгих математических

основаниях.

Рассмотрим их вкратце (ср. [18]).

Имеем

исходную систему типа

F,(x

x.,,

..., x

), t = l, 2 .V. (8.6)

Допустим, что после ряда преобразований и выбора соответ-

ствующих масштабов удается расположить эту систему по сте-

пеням

малого параметра е при производной

,...,x

t=l,2,

...,/, ]

ex,

F,{x

...,x

/ =

/+l,

..., l +

(8.99)

= Fk {xi, ...,

k = / -f m + 1, ..., N.)

Коэффициенты

и е определяют скорости изменений перемен-

ных х. В самом деле, систему

(8.99)

можно переписать в виде

— F

, x

= — F

, x

= — F

где ti = е

, Т2 = е, тз = 1, т. е. х\ <С т

< т

. Если существенно

поведение системы как на малых отрезках времени порядка Ть

так

и на больших порядка тз, то приходится изучать систему

целом. В

других

случаях ситуация

иная.

Так, е-сли важны яв-

ления,

происходящие за средние времена порядка тг, то система

упрощается. В самом деле, за эти времена «медленные» пере-

менные

хи не успевают измениться, и можно заменить их на-

чальными, постоянными значениями. Напротив,

«быстрые»

пе-

ременные Xi успевают достичь своих стационарных значений,

если таковые

существуют.

Значит, переменные x

можно заме-

нить

их стационарными значениями. Таким образом, из N урав-

нений

остаются лишь т уравнений.

Математическое обоснование процедуры связано с так на-

зываемой теоремой Тихонова (см. [18, 113, 114]).

Вернемся к фотосинтезу. Чернавский и сотрудники ограни-

чились здесь исследованием всего лишь

двух

кинетических урав-

нений,

в которых в качестве независимых переменных фигури-

руют

концентрации

трехуглеродных

и шестиуглеродных соеди-

нений

, С

. Остальные переменные выражаются алгебраически

через С

, С

. Так как в цикле Кальвина протекают в основном

бимолекулярные реакции, кинетика выражается уравнениями

второго порядка

448 ГЛ. Я.

НЕЛИНЕЙНЫЕ

ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

В первом уравнении а

= 0 — концентрация триоз С

не изме-

няется в результате взаимодействия

двух

гексоз. Увеличение С

может осуществляться лишь за счет соединения

двух

молекул

. Следовательно, Pi > 0, р

, р

< 0. Увеличение содержания

триоз происходит в более сложном процессе, в котором уча-

ствуют

как сами триозы, так и гексозы Сб. Можно положить

ai > 0, a

< 0. Мы получаем уравнения

•

3 2 3 6

(8.101)

где все коэффициенты а,-, Р; > 0.

Находим изоклины и стационарные состояния, отвечающие

£з = £б = 0. Обе изоклины представляют собой прямые линии,

проходящие через начало координат, их уравнения С

= а^Сз

где П\ и а

удовлетворяют условиям cti — a

ai = 0

р, — Р

а., — р

а| = 0. Имеется лишь одно стационарное состоя-

ние

С° = С° = 0 при ai Ф а

или бесконечное множество таких

состояний при п\ — о

. Первый случай соответствует отсутствию

фотосинтеза, второй — безразлично неустойчивым состояниям

равновесия. Предельных циклов нет, нет и колебаний. Следо-

вательно, система

(8.101)

недостаточна, модель

требует

до-

стройки. Чернявский вводит в первое уравнение добавочный по-

стоянный

член а

> 0, описывающий скорость притока С

, воз-

никающего в

других

процессах, отличных от цикла Кальвина

(гликолиз, дыхание). Такой приток служит инициатором цикла.

Необходимость пускового механизма характерна для автоката-

лиза. Итак,

(8.102)

Исследуем эту систему уравнений. Перейдем к переменным

Х =

/С°,

Y =

/C°

где С°, С° — стационарные значения С.,,

, получаемые из условий С

= C

= 0. Имеем

X = ctiA — ctoXY

(8.103)

, )

^Y\ J

где a^a.q, a

= a

q, a

= a

/q, p, = p,C®-/Cg, P

= P

Co,

= p

C°. R стационарном состоянии Х = У = 1, Х =

= 0. Сле-

довательно,

cti — a

+ йп = 0, ")

. - . }•

(8.104)

Pl-p2-P

= 0. )

8.8. АВТОКОЛЕБАНИЯ ПРИ ФОТОСИНТЕЗЕ

449

Далее опустим

черту

над буквами

а* и

Р;.

стационарном

ре-

жиме коэффициент

представляет количество гексозы, обра-

зующейся

единицу времени

из

триозы, р

— количество гек-

созы,

уходящее

из

цикла Кальвина

образующее крахмал,

Рз

— количество гексозы, возвращающееся

цикл.

Для

ухода

одной

молекулы гексозы нужно шесть оборотов цикла, так как

цикле усваивается одна молекула СО

. Поэтому

Рз/6.

Следовательно,

6Pi/7,

Pi/7.

другой

стороны, ао <С

<С

аь а.

Имеем, вводя безразмерное время

т =

t/x'

= ait,

Линеаризуем систему, рассматривая

ее

вблизи стационарного

состояния,

т. е. считая

X=l+x,

Y=\+y, х, 0«1.

Получаем

из

системы (8.105), исключив

помощью первого

соотношения

(8.104),

(8.106)

—

в{х-у),

где

у =

ao/oti,

e =

Pi/ai. Ищем решения

виде

= х

ехр

Хх,

у = у

ехр Хх.

Находим корни характеристического уравнения

Я-1.2

- *М ±

[74(1

е)

eY]'

(8.107)

Стационарное

состояние

х = у = 0

устойчиво, если действи-

тельная часть X отрицательна, т. е. если

неустойчиво

противоположном случае.

Переход

неустойчивому режиму происходит

при

/8(1—у)

0,87 (так как

у<

1). При увеличении

такой

переход оказывается возможным.

Мнимая

часть

(8.107)

определяет колебания. Их период (без-

размерный) равен

„ 2я

450

где

ГЛ.

НЕЛИНЕЙНЫЕ

ДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ

При

переходе

неустойчивому режиму, когда

= 0,

имеем

Поведение системы исследуется обычным методом фазовых

диа-

грамм. Положим

для

конкретности

у « 1/20 и е « 2/3.

Тогда

условие неустойчивости соблюдает-

ся,

так как

Интегральные кривые представля-

ются уравнением

hoxy

+ '/го

(8.108)

Рис.

8.35. Фазовый портрет для

модели фотосинтеза [84].

и Я

— линии параллельных

и пер-

пендикулярных изоклин, /// — пре-

дельный цикл.

Ф(ДГ

1) — устой-

чивый фокус.

На рис. 8.35

показан фазовый порт-

рет системы уравнений

(8.106)

при

указанных значениях

у и е.

Систе-

ма является автоколебательной,

периодически изменяются

одинаковой

фазой. Численное

или

графическое определение периода

колебаний

и С

показывает,

что он

примерно

на два

порядка

больше характеристического времени

т'~а~'.

Это

время

оце-

нивается

в 5—10 мин,

период

порядка нескольких часов

или

суток. Колебания ангармоничны: система проводит боль-

шую часть времени

области малых значений концентраций

и С

Машинные

расчеты показывают,

что

система синхронизуется

внешним

периодическим воздействием (освещенность).

При пе-

реходе

от

одного режима

другому

фаза устанавливается

мед-

ленно.

Более подробное исследование системы уравнений

(8.106)

выполнено

работе

[87] (см.

также [18]).

Очевидно,

что

приведенное рассмотрение максимально упро-

щенно

и не

позволяет

еще

сделать какие-либо количественные

выводы. Однако упрощенный

подход

раскрывает физический

смысл автоколебаний

при

фотосинтезе

показывает,

как они

могут

синхронизоваться суточным ритмом.