Киев: Наукова думка. 1969. 253с.
Монография посвящена изложению ряда новых результатов нелинейной механики, полученных с помощью модернизированного Η. Н. Боголюбовым метода последовательных замен переменных, обеспечивающего ускоренную сходимость. Метод последовательных замен, предложенный еще в 1934 г. Η. М. Крыловым и Η. Н. Боголюбовым, явился эффективным аппаратом для решения многих интересных задач нелинейной механики. В частности, этим методом решена задача о существовании квазипериодиче-ского режима с двумя основными частотами в нелинейных колебательных системах. Однако получаемые приближенные решения в общем случае содержали расходящиеся ряды. В последнее время в связи с появлением работ А. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда Η. Н. Боголюбов модернизировал метод последовательных замен, в результате чего обеспечивается сходимость соответствующих разложений. Книга состоит из краткого введения и семи глав. В первой главе излагаются результаты, полученные Η. Н. Боголюбовым в 1963 г. в области развития метода последовательных замен и исследования квазипериодических решений в применении к неконсервативным системам (выясняется зависимость этих решений от параметра, указываются способы получения для них асимптотических и сходящихся рядов и т. д.). Вторая глава посвящена изложению результатов, полученных Ю. А. Митропольским. В ней с помощью метода последовательных замен построено общее решение системы нелинейных уравнений, исследовано поведение этого решения в окрестности квазипериодического решения (устойчивость, притяжение к частному квазипериодическому решению и т. д.). Для нелинейной системы уравнений решается вопрос о приводимости нелинейной системы к линейной с постоянными коэффициентами. Третья глава реферативная. В ней излагается техника сглаживания функций, дающая возможность перенести ряд результатов, полученных в первых двух главах для систем дифференциальных уравнений с аналитическими правыми частями, на системы с дифференцируемыми правыми частями. В четвертой главе содержатся результаты, принадлежащие Ю. А. Митропольскому и А. М. Самойленко в области исследования поведения траекторий на n-мерном торе в случае, если тор не аналитический, что имеет место в ряде задач нелинейной механики. Глава пятая посвящена исследованию приводимости линейных систем с квазипериодическими коэффициентами. В ней приведены результаты, полученные совместно Ю. А. Митропольским и А. М. Самойленко и относящиеся к построению и исследованию фундаментальной матрицы линейных систем с квазипериодическими коэффициентами, исследованию меры приводимых систем и др. Рассмотрены системы уравнений как с аналитическими правыми частями, так и с дифференцируемыми. В шестую и седьмую главы включены результаты, принадлежащие А. М. Самойленко и относящиеся к изучению расположения интегральных кривых системы нелинейных уравнений в окрестностях гладкого тороидального и компактного инвариантного многообразий. Авторы благодарят В. К. Лисниченко и Т. А. Тышко за помощь при подготовке рукописи к печати.
Монография посвящена изложению ряда новых результатов нелинейной механики, полученных с помощью модернизированного Η. Н. Боголюбовым метода последовательных замен переменных, обеспечивающего ускоренную сходимость. Метод последовательных замен, предложенный еще в 1934 г. Η. М. Крыловым и Η. Н. Боголюбовым, явился эффективным аппаратом для решения многих интересных задач нелинейной механики. В частности, этим методом решена задача о существовании квазипериодиче-ского режима с двумя основными частотами в нелинейных колебательных системах. Однако получаемые приближенные решения в общем случае содержали расходящиеся ряды. В последнее время в связи с появлением работ А. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда Η. Н. Боголюбов модернизировал метод последовательных замен, в результате чего обеспечивается сходимость соответствующих разложений. Книга состоит из краткого введения и семи глав. В первой главе излагаются результаты, полученные Η. Н. Боголюбовым в 1963 г. в области развития метода последовательных замен и исследования квазипериодических решений в применении к неконсервативным системам (выясняется зависимость этих решений от параметра, указываются способы получения для них асимптотических и сходящихся рядов и т. д.). Вторая глава посвящена изложению результатов, полученных Ю. А. Митропольским. В ней с помощью метода последовательных замен построено общее решение системы нелинейных уравнений, исследовано поведение этого решения в окрестности квазипериодического решения (устойчивость, притяжение к частному квазипериодическому решению и т. д.). Для нелинейной системы уравнений решается вопрос о приводимости нелинейной системы к линейной с постоянными коэффициентами. Третья глава реферативная. В ней излагается техника сглаживания функций, дающая возможность перенести ряд результатов, полученных в первых двух главах для систем дифференциальных уравнений с аналитическими правыми частями, на системы с дифференцируемыми правыми частями. В четвертой главе содержатся результаты, принадлежащие Ю. А. Митропольскому и А. М. Самойленко в области исследования поведения траекторий на n-мерном торе в случае, если тор не аналитический, что имеет место в ряде задач нелинейной механики. Глава пятая посвящена исследованию приводимости линейных систем с квазипериодическими коэффициентами. В ней приведены результаты, полученные совместно Ю. А. Митропольским и А. М. Самойленко и относящиеся к построению и исследованию фундаментальной матрицы линейных систем с квазипериодическими коэффициентами, исследованию меры приводимых систем и др. Рассмотрены системы уравнений как с аналитическими правыми частями, так и с дифференцируемыми. В шестую и седьмую главы включены результаты, принадлежащие А. М. Самойленко и относящиеся к изучению расположения интегральных кривых системы нелинейных уравнений в окрестностях гладкого тороидального и компактного инвариантного многообразий. Авторы благодарят В. К. Лисниченко и Т. А. Тышко за помощь при подготовке рукописи к печати.