1.4. Самоорганізація та еволюція термодинамічно нерівноважних систем
Коли говорять про еволюцію системи, то звичайно мають на увазі зміну її властивостей із часом. Коли
йдеться про процеси самоорганізації, то мають на увазі такі процеси, що ведуть до створення більш складних та
досконалих структур. Звичайно, далеко не всякий процес еволюції веде до самоорганізації. Наприклад, у за-
мкнених системах еволюція
супроводжується збільшенням ентропії, тобто зменшенням ступеню впорядковано-
сті. Отже, самоорганізація – лише один з можливих шляхів еволюції.
У цьому розділі буде з’ясоване питання про те, як можна кількісно порівняти ступінь самоорганізації
двох відмінних станів системи, обговорена проблема еволюції систем, далеких від термодинамічної рівноваги, а
також виявлена роль флуктуацій у процесах
еволюції систем при зміні деякого керівного параметра (або набору
таких параметрів).
1.4.1. Кількісне порівняння ступеню самоорганізації для двох відмінних станів системи
Будемо розглядати відкриті системи, в яких неможливе встановлення термодинамічної рівноваги (пор.
з п. 1.2.3.2). Нехай стан такої системи характеризується деяким набором керівних параметрів a=(a
1
, a
2
,…a
n
).
Зміна керівного параметра а може супроводжуватися як збільшенням, так і зменшенням ступеню самоорганіза-
ції системи. На практиці нерідко важливо з’ясувати, який з двох станів системи характеризується вищим рівнем
самоорганізації.
1.4.1.1. S-теорема Климонтовича
Н-теорема Больцмана (див. п. 1.1.2.3) передбачає для замкнених систем монотонне зростання ентропії з
часом. Але, як уже
вказувалося, вона справедлива лише ля ансамблю частинок, що не взаємодіють між собою.
Узагальненням Н-теореми Больцмана на ансамбль частинок із довільним характером взаємодії є теорема Гіббса
(див. п. 1.1.3.2). Остання нічого не говорить про поведінку системи в часі, але стверджує, що стану термодина-
мічної рівноваги відповідає максимальна ентропія (за додаткової умови
збереження середньої енергії системи).
Але теорема Гіббса, як і Н-теорема Больцмана, стосується лише замкнених систем.
Оскільки ентропія є мірою безпорядку, то можна припустити, що утворення структур повинне приво-
дити до її зменшення. Це твердження становить суть так званої S-теореми (від англійського слова self-
organization), сформульованої (1983) та доведеної (1987) російським дослідником Ю.
Л.Климонтовичем
2
для
відкритих систем. Розберемо зміст цієї теореми більш докладно.
Будемо розглядати статистичний ансамбль довільної природи, який характеризується набором випад-
кових змінних Х та керівним параметром а. Будемо порівнювати між собою стани з а=а
0
та а=а
0
+Δа, які харак-
теризуються відповідно функціями розподілу f
0
(X, а
0
) та f(X, а
0
+Δа). Подамо їх у формі канонічного розподілу
Гіббса:
()
()
00
00
,
,exp
FHXa
fXa
D
−
⎡⎤
=−
⎢⎥
⎣⎦
, (1.4.1)
()
()
0
0
,
,exp
FHXa a
fXa a
D
−+Δ
⎡⎤
+Δ = −
⎢⎥
⎣⎦
, (1.4.2)
де Н – функція Гамільтона, F – вільна енергія, а параметр D відіграє роль температури. Функції розподілу
(1.4.1)-(1.4.2) задовольняють звичайній умові нормування:
0
1fdX f dX==
∫∫
. (1.4.3)
Подібно до того, як це було зроблено в теоремі Гіббса, накладемо додаткову умову сталості середньої
енергії (тобто середнього значення функції Гамільтона) системи. В зв’язку з цим функцію f
0
необхідно перено-
рмувати: f
0
→f
1
. Перенормований розподіл також має канонічну форму,
()
()
()
10
10
1
,
,, exp
FHXa
fXa a
Da
⎡⎤
−
Δ= −
⎢⎥
Δ
⎣⎦
, (1.4.4)
і задовольняє умові нормування (1.4.3).
Умова, з якої знаходиться перенормована температура D
1
(Δа), якраз і являє собою вимогу незмінності
середньої енергії системи:
()( ) ( )
)
01 0 0 0
,,, , ,H Xa f Xa adX H Xa a f Xa adXΔ= +Δ +Δ
∫∫
. (1.4.5)
Далі існує принаймні дві можливості. Перша з них полягає в безпосередньому порівнянні між собою
температур D
1
(Δа) та D. Якщо виконана умова
()
1
DaDΔ>
, (1.4.6)
2
Див., наприклад: Ю.Л.Климонтович. Турбулентное движение и структура хаоса. М., Наука, 1990.