Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика. 1-5 классы

Подождите немного. Документ загружается.

Глава первая.

На

уральые числа

уго

льнике со сторонами Ь и а. А это один и тот же пря

моу

гол

ьник.

9" 6

= 54

6" 9 =

и вообще: от перестановки множителей произве-

дение не меняется:

" Ь=

Это правило называется переместительным зако

ном

умножения.

Чтобы умножать любые числа, надо знать наизусть

таблиц

умножения однозначных чисел:

•

2 2

10 12 14

16 18

16 20

4 " 8

42 48

35 42

49 56

8 8

101

Глава первая.

На

уралькые числа

Выучить таблицу умножения можно так же, как

и таблицу сложения, - с помощью карточек.

Некоторым трудно дается таблица умножения

на число 9. Между тем в распоряжении каждого всегда

имеется

«машинка»

для умножения на 9 - это его де

сять пальцев. Положи их перед собой и поднимай

по очереди каждый палец. Подними первый палец сле

ва - останется 9; читаем: 1· 9 = 9. Подними второй

палец. Останется слева от него один пец, а справа во

семь пьцев; читаем: 2

•

9 = 18. А если поднять девятый

пец, то слева от него останется восемь пальцев (читаем:

восемь десятков), а справа один (одна единица). Получа

ется: 9· 9 = 81. Вообще, какой палец ты ни поднимешь,

у тебя получится такая картина: номер пальца, умно

женный на девять, равен числу, в котором десятков

столько, сколько пальцев левее поднятого, а единиц

столько, сколько пальцев правее поднятого.

А как быть с числами многозначными? Как умно

жить, например, 56 на 784, 5 на 18, 7 на 20, 8 на 100?

Для этого используются законы умножения: переме

стительный, сочетательный и распределительный.

П ереесmumелыlйй зак

н помогает запомнить

таблицу умножения. Сколько будет 7· 8? А столько

же, сколько 8· 7. Два примера, а ответ один: 56.

102

Глава первая. Натуралькые



исла

Переместительный закон умножения

апомина

eT переместительный закон сложения: а + Ь

Ь + а,

а-Ь

Ь -а.

сумма



не

слагаемых

От



перестановки

меняется



множителеи



произведение

и это не единственное общее свойство сложения

и умножения. Вспомним сочетательный закон сло

жения:

а +(Ь + с)

(а + Ь) + с

Чтобы прибавить к числу сумму, можно приба

вить к нему первое слагаемое, а потом к результату

прибавить второе слагаемое.

3аменим в этом равенстве все плюсы на знаки ум

ноения:

(Ь-с)

(а -Ь) -

Чтобы умножить число на произведение, можно

умножить его на первый множитель, а потом резуль

тат умножить на второй множитель.

Это -сочетательный закон умножения.

Убедимся в его справедливости на примере. Най

дем

, чему равно произведение 5 - (3 - 2) и чему равно

произведение (5 -3)-2. Первое произведение равно

5 - 6 = 30, второе равно 15 - 2 = 30. Так что на примере

все получается. Если же мы хотим объяснить справед

ливость сочетательного свойства умножения в общем

виде, то придется строить фигуру, соответствующую

умножению трех чисел а, Ь и с. Для чисел 5, 3 и 2 эта

фигура строится так:

103

Глава первая

Натуралькые числа

Строим ряд из пяти кубиков:

(

( ( ( о

Строим слой из трех таких рядов:

(????J

А потом строим фигуру из двух таких слоев:

/ / / / /

/ / / / / /



Сколько кубиков в одном ряду? Их пять. Сколько

кубиков в одном слое? Их 583

15. А сколько куби

ков во всей этой фигуре? Их в 2 раза больше, чем в од

ном слое, то есть 15 82

30.

Итак , в нашей фигуре (5 83) 82

30 кубиков.

Но можно подсчитать и по-другому: в этой фигуре

3 8 2 ряда; в каждом ряду по 5 кубиков, то есть в ней

58 (3 82) кубика. Так что 58 (3 82)

(5 83) 8 2.

Точно так же строится фигура и для любого друго

го примера на умножение трех чисел а, Ь и с:

/ / / / / /

/ / / / /

/ /

50(403)=(584)03

Итак, сложение и умножение подчиняются двум

одинаковым законам:

104

Глава первая. Натуральные числа

Переместительный

Сочетательный

закон

Сложение

а+Ь=Ь+а

а + (Ь + с) = (а + Ь) + с

Умножение

а'Ь=Ь'а

а • (Ь • с) = (а ' Ь) • с

Сочетательный закон сложения позволяет приба

вить к числу сумму. Сочетательный закон умноже

ния позволяет умножить число на произведение.

А еще одно свойство позволяет умножать число

на сумму. Это распределительный закон умножения:

а '

(Ь + с) = а' Ь + а' с

Чтобы умножить число на сумму, достаточно

умножить его на каждое слагаемое, а результаты

сложить.

Можно убедиться в этом на примерах:

2· (3 + 5) = 2·3 + 2· 5, так как и там и там получа

ется 16.

4· (2 + 7) = 4·2 + 4· 7, так как и там и там получа

ется 36.

Чтобы убедиться, что распределительный закон

верен для любых чисел а, Ь и с, снова будем чертить.



+ с

105

Глава первая.

Натуралькые числа

Начертим прямоугольник для умножения числа а на

число Ь + с. Этот прямоугольник имеет длину а и шири

ну Ь + с. В нем а • (Ь + с) квадратиков. Разделим его на

два прямоугольника. Один из них будет иметь длину а

и ширину Ь, а другой будет иметь длину а и ширину с.

Значит, в первом прямоугольнике будет а

Ь квадрати

ков, а во втором - а

с квадратиков. Вместе их будет

а · Ь + а

А это и значит, что а· (Ь + с) = а

Ь + а

с.

Задача. Нарисуй такую же картинку для доказа

тельства того, что 7· (8 + 9) = 7·8 + 7·9.

Еще задача. Запиши распределительный закон

для чисел, умножение которых показано на этом ри

сунке.

Законы умножения позволяют умножать много

значные числа, если умеешь умножать однозначные.

Проще всего, когда один из множителей - число

10, 100, 1000 и вообще любое число, которое записы

вается одной единицей с несколькими нулями.

Умножение какого-нибудь числа на такое число 

это передвижение его в разрядной сетке влево. При

умножении на 1 О число смещается влево на один раз

ряд, и в его записи появляется один нуль справа:

106

ава первая. Натуральные ч

сла

37· 10 = 370, 420 · 10 = 4200.

При умножении на единицу с несколькими нуля

ми число смещается влево на столько разрядов,

сколько нулей в записи второго множителя.

Например, при умножении числа 523 на 100 циф

ра 5 из разряда сотен перешла в разряд десятков ты

сяч (на два разряда влево). Цифра 2 тоже смещается

на два разряда влево: из разряда десятков в разряд ты

сяч. И цифра 3 смещается из разряда единиц в разряд

сотен - на два разряда влево:

Разряды

Миллионы

Сотни

Деся

тки

Тысячи

Сотни

Десят

Ед

ин

ицы

тысяч

О О О О 5

О О

3 О

Получается, что 523 · 100 = 52300.

Задача. Умножь число 34 на 1000.

Еще задача. С помощью таблицы умножения, ис

пользуя сочетательный закон умножения, вычисли:

50 ·3, 6·80, 70 · 80, 600 ·9.

А теперь умножим многозначное число на одно

значное, например найдем такое произведение:

2079 ·8.

Число 2079 равно сумме 2000 + 70 + 9. Нам извес

тен распределительный закон умножения: чтобы ум

ножить сумму на число, достаточно умножить на это

число каждое слагаемое и сложить результаты. Зна

чит, 2079 ·8 = 2000 ·8 + 70 ·8 + 9·8. Каждое слагае

мое в этой сумме легко найти устно: 2000 ·8 = 16000,

70 ·8 = 560, 9·8 = 72. Конечно, для этого надо по

мнить таблицу умножения! Значит, 2079 ·8 = 16000 +

+ 560 + 72. Эти числа можно сложить столбиком или

устно, получится 16632. Удобнее в этом случае запи

сывать действие столбиком.

107

2079

16632

Гл

ава первая. Натуралькые 

ела

Умножение начинаем с единиц:

9·8

= 72; подписываем 2 под разрядом единиц.

переносим в следующий разряд; 7·8 = 56, 56 + 7 =

= 63; подписываем 3 под разрядом десятков, 6 пере

носим в следующий разряд; 0·8 = О, 0+ 6 = 6; подпи

сываем 6 под разрядом сотен; 2·8 = 16; подписываем 6

под разрядом тысяч, единицу переносим и подписы

ваем в следующий разряд.

Многозначное число на многозначное умножают

тоже столбиком. Для этого первый множитель умно

жают сначала на число единиц во втором множителе,

затем на число десятков, сотен и так далее. Получен

ные произведения подписывают под соответствующи

ми разрядами, а потом складывают столбиком.

Умножь столбиком 128 на 37, используя эту заго

товку:

-х

Задачи

1. Сколько получится десятков, если два десятка

умножить на 3?

2. Сосчитай в уме: 2·7·5.

3. Сколько получится десятков, если два десятка

умножить на 3 десятка?

108

Глава первая. На

уралькые числ

4. Один из двух мн

жителей равен 36. Как изме

нится пр

изведение, если друг

й мн

житель увели

чить на 9?

5. Один из двух мн

жителей равен 36. Как изме

нится произведение, если друг

й множитель умно

жить на 9? Как

е усл

вие в эт

й задаче не влияет на

ответ?

6. Сумма и пр

изведение четырех чисел равны 8.

Что эт

за числа?

7. Сумма трех различных чисел равна их произве

дению. Что эт

за числа?

8. Задача Ле

нард

Пизанск

. Один человек го

ворит друг

му: «Дай мне 3 динария, и я буду в 2 раза

богаче тебя

».

А друг

твечает:

«Дай

мне 2 динария,

и я буду в 3 раза б

гаче тебя» .

Скольк

денег у кажд

9. Есть два числа: 1333 и 2171. Х

телось бы каждое

представить в виде пр

изведения нескольких чисел

так, чтобы суммы мн

жителей были равны соответст

венн

1333 и 2171. См

жешь?

10. Ученик быстр

умн

жил 84 на 84. Св

и дейст

вия

бъяснил так:

«Да

Я пр

ст

о о

тнял 144

т 7200,

и п

лучился

твет 7056 ».

Как

н рассуждал?

Реши арифметические ребусы:

11. КРАБ · 4 = БРАК.

12. ПЛОМБА · 5 = АПЛОМБ.

13. СОРОК · 5 = ДВЕСТИ.

109

Глава первая. Натуралькые числа

14. SIX х TWO = TWELVE.

15. ЧЧН

НН

ЧНЧН

ЧНН

ННННН

Здесь вместо букв Ч нужно подставить четные ци-

фры

, а вместо букв Н -нечетные.

16. EINS х 5 = FUNF.

17. КАЗАК х 6 = сотня.

18. ПЧЕЛКА х 7 = жжжжжж.

19. БУКВА х 6 = слово.

20. К

= АНТ.

21. во хЛ = НА.

22.

ОДА

рис

+ ПАТ

ИНД

сор

спорт

23. 92 ·

***

24. 51

***

25. 6

+ **

26.

= 1.

110