Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика. 1-5 классы

Подождите немного. Документ загружается.

Глава первая.

Натуралькые



сла

27.

***

****

28.

***

*·

29. 10 8

= 38 (3 8

+ 5).

30. АБ 8 АБА = АБАБ.

31.

32. АБВ 85 = ГАГ

Но в конце-то концов, так ли уж необходимо уметь

письменно или устно умножать числа? Ведь сейчас

повсюду есть калькуляторы, они считают гораздо бы

стрее и не ошибаются. На самом деле человеку доста

точно самому считать в пределах ста, больше требует

ся редко. Интересно другое: оказывается, что иногда

устно умножать можно быстрее, чем с помощью каль

кулятора.

Умножать однозначные числа на 9 можно вообще

мгновенно, об этом мы уже рассказывали на с. 102.

Быстро считать можно и в более трудных случаях.

Например, чтобы получить произведение 36 811,

достаточно между цифрами 3 и 6 вставить их сумму -

9. Получится 396. Это быстрее, чем на калькуляторе:

там пришлось бы нажать шесть кнопок. Так же мож

но умножить на 11 любое двузначное число. Немного

111

Глава первая. Натуральые числа

труднее, если сумма его цифр больше десяти. Тогда меж

ду цифрами числа вставляется вторая цифра суммы его

цифр, а единица прибавляется к первой цифре числа:

49 ·11 =?

4 + 9

l



49 ·11=539.

Можно научиться быстро умножать на 11 любые

числа. Надо написать последнюю цифру множителя,

а перед ней писать суммы соседних цифр. В конце,

то есть слева, записывается первая цифра множите

ля. Например, умножим 543 на 11.

)

Пишем последнюю цифру множителя 543 � 3.

)

Складываем цифры 4 и 3 и результат пишем пе-

ред написанной тройкой: 4 + 3 = 7 � 73.

)

Складываем 5 и 4: 5 + 4 = 9 � 973.

)

Записываем цифру 5 � 5973.

543·11 = 5973.

IT ТI

59 ·73

Еще можно быстро перемножать двузначные чис

ла, в которых десятков поровну , а единицы в сумме

дают 10. Например, чтобы умножить 37 на 33, надо

умножить 3 (число десятков) на следующее за ним

число ( на 4). А потом к результату (к числу 12

)

при

писать справа произведение 7· 3� Вот что получается:

ЗО(ЗП

37·33

1221

112

Глава первая. Натуральые



исла

Еще пример

3267 ·11 = ?

7 сносим: 7.

7 + 6 = 13, 3 пишем слева от 7, 1 переносим в следу

ющий разряд: 37.

6 + 2 = 8, 1 из предыдущего разряда, 8 + 1 = 9, пи-

шем 9 слева от 7: 937.

2 + 3 = 5, пишем 5 слева от 9: 5937.

3 сносим: 35937. Это и есть ответ.

Это тоже получается быстрее, чем на калькуляторе.

Вот несколько примеров для тренировки в устном

счете:

25 '11; 43 '11; 57 ' 11; 92 '11; 62 ' 68; 45 ' 45;

96 · 4; 71

•

79.

И вот еще один пример устного счета. Это способ

умножения числа, оканчивающегося цифрой 5, само

го на себя. Произведение числа а самого на себя назы

вают квадратом числа а и обозначают а

•

Так вот, что

бы найти квадрат числа, оканчивающегося на 5, до

статочно отбросить пятерку, умножить оставшийся

кусок на следующее за ним по порядку число и припи

сать к результату 25. Вот так:

7 5

6 2 5 11 5

= 1 3 2 2 5

7 · 8

11 · 12

А это - интересные случаи умножения многознач

ных чисел:

123456789 · 9;

123456789 · 27;

123456789 · 45;

123456789 · 63;

123456789 · 81;

123456789 · 18;

123456789 · 36;

123456789 · 54;

123456789 ·72.

Найди произведения - они красивые.

113

лава первая. Натураль

ые 

сла

Задачи

1. Во сколько раз увеличится однозначное число,

если приписать к нему справа такое же число? А дву

значное?

2. Задача из Древней Греции. Три грации имели по

одинаковому числу плодов и встретили де,ВЯТЬ муз.

Каждая из граций отдала каждой из муз по одина

ковому числу плодов. После этого у каждой из муз

и каждой из граций стало по одинаковому числу пло

дов. Сколько плодов было у каждой из граций до

встречи с музами (у муз до этой встречи не было ни од

ного плода)?

3. Старинная русская задача. Помещик, узнав, что

корова стоит вчетверо дороже собаки и вчетверо дешев

ле лошади, захватил на ярмарку 200 рублей и на все эти

деньги купил собаку, двух коров и лошадь. Что почем?

-� --

114

Глава первая. Натураль



ые числа

4. Утомившись от школьных занятий, Костя по

ехал на лето в деревню к бабушке и занялся там своим

любимым делом - ловлей мух. За первые пять дней

он поймал 532 мухи, причем в каждый из этих дней

отлавлив их столько, сколько во все предыдущие

дни вместе. Сколько мух поймал Костя в каждый

из этих д

ей?

5. Пять победителей конкурса

«Кто

громче крик

нет » получили В награду по одинаковому количеству

орехов. Трое из них сразу съели по 5 орехов и увиде

ли, что у них вместе осталось столько орехов, сколько

было выдано двум другим. Сколько всего орехов было

выдано всем пятерым?

6. Деду 60 лет, а внуку 10. Когда дед будет втрое

старше внука?

7. Двум отцам вместе 80 лет, а двум сыновьям вме

сте 40 лет. Сколько лет вместе всем троим?

8. У 33-летнего отца 4 сына. Каждый моложе дру

гого на 2 года. Старшему сыну 8 лет. Через сколько

лет всем четверым будет вместе столько же лет, сколь

ко отцу?

9. Часы отстают каждые сутки на 61 минуту. Че

рез сколько суток они будут показывать опять верное

время?

10. Чему равна сумма всех чисел:

1) от 1 до 10,

2) от 10 до 100,

3) от 21 до 80?

11. Найди сумму чисел 1, 3, 5, 7, 9 и 11.

12. Найди сумму всех чисел от 5 до 100, оканчива

ющихся на 5 или о.

13. Два поезда одинаковой длины идут навстречу

друг другу по параллельным путям. Скорость первого

поезда 36 км/ч, скорость второго поезда 45 км/ч. Пас

сажир, сидящий во втором поезде, заметил, что пер

вый поезд шел мимо него в течение 6 секунд. Какова

115

лава первая.

Натуральные числа

длина каждого поезда? За сколько минут проедет

второй поезд мимо пассажира, сидящего в первом

поезде?

Сосчитай в уме произведение трех чисел: 9,

24 и 25

Третьеклассник Валера начал выполнять задан

ный на дом пример, когда началась его любимая пере

дача

Его младшая сестренка Даша, не интересующая

ся глупыми мультиками, подошла к столу и увидела

такую запись в Валериной тетрадке:

952

743

2956

3808

Даша не знала таблицу умножения, а умела только

складывать любые числа и была очень сообразитель

ной девочкой

Поэтому она сумела закончить пример,

так что Валера даже не обругал ее за то, что она писа

ла в его тетради

Как Даша смогла это сделать?

Четвертое арифметическое действие - деление - са

мое трудное. Двести лет тому назад делить умели

только ученые-математики - не больше 100 человек

на всем земном шаре

А сегодня делить умеет любой

отличник, начиная со второго или с третьего класса

116

Глава

перва

я. Натур

аль

кые чи

сла

Что же такое деление? Начнем с простого примера.

Разделим пятнадцать конфет поровну между тре

мя детьми. Будем раздавать им конфеты, пока не раз

дадим все пятнадцать. Сначала дадим каждому по од

ной конфете: первую, вторую и третью.



�

Потом дадим каждому еще по одной конфете: чет-

вертую, пятую и шестую.

�

и е

е по одной:

�

и еще по одной:

�

и еще по одной:

117

Глава

первая. Натур

альн

ые числ

Все! Конфеты закончились. Каждый получил по

5 штук. Если 15 конфет разделить поровну на три ча

сти, получится в каждой части по 5 конфет. 15 : 3 = 5.

Конфеты нам здесь понадобились только для того,

чтобы сладкоежкам было интереснее. А вообще-то

мы могли бы работать и просто с рядом чисел. Тогда,

чтобы разделить пятнадцать на три, мы поступили

бы так.

Взяли бы первые пятнадцать чисел:

Эти числа мы уложили бы, как кирпичи, в три

столбика. Первые три числа - в нижний ряд:

Над ними следующие три числа:

Над ними еще три:

118

Глава первая. Натуральые числа

И еще три:

4 5

Все! Числа кончились. Получилось 3 столбика по

5 клеточек, а всего 15. Значит, 15 : 3 = 5.

Задач

а. Раздели этим способом 12 на 4. А теперь 12

на З.

Чтобы разделить 15 на 3, мы разложили числа

в три столбика. Если сдвинуть эти столбики - по

лучится прямоугольник:

119

Глава первая. Натуралькые числа

4 5

Это тот самый прямоугольник, который рисуют

для того, чтобы умножить 3 на 5. На одной картинке

получаются два примера: 3 - 5 = 15 и 15 : 3 = 5. А если

этот прямоугольник повернуть - получится еще один

пример: 15 : 5 = 3.

Задача. Для каждого из прямоугольников напиши

по три примера:

�

;

111

11111

111111111

 1111111

I I I I I I I I

Вообще, если а

в = С, то с: а = Ь и с: Ь = а. Поэто

му и говорят, что деление - действие, обратное умно

жению, так же как вычитание обратно сложению:

-4 = 8, так как 8 + 4 = 12;

12 : 4 = 3, так как 4 - 3 = 12.

120