Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика. 1-5 классы

Подождите немного. Документ загружается.



ава первая. Натуральые числа

)

******

***

)

***

****

105

***

****

***

)

мода

lода

дар да

еда

ос

ь. П

зн

ост

етные

не

етные

сла

Любое число можно получить, складывая друг с дру

гом единицы. Если каждый день выучивать по одно

му английскому слову, то наступит и такой день, ког

да ты будешь знать 6 слов, и такой, когда ты будешь

знать 217 слов. А вот если каждый день выучивать

по два слова, то ты будешь знать ровно 6 слов к концу

третьего дня, но такого дня, к концу которого ты бу

дешь знать ровно 217 слов,- такого дня не будет.

Число 6 можно составить из двоек, а число 217 -

нельзя. Говорят, что 6 делится на 2, а 217 не делится

на 2. Иначе: 2 является делителем числа 6, но не яв

ляется делителем числа 217. Или так: 6 кратно числу

2, а 217 не кратно числу 2.

Знание делителей и кратных помогает находить

ошибки в вычислениях, даже не повторяя этих вы

числений.

131

Глава первая. Натуралькые числа

Ковбой Вилл заказал в баре две бутылки минераль

ной воды.

- Не хочешь ли новую воду

Слезы крошки Мэ

ри» ?

- спросил хозяин.

Вилл утвердительно кивнул головой.

Но когда трактирщик предъявил ему счет в 35 цен

тов за две бутылки, ковбой вытащил из-за пояса

кольт. Трактирщик тут же переписал счет и долго

потом просил прощения у сообразительного поку

пателя.

Как же обнаружил ошибку Вилл? Ведь он не знал ,

сколько стоит бутылка новой минеральной воды.

Оказывается, сколько бы ни стоила эта бутылка,

сумма не могла составить 35 центов. Стоимость двух

бутылок должна делиться на 2, а 35 на 2 не делится.

Числа, делящиеся на 2, называют четнымu; не де

лящиеся на 2, - нечетнымu. Стоимость двух одина

ковых бутылок должна быть четным числом, а число

35 - нечетное.

Четные и нечетные числа имеют некоторые очень

простые свойства: сумма, разность, про изведение чет

ных чисел - четны; четна сумма и разность нечетных

чисел, а их про изведение нечетно.

132

Глава первая. На

уралькые



исла

Задач

а. Четной или нечетной будет сумма двух чи

сел разной четности (таких, одно из которых четно,

а другое нечетно)? А разность? А произведение?

Но есть и более интересные факты, связанные

с четностью.

Когда великому русскому математику Андрею Ни

колаевичу Колмогорову было шесть лет, он приду

мал , как вычислять суммы первых нечетных чисел.

Например, чтобы найти сумму 100 таких чисел, до

статочно умножить 100 на 100:

1 + 3 + 5 + ... + 197 + 199 = 100 · 100 = 10000.

Почему это так, мы поймем, изображая нечетные

числа в виде таких вот фигурок:

и так далее.

Будем прикладывать к первой фигурке вторую,

потом третью и так далее. Каждый раз будет полу

чаться квадрат со стороной, равной числу сложенных

фигурок:

1+3

3+5

'

2·2

f±]]

3·3

Понятно, что и следующие нечетные числа будут

достраивать этот квадрат до новых квадратов:

133

Глава первая. Натуральные



сла

+3+5+

+ 3+

5+7+9

Ш,

4 . 4

и так далее

5·5

Поэтому, чтобы найти сумму нескольких первых

нечетных чисел, достаточно умножить их количество

само на себя.

Как мы уже знаем (с. 114), произведение числа а

самого на себя называется квадратом числа а и обо

значается так: а

• Утверждение о сумме нечетных чи

сел можно записать в виде такого равенства:

+ 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n

•

В этом равенстве вместо n можно подставить любое

натуральное число, а многоточие означает, что скла

дываются все нечетные числа от 1 до (2n - 1). Из этой

формулы получается:

при n = 2

1 + 3 = 4;

при n = 5

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25;

при n = 11

+ 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17+

+ 19 + 21 = 121.

Однажды Коля попросил отличника Севу прове

рить решенный им пример: 3423 х 5 = 171 16.

- Так не может быть, - сразу сказал Сева.- Про

изведение 3423 на 5 должно делиться на 5, а 17116

на 5 не делится!

Как же эти грамотеи - Вилл и Сева - определяют,

что на что делится? Просто они знают признаки дели

мости на 2 и на 5.

Делимость натурального числа на 2, на 5, а также

и на 10 зависит

т п

следней

цифры этого числа: чис-

134

Глава первая.

атурал

ыеe

числа

ло делится на 2, на 5 или на 10 тогда и только тогда,

когда его последняя цифра делится соответственно

на 2, на 5 или на 10.

Например, число 35 не делится на 2 потому, что по

следняя его цифра 5, а 5 на 2 не делится. Чтобы число

делилось на 2, его последняя цифра должна быть одна

из пяти: О, 2, 4, 6 или 8.

Точно так же число 17116 не делится на 5 потому,

что последняя его цифра 6, а 6 на 5 не делится. Чтобы

число делилось на 5, его последняя цифра должна

быть одна из двух: О или 5.

А на 10 делятся только числа, оканчивающиеся

цифрой 0,- круглые числа.

Задача. Какие из следующих чисел делятся на 2,

на 5, на 10:

123456, 5630985, 12760, 111112?

Если число оканчивается цифрой, не делящейся на

2, на 5 или на 10, то оно, конечно, на 2, на 5 или на 10

не делится. Мо того, можно даже сразу сказать, ка

кой остаток дает это число при делении на 2, на 5 или

на 10, потому что само число и его последняя цифра

при этом дают одинаковые остатки.

Например, число, получившееся у Коли, - 17116

на 2 делится (потому что 6 делится на 2), при делении

на 5 дает остаток 1 (потому что 6 при делении на 5 да

ет остаток 1), а при делении на 10 дает остаток 6 (по

тому что 6 при делении на 10 дает остаток 6).

Задача. Какие остатки при делении на 2, на 5

и на 10 дает число 1825?

Еще задача. Можно ли составить число, делящееся

на 5, используя только цифры 1, 3 и 2?

135

Глава первая. Натуральные числа

Определять, что на что делится, с помощью послед

ней цифры, конечно, проще всего. Но этот признак

годится только для деления на 2, на 5 и на 1 о. Для де

ления, скажем, на 3 он уже не подходит: например,

13 не делится на 3, а 63 на 3 делится; 1 7 не делится

на 3, а 27 на 3 делится - видно, что последняя цифра

тут ни при чем.

Что же такого особенного в числах 2, 5 и 10? Что род

нит их между собой? Ответ прост: 2, 5 и 1 О - это единст

венные (кроме единицы, конечно) делители числа 10,

а мы записываем числа в десятичной системе. А при чем

здесь последняя цифра? Дело в том, что раз 10 делится

на 2, то и любое количество десятков делится на 2. А вся

кое число складывается из какого-то количества десят

ков и какого-то количества единиц: в числе 27 - два

десятка и семь единиц; в числе 3898 - триста вемьдесят

девять десятков и восемь единиц; в числе 111 - один

надцать десятков и одна единица; в числе 1300 - сто

тридцать десятков и нуль единиц; в числе 6 - нуль де

сятков и шесть единиц. И так как любое число десятков

делится на 2, то все число делится или не делится на 2

в зависимости от того, сколько в нем единиц. Если еди

ниц нуль - число делится на 2; если единица одна -

число не делится на 2; если единиц две - делится; если

три - не делится, и так дее. А количество единиц

в числе как раз и обозначено его последней цифрой.

Делимоь эависит

от послеАней цифры

136

Глава первая. Натуральные числа

Задача. Почему делимость на 5 и на 10 тоже зави-

сит только от последней цифры?

Число 3 не является делителем числа 10. Поэтому

делимость на 3 зависит не только от последней циф

ры, но и от других цифр числа.

Делимость натурального числа

на 3 и на

9 зависит

от

суммы цифр этого числа: число делится на 3 или на

9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится

соответственно на 3 или на 9. Если сумма цифр числа

не делится на 3 или на 9, то остаток при делении это

го числа на 3 или на 9 совпадает с остатком от деления

на 3 или на 9 его суммы цифр.

Делнмость зависит

от суммы цифр

Например, сумма цифр числа 45620 равна 17, зна

чит, число 45620 при делении на 3 дает в остатке 2,

а при делении на 9 - остаток 8.

Но и сама сумма цифр может быть достаточно боль

шим числом, и тогда не так легко проверить, делится

ли оно на 3 или на 9. Например, сумма цифр числа

12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334

равна 190. Чтобы узнать, делится ли 190 на 3, снова

применим признак - найдем сумму его цифр: 1 + 9 +

+ о = 10. Кто не видит, что 10 при делении на 3 дает

в остатке 1, может применить признак и еще раз -

найти сумму цифр числа 10: 1 + О = 1. Значит, число 10

при делении на 3 дает в остатке 1; такой же остаток при

делении на 3 дает число 190; следовательно, такой же

остаток при делении на 3 дает и данное число.

137

Глава первая. Натуралькые

u

сла

Задача. Какой остаток дает при делении на 3 чис

ло, в записи которого семнадцать единиц, девяносто

пять двоек и семь нулей (других цифр нет)? Зависит

ли ответ от того, в каком порядке идут эти цифры?

Еще задача. Ире задали задачу: определить, какой

остаток дает при делении на 9 некоторое число. Листок

с заданием она потеряла, но помнила, что в этом числе

были все десять цифр - и каждая по одному разу. Смо

жет ли Ира решить задачу?

Когда ковбой Вилл узнал признак делимости на 3,

он решил проведать своего знакомого бармена и отме

тить это событие. Он потребовал шесть бутылок «( Слез

крошки Мэри» , два хот-дога по 2 доллара 40 центов

каждый и на 30 центов виски. «( С тебя 5 долларов

центов» ,-

объявил бармен. «( Ты опять?!»

- «( Ав чем

дело? Эта сумма делится на

2!»

- «( Но она не делится

на 3, а должна бы делиться». - «( Прости, старина, я

не ожидал, что ты и это знаешь

» .

с помощью признака делимости на 9 можно прове

рять не только правильность представленного барменом

счета, но и правильность более сложных вычислений.

138

Глава первая. Натуральые

исла

Предположим, надо прикинуть, верно ли такое равен

ство: 5647 + 4762 + 3941 = 14313. Ясно, что, если сло

жить остатки, которые дают слагаемые при делении

на 9, должно пол

читься число, дающее при делении

на 9 такой же остаток, что и сумма:

числа суммы цифр сумма остатков

5647

4762

3914

4 + 1 + 8 = 13

14313

мма остатков 13, это число при делении на 9 да

ет остаток 4; а найденная сумма 14313 при делении на

9 дает остаток 3. Значит, эта сумма найдена неверно.

И правда, 5647 + 4762 + 3914 = 14323. Надо заметить,

что, если бы остатки совпали, это бы еще не значило,

что пример решен верно. Число 14332 дает при деле

нии на 9 остаток 4, хотя не является суммой данных

чисел. Но если остатки не совпадают - пример решен

неверно.

Точно так же проверяются и другие арифметиче

ские действия. Проверим умножение

3453

3 + 4 + 5 + 3 = 15

1 + 5 = 6

2807

2 + 8 + О + 7 = 17

1 + 7 = �

24171

6 х 8 = 48

+ 27624

6906

4 + 8 = 12

1+2=�

9592571

9 + 5 + 9 + 2 + 5 + 7 + 1

3 + 8 =11

1+1=2

Ошибка есть: в произведении должен получиться

остаток 3, а не 2. Интересно, что тем же способом

можно найти и то место, в котором совершена ошиб

ка. Проверим рез

льтаты умножения 3453 на отдель

ные цифры 7, 8 и 2.

139

Глава первая. Натуралькые числа



3453

7 6 х 7 = 42 4 + 2

= 6

24171

2 + 4 + 1 + 7 + 1 = 15 1 + 5 = 

Здесь остатки совпали.

3453 6



_

� 6

8 = 48 4 + 8 = 12 1 + 2 = �

27624

2 + 7 + 6 + 2 + 4 = 21 2 + 1 = �

И здесь остатки совпали.

3453 6

 2

� 6 х 2 = 12 1 + 2

= 3

6906

6 + 9 + О + 6 = 21 2 + 1 = �

И здесь все сходится. Нет ли ошибки в сложении?

24171 

+ 27624

�

6906

6 + 3 + 3 = 12

9592571 2

1+2=�

Есть ошибка! Значит, мы неверно выполнили сло

жение. И правда, проверяя сложение, находим, что

сумма равна 9692571.

Может быть, тебе покажется, что проще было бы

проверить результат повторением вычислений. Но де

ло в том, что при повторении вычислений обычно по

вторяется и сделанная ошибка. А тут проверка шла

совершенно другим способом.

Признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 очень легко

запомнить. Другие признаки делимости - послож

нее. Мы поговорим сейчас о делимости на числа пер

вого десятка.

Есть ли признак делимости на единицу? Конечно!

Вот он:

ЛЮБОЕ ЧИСЛО ДЕЛИТСЯ НА 1.

140