Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика. 1-5 классы

Подождите немного. Документ загружается.

еты



ак

Решек

14. 273581.

15. 301.

16. Это произведение делится на 9 без остатка, так

как множители 9993 и 9996 делятся без остатка на 3.

18. 2519.

19. 504.

20. 999.

21. 999.

22. Это числа 2, 5, 7, 9, 11, 13 и 17.

23.

24. Пусть Х,

и z - цифры сотен, десятков и единиц

трехзначного числа. Тогда это число равно 100х + 10

+ г. Если число 10х +

�

делится на 4, то вдвое боль

шее число 20х + 2

+ z делится на 8. А так как число

80х + 8

тоже делится на 8, то сумма (20х +

+ 2

+ г) + (80х + 8) делится на 8. Но это и есть наше

число.

к СТр. 172-173.

1. Одно; одно; ни одного.

6. Это число вида аааа .

но делится на одиннадцать:

аааа : 11 = аОа . По таблице простых чисел (с. 162) на

ходим, что такое число единственно - это 101. Ответ:

1111.

7. Все делители числа 23

34 можно записать в таб

лицу, учитывая, сколько двоек и троек входят в каж

дый делитель:

351

тв

. У"ааа

uя. Р

ло

оек

з2 =

з3

з4

2 =

з3

з4

з3

108

з4

324

8 2

24 2

2 =

72 2

з4

Как видно, у числа 23 · 34 двадцать делителей.

8. Не может. Сумма трех последовательных нат



ральных чисел обязательно делится на 3, и притом

она больше, чем 3; значит, это - составное число.

9. Нет. Оно делится на 101 и при этом больше, чем 101.

10. 37.

11. Пусть р

+ r, где r - составное число,

меньшее делителя 30. Тогда r должно делиться на все

простые числа, меньшие числа 6, т. е. на числа 2, 3 и

5. Но тогда сумма 30

+ r делится на одно из этих чи

сел. Атак как эта сумма и есть данное число, то п

о

стым ОНО быть не может.

к стр. 195-201.

1. 50.

4. 40.

5. 13 ч 20 мин.

6. Младший брат съел 12 пельменей, средний -

, а старший - 27. Значит, оставшиеся 24 пельменя

надо разделить так: среднему дать 9 пельменей,

а мл



шему 15.

7. 24 р. и 18 р.

12. Ответ: 36 коров.

13. 3 рубля.

14. Правильная дробь ближе к единице, чем

обратная ей неправильная. Например, i отстоит от 1

на ' а -на .

352

тв

. У"ааа

uя.

Ре

я.

1 7. См. задачу 6 на с. 125, учитывая, что  +



= '

35.

19'

39. Нарисовав первый луг в виде площадки в 6 кле

точек, мы нарисуем второй луг в виде

лощадки

в 3 клеточки. Тогда вся бригада выкашивает за

ол

дня 3 клеточки, а один косец выкашивает за целы

день одну клеточку. То есть вся бригада вшестеро

больше одного косца. Ответ: 6 косцов.

тр. 224-225.

1. Нужно поставить запятую: 4 < 4,5 < 5.

2. 1,5 тонны.

4. Скорость сближения мотоциклистов 50,7 + 49,5 =

= 100,2 км/ч. Значит, муха летала

з�

= 3,3 часа.

10. 1000% .

11. Второй: его цена равна 70% от первоначальноЙ.

А цена первого равна 72,25% от первоначальной цены.

15. 122

�

16. 50 кг. Дело в том, что

ервоначально масса

грибов с девяностодевятипроцентно

влажностью

состояла из 99 кг воды и 1 кг сухого вещества.

В результате сушки вода испарялась, а сухое вещество

оставалось в том же количестве. Когда влажность

достигла 98% , 1 кг сухого вещества ст составлять 2%

массы грибов.

К стр. 249-250.

3 . Ответ: а

0,5, Ь

-1.

4. Это можно сделать разными способами. Вот один

из них: в первой строке числа 8, -9 и 8, во второ

-9, 8

и -9, в третьей 8, -9 и 8.

К стр. 276.

3. 450 дм3•

353

тветы

ка

ани

Реше

ни

к стр. 296.

8. Площади увеличатся в 4 раза.

к стр. 310.

13. Порядок построения:

1) чертим по линейке прямую а;

2) выбираем на прямой а точку А;

3) проводим С помощью угольника или транспор

тира из точки А луч Ь под углом 900 к прямой а;

4) откладываем с помощью циркуля на луче Ь от

точки А отрезок  = 8 см;

5) проводим С помощью циркуля окружность с цен

тром В и радиусом 10 см.

6) обозначаем буквой С одну из двух точек пересе

чения проведенной окружности с прямой а;

7) соединяем с помощью линейки точки В и С.

14. Можно построить один треугольник со сторона

ми 5 см, 5 см, 4 см, а другой - со сторонами 5 см, 4 см,

4 см.

19. Это можно сделать разными способами, из ко

торых отметим три:

1) построить треугольник с такой же стороной, как

у данного треугольника, и с высотой, в 4 раза боль

шей, чем у него;

2) построить треугольник с такой же высотой, как

у данного треугольника, и со стороной, в 4 раза боль

шей, чем у него;

3) построить треугольник со стороной и с высотой,

в 2 раза большими, чем у данного треугольника.

22. См. задачу 13.

к стр. 324.

4. Они измерили длину тени мачты, а кроме того -

рост и длину тени одного из них. Если рост курсанта

в n раз больше длины его тени, то и длина мачты в n раз

больше длины ее тени.

354

еты

. 

"аз

ак

Решек

Именно таким способом в УI веке до н. э. древнегре

ческий математик Фалес Милетский измерил высоту

пирамиды Хеопса в Египте.

к СТр. 325-326.

1. Четыре.

2. Да.

4. Нужно каждую сторону разделить на три равные

части и провести через точки деления прямые, парал

лельные сторонам треугольника.

к СТр. 335-343.

1. Ни одной.

2. Одна.

3. По одному; людей было трое: дед, отец и сын.

4. Столько же.

5. 6 котов: за 6 минут они съедают шесть мышей,

1 минуту - одну мышь, за 100 минут - сто мышей.

9. В первую минуту жарим два блинчика с одной

стороны, во вторую минуту дожариваем первый блин

чик с другой стороны и жарим третий блинчик с одной

стороны, в третью минуту дожариваем второй и т

етий

блинчики.

10. Он пересылал Капабланке ходы Ласкера,

а Ласкеру - ходы Капабланки.

11. Кофе выпит один стакан. Молока выпито i +

+ icTaKaHa, то есть тоже один стакан.

12. 3а время, которое понадобится второй мухе,

чтобы проползти от пола до потолка, первая муха про

делает весь путь туда и обратно.

13. Надо разделить кольца на три равные группы.

Первым взвешиванием надо сравнить первую группу

со второй, а вторым - первую группу с третьей.

14. Таких чисел пять.

15. Надо разделить монеты на три равные группы.

355

тветы

. 

"а

Реше

17. Поровну .

18. Это семь, получающееся шестью разными спо

собами: 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2 и 6 + 1. Осталь

ные суммы получаются меньшим числом способов,

а потому менее вероятны.

19. См. задачу 12.

20. Если сумма делится на 3, ее можно составить из

жетонов по 3 тугрика в каждом. Если сумма при деле

нии на 3 дает в остатке 1 (и при этом больше 7), то ее

можно составить из двух жетонов в 5 тугриков и необ

ходимого числа жетонов по 3 тугрика. Если сумма

при делении на 3 дает в остатке 2 (и при этом больше

7), то ее можно составить из одного жетона в 5 тугри

ков и необходимого числа жетонов по 3 тугрика.

21. Первый пришел раньше. Он дольше, чем вто

рой, шел со скоростью 5 км/ч.

22. Второй может выиграть, называя в свой ход

числа, кратные пяти.

23. Первый может выиграть, называя числа, окан

чивающиеся цифрами 4 и 9.

24. 369 страниц.

25. Нет. Концы цепочки должны быть одинаковы:

если не считать дублей, в цепи четное число пятерок и

четное число шестерок.

26. 36.

27. У сестры денег не было.

28. Я поставил часы на 1200, по часам друга опреде

лил пр

лжительн

сть визита к нему, а вернувшись

домой, вычислил продолжительность пути от него до

дома. Например, если, придя к другу, я увидел бы на

его часах время 1000, уходя от него - 1130, а придя к

себе, увидел на своих часах время 1445, то я бы поста

вил на своих часах 1145.

29. Если Андреев и Петров стояли в одном попереч

ном ряду, то Андреев ниже Петрова. Если они стояли

в одном продольном ряду, то Петров выше Андреева.

356

еты

ка

я.

Ре

я.

Если же они стояли в разных поперечных и разных

продольных рядах, то можно найти еника, стояв

шего и

в одном поперечном ряду с Андреевым, и в од

ном продольном ряду с Петровым. Андреев ниже этого

ученика, а Петров выше него. Так что и в этом случае

оказывается, что Андреев ниже Петрова.

30. Андреев выиграл у Борисова и Власова, Г�JOз-

дев проиграл им, Борисов выиграл у Власова.

31. Первая фраза текста была такой:

«Про

�

зведе

ние трех последовательных нечетных двузначных чи

сел равно 12075».

32. Это можно сделать, например, так:,.,

22 14 12

�

8 28 12

.

8 16 24

16 16 16

33. Первый должен взять 5 шариков, а затем до

полнять числа второго до 6.

34. Пешеход придет раньше.

35. Пусть аЬ

а + Ь. Тогда аЬ - а

Ь, а (Ь - 1 )

Ь.

Либо Ь

1, либо а

ь� 1 • Но Ь равняться единице не

может, так как не может а равняться а + 1. Поэтому

а =

�

1 , откуда пол



ается, что Ь делится на Ь -1. Это

возможно при Ь = О (и а

о), а также при Ь = 2 (и а = 2).

Отв

ет: О и о; 2 и 2.

36. Это может произойти, если между приходом

маршрута

N2 2

и N2 1 проходи больше времени, чем

между

приходом маршрута

N2 1 и N2 2. То есть, напри

мер

, при таком расписании:

1: 8.00 8.04 8.08 ..

N2 2: 8.01 8.05 8.09 .. .

357

тв

. Уааа



uя. Р



uя

37. в четыре взвешивания. Первым взвешиванием

нужно сравнить две группы по 27 колец в каждой.

38. В три взвешивания. Первым взвешиванием на

до сравнить две группы колец по 20 в каждо

40. Надо положить на одну чашу весов одну мо

нету из первого мешка, две монеты из второго меш

ка, ... , девять монет из девятого мешка и десять мо

нет из десятого мешка и все их взвесить. Если бы все

монеты были настоящие, их масса равнялась бы

550 г, а в нашем слае она будет отличаться от этой

массы на столько граммов, сколько на весах ненасто

ящих монет. Но это число и есть номер мешка, из ко

торого они взяты.

. Дело в том, что общее число р укопожатий; сде

ланных отдельными людьми, всегда четно, так как

каждое рукопожатие можно считать за два, сделан

ные двумя людьми.

43. Зная, что черных колпаков всего два, и видя

перед собой два белых колпака, человек может рас

суждать так. Если бы на мне был черный колпак,

то

один из моих соседей видел бы один черный

кол

пак

и один белый и мог бы рассуждать так: если бы

на· мне был черный колпак, то тот, на ком белый,

видел бы два черных колпака и сразу сказал бы, что

на нем белый колпак, а раз он молчит, то на мне бе

лый колпак. Но он молчит, и значит, на мне белый

колпак.

. Каждый вопрос должен отсеивать половину чи

сел. Например, первы

й вопрос может быть таким: де

лится ли задуманное число на два"? или: задуманное

число больше, чем 5001

46.

Каждый сеанс должен занимать 1 час. 50 минут.

47.

Это может быть Северный полюс, а также лю

бая точка вблизи Южного полюса, находящаяся на

100 км

севернее

широты, имеющей длину

l�O

км, где

n -натуральное число.

358

тветы

"а

ак

Реш

�

48. 64 ·

0 =

1600 способами.

49. Выиграет первый, если он вынет из второго

ящика 30 шариков и в дальнейшем каждым своим хо

дом будет уравнивать число шариков в ящиках.

51. Достаточно.

52. Достаточно.

53. Необходимо.

54. Необходимо и достаточно.

55. Необходимо.

56. Необходимо и достаточно.

57. Четверг.

58. 8 карандашей дороже, чем 9 тетрадей.

60. Обозначим буквами неизвестные числа:

Так как 6 + а

+ Ь + с, то с

6; точно так же

вычисляем, что f

6, h

6, k = 6. Так как 4 +

+ i

h + i + j, то j

4; точно так же вычисляется, что

4, е

4, Ь

4. Атак как сумма любых трех сосед

них чисел равна 15, то а = d

62. Через 19 дней.

63. Нужно измерить высоту одного кирпичного

слоя вместе со слоем извести, а затем подсчитать чис

ло слоев в доме.

64. 24.

65. Нужно сделать развертку куба и провести на

ней по линейке отрезок .

67. Будем считать, как обычно, что начало века -

1 января 2000 года, 2100 и т. д. годов. 1 января 2000 г. -

суббота. В ХХI веке сто лет, из них 25 високосных и

75 невисокосных. В каждом високосном году 52 неде

ли и 2 дня, а в невисокосном 52 недели и 1 день. Зна

чит, в ХХI веке некоторое число полных недель и еще

6 дней. Поэтому 1 января 2100 года - пятница. Так

как 2100, 2200 и 2300 годы не считаются високосны-

359

тв

. У"

ани

я.

ени

ми по нашему григорианскому календарю (чем он и

отличается от старого юлианского), то в ХХII, ХХIII и

XXIV

веках - на один день меньше, чем в ХХI веке.

По

этому 1 января 2200, 2300 и 2400 годов - соответ

ственно среда, понедельник и суббота. 2400 год - снова

високосный, и следующие 400 лет повторяют преды

дущие. Итак, век может начинаться только понедель

ником, средой, пятницей или с

бботой.

68. 50 к

р и 50 кроликов.

69. 70% .

70. 18,76 км/ч.

72. 3

носка.

73. 16 перчаток.

74. 15 яиц.