Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика. 1-5 классы
Подождите немного. Документ загружается.
Глава первая. Натуральные числ
а
Признаки делимости на 2 и на 3 мы уже знаем.
А как узнать, делится ли число на 4? Можно ли это
узнать по сумме цифр? онечно, нет: число 1111
не делится на 4, хотя сумма его цифр равна четырем;
а число 16 делится на 4, хотя сумма его цифр равна се
ми. Тогда, может быть, делимость на 4 зависит от по
следней цифры? Тоже нет: 14 не делится на 4, а 36 де
лится. И это неудивительно. Ведь мы уже знаем, что
по последней цифре можно определить, делится ли
число на какой-нибудь делитель числа 10. А число 4
не является делителем числа 10
.
Но зато 4 - делитель
следующей разрядной единицы - числа 100. А зна
чиT' 4 -делитель любого числа, состоящего из сотен
(то есть кончающегося не меньше чем на два нуля:
700, 1
3
00000, 17098000 и так далее).
Всякое число складывается из какого-то числа сотен
и какого-то числа единиц: в числе 207 - две сотни
и семь единиц; в числе 3898 - тридцать восемь сотен
и девяносто восемь единиц; в числе 112 - одна сотня
и двенадцать единиц; в числе 1300 - тринадцать сотен
и нуль единиц; в числе 6 - нуль сотен и шесть единиц.
И так как любое число сотен делится на 4, то все число
делится или не делится на 4 в зависимости от того,
сколько в нем единиц сверх целого числа сотен. Иначе
говоря, все дело в том, делится ли на 4 число, записы
ваемое двумя последними цифрами данного числа.
Данное
Число,
Делится ли
число
записываемое
данное число
последними
на 4
двумя цифрами
207
07 = 7
нет
3898
98
нет
112
12
да
1300
00 =0 да
6
6
нет
141
Глава первая. Натуралькые числа
Мы получили при
з
на
к
д
елимости на
4:
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда
на 4 делится число, записываемое двумя его по
следними цифрами.
Понятно, что от двух последних цифр зависит де
лимость не только на 4, но и на любой делитель числа
100. Например, число делится на 25 тогда и только
тогда, когда оно оканчивается на 00, 25, 50 или 75.
I
Зада
ча. Как сформулировать признаки делимости
на 20, на 50 и на 100?
Еще
з
адача. Число 199* делится на 4. Какой может
быть цифра, замененная звездочкой? Тот же вопрос
для числа 20*8.
I
Пойдем дальше по ряду чисел первого десятка. При
знак делимости на 5 нам известен. Займемся числом 6.
Так как 6 = 2· 3, то признак делимости на 6 должен
быть как-то связан с делимостью на 2 и на 3. Ясно, что
если число делится на 6, то оно делится и на 2, и на 3.
Ведь, например, 216 : 6 = (216 : 3) : 2 = (216 : 2) : 3. Итак,
если число делится на 6, оно должно оканчиваться
на четную цифру (О, 2, 4, 6 или 8), а сумма его цифр
должна делиться на 3.
Задача. Почему число 118 не делится на 6? Почему
число 11 не делится на 6?
I
А правда ли, что если число делится на 2 и на 3, то
оно делится на 6? Вопрос этот не такой простой, как
кажется. Если число делится на два различных чис
ла, оно вовсе не обязано делиться на их произведение.
142
Глава первая.
н
атурал
ыеe
ч
u
сла
Например, число, кратное 6 и кратное 8, не обяза
тельно будет делиться на 48.
Задача. Придумать число, которое делится и на 6,
и на 8, но не делится на 48.
Но числа 2 и 3 в этом смысле очень хорошие: если
число делится и на 2, и на 3, то оно делится и на их
произведение, на 6. Попробуем разобраться, почему
это так. Предположим, что число а делится и на 2,
и на 3. Разделим его на 3:
а: 3 = Ь
.
Тогда а = 3· Ь. Значит, а = Ь + Ь + Ь. Может ли число
Ь оказаться нечетным? Нет, не может: если бы Ь было
нечетным, то и сумма Ь + Ь + Ь была бы нечетной,
то есть тогда число а не делилось бы на 2; а оно на 2 де
лится. Значит, Ь - четное число, поэтому Ь можно
разделить на 2:
Ь: 2 = с.
Мы получили, что Ь = с + с.
А тогда а = Ь + Ь + Ь = с + с + с + с + с + с.
Число а разделилось на 6!
И вот при
з
нак делимости на 6:
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда
оно оканчивается на четную цифру, а сумма его
цифр делится на 3.
Задача. Найди наименьшее число, записанное
только единицами и нулями, которое делится на 6.
Следующее число - 7. Признак делимости на него
довольно труден. И его нельзя применить к числам,
143
Глава первая. Натуралькые
u
сла
меньшим 1000. Для двузначных и трехзначных чи
сел делимость на 7 приходится проверять прямым де
лением. Мы сформулируем этот признак в виде пра
вила: чтобы узнать, делится ли многозначное число
на 7, нужно отделить от него три знака справа; полу
чится два числа, одно из которых трехзначное; затем
от большего из этих чисел надо отнять меньшее; ис
ходное число делится на 7 тогда и только тогда, ког
да полученная разность делится на 7. Вот примеры.
1. Возьмем число 8561. Отделим от него последние
три знака:
8
1
56 1.
Мы получили числа 8 и 561. Вычтем из большего
меньшее: 561 - 8 = 553. Проверим, делится ли полу
ченная разность на 7. 553 : 7 = 79. Значит, число 8561
делится на 7.
2. Возьмем число 1001999. Отделим от него послед
ние три знака:
1 О 01
1
999.
Мы получили числа 1001 и 999. 1001 - 999 = 2.
2 на 7 не делится. Значит, число 1001999 не делит
ся на 7.
3. Возьмем число 123456789. Отделим от него по
следние три знака:
1 23456
1
789.
Мы получили числа 123456 и 789. 123456 - 789 =
= 122667. Чтобы узнать, делится ли эта разность на 7,
при мени м признак делимости еще раз:
122
1
667.
667 - 122 = 545. 545 : 7 = 77 (ост. 6). Значит, число
123456789 на 7 не делится.
I
Задача. Докажи, что шестизначное число, в кото
ром сотен тысяч столько же, сколько сотен, десятков
144
Глава первая. На
m
уральые числа
тысяч столько же, сколько десятков, а тысяч столько
же, сколько единиц, делится на 7.
I
Из чисел первого десятка осталось только число 8
(делимость на 9 и на 10 мы уже разобрали). При
знак делимости на 8 похож на признаки делимости
на 2 и на 4.
2 - делитель числа 10. Делимость на 2 зависит от
одной последней цифры числа.
4 - делитель числа 100. Делимость на 4 зависит от
д
в
ух
последних цифр числа.
8 - делит
е
ль числа 1000. Делимость на 8 зависит
от трех последних цифр числа.
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда
делится на 8 число, записываемое тремя последни
ми его цифрами.
I
З
адача. Какие из чисел от 7815211 до 7815230 де
лятся на 8?
Еще зада
ч
а. Придумай признаки делимости на 125,
на 40 и на 500.
И еще задача. Придумай признак делимости на 16.
Перед нами прошли признаки делимости на числа
первого десятка. Чтобы сформулировать признак де
лимости на какое-нибудь число, мы пользовались
тем, что оно является делителем хорошего числа:
числа 10 (2, 5, 10), числа 9 (3, 9), числа 100 (4), чис
ла 1000 (8). А число 7? Чьим делителем оно являет
ся? Оказывается, признак делимости на 7 получается
из того, что на 7 делится число 1001. Но число 1001
делится не только на 7. Легко убедиться, что 1001 =
=
7·1 1· 13. Значит, число 1001 делится на 7, на 11,
145
Глава первая. Натуральые числа
на 13, на 77, на 91, на 143 и, конечно, на 1001. Про
верять делимость на каждое из этих чисел можно тем
же способом, что и делимость на 7.
Например, можно доказать этим способом, что
число 13596407 делится на 11:
1 3 596
1
4 О 7; 13596 - 407 = 13189.
1 з
1
1 89; 189 - 13 = 176. 176 : 11 = 16.
Но есть и другой признак делимости на 11, проще
этого. С его помощью можно проверять делимость на
11 любых чисел, а не только тех, которые больше 999.
Чтобы узнать, делится ли число на 11, нужно
1) найти сумму цифр, стоящих на нечетных местах
(на местах единиц, сотен, десятков тысяч и так далее);
2) найти сумму цифр, стоящих на четных местах
(всех остальных цифр);
3) найти разность полученных сумм.
Если эта разность делится на 11, то и число делит
ся на 11.
Докажем по этому правилу делимость на 11 того
же числа 13596407.
1) Найдем сумму цифр, стоящих на нечетных ме
стах:
7 + 4 + 9 + 3 = 23;
2) найдем сумму цифр, стоящих на четных местах:
0+6 + 5 + 1 = 12;
3) найдем разность этих сумм:
23 -12=11.
Так как разность делится на 11, то и само число де
лится на 11.
А вот простенькое правило делимости на 19: число
делится на 19, если число его десятков, сложенное
с удвоенным числом его единиц, делится на 19. На
пример, у самого числа 19 1 + 2 • 9 = 19.
Использование делимости чисел позволяет пока
зывать числовые фокусы.
146
Глава первая. Натуралькые ч
u
сла
Фокус первый. Попроси одного из твоих знакомых
написать на листочке бумаги любое трехзначное чис
ло. Пусть он передаст эту запись другому. Того по
просите приписать к этому числу такое же число
и передать запись третьему. Пусть третий разделит
полученное шестизначное число на 7 и передаст ре
зультат четвертому. Пусть четвертый разделит этот
результат на 11 и передаст результат пятому. Пятый
пусть разделит результат на 13 и передаст результат
снова первому. Первый с изумлением обнаружит, что
ему отдали задуманное им число.
Например, если первый напишет число 584, то со-
бытия будут развиваться так:
1-й: 584,
2-й: 584584,
3-й:
584584 : 7 = 83512,
4-й:
83512 : 11 = 7592,
5-й:
7592 : 13 = 584.
В этом фокусе удивляет не только то, что получает
ся первоначальное число. Непонятно и то, почему
«( фокусник»
уверен, что неизвестные ему числа не
пременно будут делиться на 7, на 11 и на 13 - это бы
вает не так уж часто.
Разгадка в том, что, заменяя число 584 числом
584584, второй участник умножил 584 на 1001:
584584 = 584
•
1001. А 1001 как раз и равно произве
дению чисел 7, 11 и 13. Так что 3-й, 4-й и 5-й раздели
ли число (584 • 1001) на 1001, отчего и получился от
вет 584.
147
r
лава
п
ервая. Натуралькые числа
Ф
о
ку
с второй. Попроси товарища записать любое
число, затем найти сумму его цифр, затем вычесть
из числа сумму его цифр, затем в полученной разно
сти зачеркнуть любую цифру, кроме нуля. Пусть те
перь он сообщит получившееся число. И ты сразу ска
жешь, какую цифру он зачеркнул.
Например, он задумал число 5912, нашел сумму
цифр 17, вычел ее из задуманного числа: 5921 - 17 =
=
5904, зачеркнул четверку и сообщил результат 590.
Ты складываешь 5 + 9 + О = 14 и сообщаешь, что за
черкнута цифра 4.
Разгадка фокуса в том, что задуманное число и
сумма его цифр дают одинаковые остатки при деле
нии на 9. Значит, их разность делится на 9, поэтому
сумма цифр этой разности делится на 9. В нашем при
мере сумма незачеркнутых цифр 14 и ближайшее
большее число, делящееся на 9,- 18. Значит, зачерк
нута цифра 4. А как быть, если сообщенное число уже
делится на 9? Тогда зачеркнута девятка, так как нуль
зачеркивать нельзя.
Задачи
1. Можно ли разложить 11 орехов на 2 кучки так,
чтобы в каждой кучке число орехов было нечетным?
2. Можно ли разложить 11 орехов на 2 кучки так,
чтобы в каждой кучке число орехов было четным?
3. Можно ли разложить 30 орехов на 3 кучки так,
чтобы в каждой кучке число орехов было нечетным?
4. Число 82** делится на 90. Найди частное.
148
Глава первая.
н
атурал
ыеe
исла
5. Кассир подсчитал стоимость 3 кг мяса, 1 кг сыра
за 30 рублей и 9 пачек мороженого. У него получилось
127 рублей. Докажи, что кассир ошибся.
6. Сумма двух чисел нечетна. Может ли их произ
ведение быть нечетным?
7. Требуется узнать, делится ли на 3 сумма чисел
28, 31, 61, 92 и 120. Можно ли это сделать, не склады
вая сами числа?
8. К двузначному числу прибавили 5 - сумма ока
залась кратной пяти. От того же числа отняли 3 -
разность оказалась кратной трем. Когда это же число
разделили на 2 - частное оказалось кратным двум.
Что это за число?
9. Коля и его бабушка празднуют свой день рожде
ния в один и тот же день. Мама сделала в этот день
торт, а бабушка написала на нем кремом число 1 О -
столько исполнилось Коле. Тогда Коля приписал тем
же кремом к числу 10 справа и слева по одной цифре,
так что получилось четырехзначное число, делящееся
на 72,- на возраст бабушки. Какое число оказалось
на торте?
149
r
лава первая. Н
а
тур
а
лькые ч
исл
а
10. Какое число при делении на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
и 1 О каждый раз дает в остатке единицу?
11. Старинная китайская задача. Имеются вещи.
Число их неизвестно. Если считать их тройками, то
остаток 2; если считать пятерками, то остаток 3; если
считать их семерками, то остаток 2. Спрашивается,
сколько вещей?
12. Две задачи из
«( Арифметики»
л. Магницкого.
1. Найти число, которое при делении на 2 дает
в остатке 1, при делении на 3 дает в остатке 2, при де
лении на 4 дает в остатке 3, при делении на 5 дает
в остатке 4.
2. Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, со же
ною выпьет тое же кадь в 10 дней, и ведательно знать,
в колико дней жена его особо выпьет тое же кадь.
13. Какое наименьшее число обладает следующи
ми свойствами: оно записывается только цифрами 3
или 7; оно делится на 3 и на 7; сумма его цифр делит
ся на 3 и на 7?
14. Какое наименьшее число в сумме с числом 7 де
лится на 7, в сумме с числом 19 делится на 19, после
уменьшения на 1 7 делится на 17, а после деления на
11 делится на 11 ?
15. Найди наименьшее число, которое при делении
на 2, на 3, на 4, на 5 и на 6 дает остаток 1, а на 7 делит
ся без остатка.
16. Найди остаток от деления на 9 произведения
все.х последовательных чисел от 9991 до 9998.
150