Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика. 1-5 классы

Подождите немного. Документ загружается.

Глава первая. Натуральые числа

После четырех вычеркиваний в таблице остались

все простые числа первой сотни и не осталось никаких

других чисел:

Простые числа первой сотни - это 2, 3, 5, 7, 11, 13,

17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73,

79, 83, 89 и 97 - всего 25 чисел.

Вопрос: а если бы нам нужно было найти простые

числа не между числами 1 и 100, а между числами 1 и

50 - сколько бы шагов понадобилось? Как ни стран

но, столько же! Правда, на четвертом шаге нам оста

лось бы вычеркнуть всего одно число: 7·7 = 49. А вот

если искать простые числа от 1 до 40 - понадобится

на один шаг меньше: мы вычеркнем числа, кратные

двум, кратные трем и кратные пяти. Числа, кратные

семи, вычеркивать уже не придется.

Задача. Если проверять делимость на 2, на 3 и на 5,

то самое большое число, о котором можно точно ска

зать, что оно простое, - это 47. Для этого надо приме

нить решето Эратосфена к промежутку от 1 до 48. Ес

ли проверять еще и делимость на 7, то можно взять

промежуток от 1 до 120, и тогда самое большое про

стое число, до которого мы доберемся, будет 113. А до

какого самого большого простого числа можно до

рраться,

если проверять еще и делимость на 11?

6-22

161

Глава первая. На

уралькые

u

сла

вообще, прекращать вычеркивания надо в тот мо

мент, когда квадрат первого из оставшихся чисел (его

произведение самого на себя) выйдет за пределы наше

го промежутка. Например, если взять промежуток от

1 до 200 - понадобится шесть шагов: мы вычеркнем

числа, кратные двум, трем, пяти, семи, одиннадцати и

тринадцати; первое из оставшихся чисел - 17, так как

17 ·17 = 289, а это число больше, чем 200.

Задача. Проверить с помощью решета Эратосфена,

что среди чисел от 1 до 200 простых чисел 46.

Если же взять промежуток от 1 до 1000, понадобит

ся одиннадцать шагов: вычеркиваются числа, кратные

двум, треМ, ПЯТ

, сеМи, одиннадцати, тринцати, сем

надцати, девятнадцати, двадцати трем, двадцати девя

ти и тридцати одному. Не так уж много времени требу

ется, чтобы найти все простые числа первой тысячи!

Вот их список.

ТАБЛИЦА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ ОТ 1 ДО 1000

101

103

107

109

113

127

131

137

139

149 151

157 163

167

173

179

181

191

193

197

199

211 223

227

229

233

239

241

251 257

263

269 271 277 281

283

293

307

311

313

317

331

337

347

349

353 359

367

373

379

383 389

397

401

409

419

421

431 433

439

443

449

457

461

463

467

479

487

491

499 503

509

521 523

541

547 557

563

569

571

577

587 593

599

601

607

613

617

619

631 641

643

647

653 659

661

673

677

683

691

701

709

719

727

733

739 743

751

757

761

769

773

787

797

809 811

821 823 827

829

839 853

857

859

863

877

881

883

887

907 911

919

929

937 941

947

953

967 971

977

983

991 997

162

Глава пе

вая

Натуральные исла

Любое число, кроме 1,-либо простое, либо состав

ное. Но оказывается, что всякое составное число мож

но разложить на простые множители - записать его

в виде произведения простых чисел.

Например

, 4 = 2·2, 6 =

2·3, 8 = 2·2·2, 9 = 3·3,

10 = 2·5. Конечно, можно записать и так: 10 = 5·2.

Но обычно простые множители записывают в поряд

ке возрастания: от меньших к большим.

Если нужно разложить на простые множители

большое число, пользуются таблицей простых чисел

и признаками делимости. Для примера возьмем чис

ло 47580.

Первое простое число в таблице - это 2. Число

47580 делится на 2 (оно оканчивается четной циф

рой):

47580 : 2 = 23790, а значит, 47580 = 2·23790.

Теперь посмотрим на число 23790. Оно делится на

2 (оно оканчивается четной цифрой):

23790 = 2 · 11895, а значит, 47580 = 2·2 · 11895.

Число 11895 уже не делится на 2 (оно оканчивается

нечетной цифрой). Посмотрим, делится ли оно на сле

дующее простое число - на 3. Применим признак де

лимости на 3: 1 + 1 + 8 + 9 + 5 = 24, 2 + 4 = 6, 6 делит

ся на 3. Значит, 11895 делится на 3:

11895 = 3·3965, а значит, 47580 = 2·2·3·3965.

3965 уже не делится на 3

•

3 + 9 + 6 + 5 = 23, 2 + 3 =

= 5). Следующее простое число - 5. 3965 оканчивает

ся цифрой 5, поэтому оно делится на 5 :

3965 = 5·793, поэтому 47580 = 2·2·3·5·793.

793 не делится на 5: оно оканчивается цифрой 3.

Следующее простое число - 7. 793 и на него не де

лится. Может быть, 793 - простое число? Нет, в таб

лице простых чисел его нет. Поэтому продолжаем

проверку.

163

Глава пе

вая. Натуральные числа

Следующее простое число - 11. Вспомним при

знак делимости на 11: 3 + 7 = 10; 10 - 9 = 1; 1 на 11

не делится. Значит, 793 не делится и на 11. Следую

щее простое число - 13.

793 

78 61

Ура, разделилось! Оказывается,

793 = 13 · 61, а значит, 47580 = 2·2·3·5 ·13·61.

Заглядываем в таблицу простых чисел - и видим,

что число 61 - простое. Работа закончена. Ее приня

то оформлять так:

47580 2

23790

11895

3965

47580=2·2·3·5·13 · 61.

793

Конечно, не обязательно раскладывать это чис

ло на простые множители именно в таком порядке.

Например, можно заметить, что 47580 = 10 · 4758;

10 = 2·5, поэтому достаточно разложить на простые

множители число 4758:

4758

2379

3 47580=2·5·2·3·13·61

793

Если теперь переписать множители в порядке воз

растания, то получим тот же результат: 47580

=2·5

·2·3·13·61.

164

Глава первая

На

уралькые числа

Задача. Разложи на простые множители числа:

120, 175, 343.

Всякое число можно представить в виде суммы еди

ниц, при этом каждое слагаемое дальше в сумму уже

не раскладывается (если потребовать, чтобы среди сла

гаемых не было нулей). Точно так же всякое составное

число можно представить в виде произведения про

стых чисел, при этом каждый множитель дальше

в произведение уже не раскладывается (если потребо

вать, чтобы среди множителей не было единиц). Про

стые числа - это как бы кирпичики, из которых мож

но построить любое составное число. Возможно, их

поэтому и называют простыми. Хотя изучение про

стых чисел - одна из самых сложных областей в мате

матике. Начать с того, что их расположение в ряду на

туральных чисел не подчиняется никакому порядку.

Четные числа идут через одно, нечетные - тоже. Чис

ла, кратные пяти, идут через четыре числа. Числа

квадраты (l = 1· 1; 4 = 2·2; 9  3· 3; 16 = 4·4 и так

далее) тоже идут в определенном порядке:

4 = 1 + 3;

9 = 4 + 5;

16 = 9 + 7;

25 = 16 + 9, -

вообще, чтобы получить следующий квадрат, надо

к предыдущему прибавить очередное нечетное число.

А вот простые числа располагаются в числовом ряду

как хотят. Ну конечно, они не могут стоять рядом, ес

ли только это не пара 2 и 3. Ведь из двух соседних чи

сел одно обязательно четное, а единственное четное

простое число - это 2. Но во всем остальном - пол

ная свобода. Простые числа могут стоять через од

но - тогда их называют близнецами: это 3 и 5, 5 и 7,

165

Глава первая. Натуралькые ч

сла

11 и 13, 17 и 19, 29 и 31 и так далее. Близнецов разде

ляет только одно составное число. Их легко обнару

жить в таблице простых чисел. Но из той же таблицы

видно

, что числа 113 и 127 отделены друг от друга це

лой чертовой дюжиной - тринадцатью составными

числами. Оказывается, в числовом ряду можно найти

отрезок любой длины, сплошь заполненный состав

ными числами. Только представить себе: миллионы,

миллиарды подряд идущих составных чисел. Понево

ле покажется, что простых чисел больше не будет.

Может быть, они когда-нибудь кончатся? Как бы не

так! Еще великий древнегреческий математик Евк

лид, современник Эратосфена, тоже живший в Алек

сандрии, доказал, что никогда они не кончатся. Какое

бы простое число мы ни взяли, утверждает Евклид,

найдется простое число еще больше. Это значит, что

простых чисел бесконечно много.

Поиск простых чисел - дело очень долгое даже

для современных компьютеров. Ведь любое нечетное

число, не оканчивающееся пятеркой, может оказать

ся простым и должно быть про сеяно через решето

Эратосфена. Если число не является простым, через

какое-нибудь отверстие в решете оно обязательно

«( провалится

»:

разделится не на 3 - так на 7, не на

7 - так иа 11 и так далее. На дне решета остаются

только те числа, которые ни на что, кроме себя

и единицы, не делятся,- простые. Ясно, что чем

больше число, тем больше про верок должен произвес

ти компьютер. Так было, например, выяснено, что

простым является вот такое число: 286

43 - 1. Чтобы

найти его, нужно пере множить восемьдесят шесть ты

сяч двести сорок три двойки и от произведения отнять

единицу. В записи этого числа 25962 цифры. И оно

найдено с помощью все того же древнего решета!

Попробуем представить себе, насколько громадно

это число. Для этого поговорим о числе, которое неиз-

166

Глава первая. Натуралькые числа

меримо меньше: чтобы получить его, надо перемно

жить всего-навсего 64 двойки и отнять от произведе

ния единицу. В записи этого числа всего 20 цифр: оно

равно 18 446 744 073 709 551 615. Разумеется, это

число не является простым - это ведь сразу видно!

Но сейчас нам это неважно: мы хотим только попро

бовать вообразить себе его величину. Это число часто

называют «шахматным» и связывают с легендой

об изобретении шахмат. Вот как выглядит эта леген

да в изложении Якова Исидоровича Перельмана.

Шахматы - одна из самых древних игр. Она суще

ствует уже многие века, и неудивительно, что с нею

связаны различные предания, правдивость которых,

за давностью времени, невозможно проверить. Вот од

на из этих легенд. Чтобы понять ее, не нужно уметь

играть в шахматы, а достаточно знать, что эта игра

происходит на доске, разграфленной на 64 клетки.

Шахматная игра была придумана в Индии мудре

цом по имени Сета, и, когда индусский царь Шерам

познакомился с нею, он был восхищен. Царь прика

зал позвать изобретателя игры, чтобы лично награ

дить его.

- Я желаю достойно вознаградить тебя за прекрас

ную игру, которую ты придумал, - сказал царь. -

Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты по

лучишь ее.

Мудрец поклонился и ответил:

- Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок

обдумать ответ. Завтра, по зрелом размышлении, я со

общу тебе мою просьбу.

167

Глава пе

вая. Натуральные 

ела

Когда на другой день Сета снова явился к ступеням

трона, он удивил царя скромностью своей просьбы.

- Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать

мне за первую клетку шахматной доски одно пшенич

ное зерно.

- Простое пшеничное зерно? - изумился Шерам.

- Да, повелитель. За вторую клетку прикажи вы-

дать 2 зерна, за третью 4, за четвертую 8, за пятую 16,

за шестую 32 ...

- Довольно, - с раздражением прервал его царь. -

Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, соглас

но твоему желанию: за каждую вдвое больше предыду

щей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедро

сти. Прося такую ничтожную награду, ты непочтитель

но пренебрегаешь моею милостью. Ступай. Слуги мои

вынесут тебе твой мешок с пшеницей.

Сета с улыбкой поклонился, покинул залу и стал

дожидаться у ворот дворца.

За обедом Шерам вспомнил об изобретателе шах

мат и послал узнать, унес ли уже безрассудный Сета

свою жалкую награду.

- Повелитель, - ответил ему приближенный, -

приказание твое исполняется. Придворные математи

ки исчисляют число следуемых зерен.

Царь нахмурился. Он не привык, чтобы повеления

его исполнялись так медленно.

Вечером, отходя ко сну, Шерам еще раз осведомил

ся, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул

ограду дворца.

168

лава

ервая.

Натуралькые ч

сла

Повелитель, - ответили ему, - математики

твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета

закончить подсчет.

- Почему медлят с этим делом? - гневно восклик

нул царь. - Завтра, прежде чем я проснусь, все до по

следнего зерна должно быть выдано Сете. Я дважды не

прика

зываю.

Утром царю доложили, что старшина придворных

математиков просит выслушать важное донесение.

Царь приказал ввести его.

- Прежде чем скажешь о своем деле,- объявил

Шерам,- я желаю услышать, выдана ли, наконец,

Сете та ничтожная награда, которую он себе назна

чил.

- Ради этого я и осмелился явиться перед тобой

в столь ранний час, - ответил ученыЙ.- Мы добросо

вестно исчислили все количество зерен, которое же

лает получить Сета. Число это так велико ...

- Как бы велико оно ни было, - надменно пере

бил царь, - житницы мои не оскудеют. Награда обе

щана и должна быть выдана ...

- Н в твоей власти, повелитель, исполнять подоб

ные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа

зерен, какое потребовал Сета. Нет его и в житницах

целого царства. Не найдется такого числа зерен и на

всем пространстве Земли. И если желаешь непремен

но выдать обещанную награду, то прикажи превра

тить земные царства в пахотные поля, прикажи осу

шить моря и океаны, прикажи растопить льды и сне

га, покрывающие далекие северные пустыни. Пусть

все пространство их сплошь будет засеяно пшеницей.

И все то, что родится на этих полях, прикажи отдать

Сете. Тогда он получит свою награду.

С изумлением внимал царь словам ученого.

- Назови же мне это чудовищное число, - ска

зал он.

169

Глава пе

вая. Натуральые числа

- Восемнадцать квинтиллионов четыреста со

рок шесть квадриллионов семьсот сорок четыре

триллиона семьдесят три миллиарда семьсот де

вять м и л л и о н о в пятьсот пятьдесят одна т ы с я ч а

шестьсот пятнадцать, о повелитель!

акова легенда. Действительно ли случилось то,

что здесь рассказано, неизвестно. Но награда, о которой

говорит предание, должна была выразиться именно

таким числом. В этом можно убедиться терпеливым

подсчетом.

Начав с единицы, нужно сложить числа 1,

, 4, 8

и так далее. Результат 63-го удвоения покажет,

сколько зерен причиталось изобретателю за 64-ю

клетку доски. Сложив найденные шестьдесят четыре

числа, мы и найдем этот результат:

18 446 744 073 709 551 615.

Можно доказать, что это же число получится, если

перемножить 64 двойки и отнять от результата едини

цу:

- 1.

Чтобы представить себе всю огромность этого чис

лового великана, прикинем, какой величины амбар

потребовался бы для вмещения подобного количества

зерен. Известно, что кубический метр пшеницы вме

щает около 15 миллионов зерен. Значит, награда

шахматного изобретателя должна была занять объем

примерно в 12 000 000 000 000 кубических метров,

или

2000 кубических километров. При высоте амба

ра 4 метра и ширине 1 О метров длина его должна бы

ла бы составить 300 000 000 километров - вдвое

больше расстояния от Земли до Солнца!

Шерам не в состоянии был выдать подобной нагры.

Но он легко мог бы освободиться от столь обремени

тельного долга. Для этого нужно было лишь предло

жить Сете самому отсчитать себе зерно за зерном всю

причитающуюся ему пшеницу.

170