Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика. 1-5 классы

Подождите немного. Документ загружается.

Глава первая. Натуралькые числа

в самом деле: если бы Сета работал непрерывно день

и ночь, отсчитывая по одному зерну в секунду, он за ми

нуту отсчитал бы 60 зерен, за час 60 ·60 = 3600 зерен,

а за сутки 3600 ·24 = 86400 зерен. Чтобы отсчитать

один миллион зерен, потребовалось бы более 10 суток

непрерывного счета (разделите на микрокалькуляторе

1000000 на 86400, и вы получите 11,574074 - более

11,5 суток). Один кубический метр (около 15 миллио

нов зерен) Сета отсчитал бы примерно за полгода.

За год -

кубических метра. В кубическом киломе

тре - миллиард кубических метров, поэтому на от

счет одного кубического километра потребовал ось бы

полмиллиарда лет! А требуется 12000 кубических ки

лометров ... Так что, даже посвятив этому делу всю

свою жизнь, Сета получил бы лишь ничтожную кру

пицу потребнной им награды. На это не хватило

бы даже времени жизни нашей Земли: по мнению

ученых, она существует всего-навсего около трех

миллиардов лет.

Вот так рассказал эту легенду я. и. Перельман

в своей книге

«Живая математика».

Эта его книга,

а также «Занимательная арифметика», «Заниматель

ная

геометрия» и другие недавно снова изданы. Очень

советуем их почитать.

Теперь уже понятно, что если так огромно шахмат

ное число, равное

- 1, то простое число

- 1 во

обще трудно себе представить. И все-таки существует

простое число, еще большее, чем

- 1. Чтобы до

казать это, перемножим все простые числа от

до

86243

- 1 и, обозначив это произведение буквой р,

прибавим к нему 1:

р + 1 =

•

...

•

(

- 1) +

Число Р больше каждого из перемноженных про

стых чисел и делится на любое из них. Поэтому число

р + 1 тоже больше каждого из простых чисел от

171

Глава первая. На

ура

ЛЬ

ые числа

до 286243 - 1, но оно не делится ни на одно из них (при

делении на любое из них дает в остатке единицу). Чис

ло р + 1 может оказаться либо простым, либо состав

ным. Если оно простое, то оно и есть простое число

большее, чем 286243 - 1. Если же оно составное, то его

можно разложить на простые множители, среди кото

рых нет ни одного из простых чисел от 2 до 286243 - 1

(ведь ни на одно из них число р + 1 не делится!). А зна

чит, и в этом случае существует простое число боль

шее, чем 286243

Именно таким способом доказал великий Евклид

в 111 веке до нашей эры бесконечность ряда простых

чисел.

Задачи

1. Сколько существует четных простых чисел?

Сколько существует простых чисел, кратных числу

17? А кратных числу 18?

2. Расшифруй равенство

+ 9

, в кото

ром слагаемые - простые числа.

3. Есть только два таких простых числа, у которых

их сумма и разность - тоже простые числа. Что это

за числа? Более трудный вопрос: почему нет других

таких чисел?

4. В каких десятках первой сотни имеется ровно

три простых числа?

5. Есть ли в первой сотне такой десяток, в котором

ровно одно простое число?

6. Четырехзначное число, у которого все цифры

одинаковы, имеет ровно два простых делителя. Что

это за число?

7. Сколько различных делителей у числа 6? У чис

ла 7? У числа 8? У числа 9? У числа

3. 34?

8. Может ли сумма трех последовательных нату

ральных чисел быть простым числом? А четырех?

172

Глава первая

. На

ура

ль

ые чис

9. К двузначному числу приписали такое же число.

Может ли получившееся четырехзначное число быть

простым?

1 о. Какое двузначное простое число при умноже

нии на 9 дает в произведении трехзначное число, за

писываемое одинаковыми цифрами?

11. Докажи, что остаток от деления простого числа

на 30 -либо простое число, либо 1.

12. Числа 3, 5 и 7 - три последовательных нечет

ных простых числа. Существует ли еще такая тройка

чисел?

Гл

ава вторая

ро

би с

на

ков

ым

зна

нат

ми

о сих пор мы говорили о числах,

с помощью которых считают пред

меты: 1, 2, 3, 4 и так далее. Это -

натуральные числа.

Но бывает, что предмет делят на

части.

Вот два разбойника делят добы

чу пополам. Каждый говорит: дай мне мою половину.

А если бы разбойников было три, каждый требовал

бы себе свою треть.

Половина и треть - это дроби. Записываются они

так. Сначала ставится черта дроби. Потом пишутся два

числа: числитель выше черты дроби и знаменатель ни

же черты дроби. Знаменатель показывает, на какое

число равных частей разделен тот или иной предмет,

а числитель - сколько таких частей берется.

Например, половина записывается так: !. Здесь

знаменатель 2 показывает, что разбойники делят до

бычу на две равные части. А числитель 1 показывает,

что каждый разбойник может взять себе одну такую

часть.

Точно так же

- это одна треть - часть, кото

рую может взять себе каждый разбойник, если добы

чу делят на троих. Заметим, что если один разбойник

возьмет себе

добычи, то остальным двум останутся

две трети:

и они будут делить их пополам, по

каждому.

174

Глава в

орая

. Д

ро

би

Как двоим разбойникам разделить добычу попо

лам, чтобы никто не обижался на другого? Это можно

сделать так: один делит на две такие части, что он

согласен взять себе любую из них, а другой выбирает

ту часть, которая ему больше понравилась.

А как разделить добычу между тремя разбойника

ми? Эта задача посложнее.

Задача. Подумай, как разделить добычу между

тремя разбойниками, чтобы никто не обижался на

других.

Числа изображаются точками на координатной пря

мой. Чтобы изобразить натуральное число 5, нужно от

ложить от нуля вправо пять единичных отрезков:

Откладывая от нуля вправо целое число единич

ных отрезков, можно изобразить любое натуральное

число: отложим 39 отрезков - получим число 39, от

ложим 9999 отрезков - получим число 9999. Но на

прямой очень много точек, которые не изображают

никаких натуральных чисел. Например, точки А, В и

С на этом рисунке:



Точка А получилась так: единичный отрезок разде

лили на четыре равные части и взяли одну такую

часть. Поэтому точка А изображает число, которое

можно записать так: t.

Точка В изображает число i, так как единицу раз

дели на четыре равные части и взяли три такие части.

175

Глава в

ая.

роби

Точка С изображает число !, так как единицу разде

лили на четыре равные части и взяли пять таких частей.

Вообще, если разделить единичный отрезок на n

равных частей и отложить от нуля вправо т таких ча

стей, то получится точка, изображающая дробь



�

акие

деиствия можно выполнять с натуральными

числами?

Их можно:

- сравнивать: 7> 2, 3 < 5, 4 = 4;

- складывать: 6 + 8 = 14;

- вычитать: 74 - 53 = 21;

- умножать: 3·9 = 27;

- делить: 44 : 2 = 22.

При этом сравнить, сложить или перемножить

можно любые два натуральных числа. Вычесть мож

но только из большего числа меньшее. А разделить

одно число на другое можно только тогда, когда пер

вое делится на второе.

Те же действия можно выполнять и с дробями.

Здесь даже больше возможностей: оказывается, де

лить дроби можно всегда (если, конечно, делитель -

не нуль).

Проще всего выполнять действия с дробями, когда

у них одинаковые знаменатели. В этом случае их лег

ко сравнивать, складывать и вычитать. Научившись

это делать, можно сравнить, сложить или вычесть лю

бые дроби, приведя их сначала к одинаковому знаме

нателю.

Итак, начнем.

Сравнение, сложение и вычитание дробей с одина

ковыми знаменателями как две капли воды похожи

на эти же действия с натуральными числами.

Сравним, сложим и вычтем t и * - две седьмых и

четыре седьмых.

Для этого сначала сравним, сложим и вычтем 2 ве

щи и 4 вещи. Конечно, мы будем считать, что все эти

176

Глава в

орая.

роб

вещи - одинаковые. Но точно так же и все седьмые

должны быть одинаковые - это седьмые доли одной и

той же единицы.

2 вещ

< 4 веще

2 седьмых < 4 седьмых

2 вещ

+ 4 вещ

= 6 веще

2 седьмых + 4 седьмых = 6 седьмых

4 вещ

-2 вещ

= 2 вещ

4 седьмых -2 седьмых = 2 седьмых

Вещи могут быть любые: кирпичи, столы, яблоки.

И вместо седьмых долей можно брать любые: четыр

надцатые, сотые, двадцать восьмые. Лишь бы вещи

были одинаковые; лишь бы доли были одинаковые.

Пока мы не знаем отрицательных чисел и не берем ну

лей, мы можем сказать так:

2 чего угодно

4 того же самого;

2 чего угодно

4 того же самого = 6 того же самого;

4 чего угодно -2 того же самого = 2 того же самого.

Мы можем даже не интересоваться, какие вещи

сравниваются, складываются и вычитаются - лишь

бы они были одинаковые.

Вот и при сравнении, сложении и вычитании дро

бей с одинаковыми знаменателями мы можем не обра

щать внимания на знаменатели - лишь бы они были

одинаковые. Сравнивать, складывать и вычитать мы

будем числители:

�

�, так как 2



2 +4



7 7



7 7

Сравнивать, складывать и вычитать дроби с одина

ковыми знаменателями можно и с помощью коорди

натной прямой. Возьмем две дроби с одним и тем же

знаменателем 7 и с числителями 2 и 4: дробь� и дробь

�. Изобразим их на координатной прямой. Для этого

придется разделить отрезок от О до 1 на 7 равных от

резков (длина каждого из них будет равна t). Чтобы

177

Глава в

ая.

роби

получить изображение числа " отсчитаем вправо от

нуля 2 таких отрезка. Чтобы получить изображение

числа �, отсчитаем вправо от нуля 4 таких отрезка.

Так как 4 > 2, то дробь � окажется правее дроби ,.

И при этом дробь � больше дроби " так как она состо

ит из большего числа одинаковых частей, равных t.



Если такой способ сравнения не кажется убеди

тельным, то представим себе другое: не числовую пря

мую, а праздничный пирог, разрезанный на 7 равных

частей. Ясно, что 4 такие части больше, чем 2 такие

же части: � >�.

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями

больше та, у которой больше числитель.

На математический язык это правило пере водится

в виде такой формулы:

(

�>�) <

> (а > Ь)

Найдем теперь сумму дробей с одинаковыми зна

MeHaTeляMи - дробей, и t.

Для этого изобразим дробь

,на координатной прямои и продвинемся от нее впра

во Ha �:

.

Нам пришлось к 2 отрезкам (длиной � каждый)

присчитать еще 4 таких же отрезка. Так что всего мы

отсчитали от нуля 2 + 4 таких отрезков. Получается,

что

число , + � равно дроби

�

•

178

лава в

орая.

ро

би

Сумма дробей с одинаковыми знаменателями рав

на дроби с тем же знаменателем и с числителем, рав-

ным сумме числителей данных дробей.

На математическом языке это правило выглядит так:

Правило вычитания дробей с одинаковыми знаме

нателями понятно из рисунка:





Разность дробей с одинаковыми знаменателями

равна дроби с тем же знаменателем и с числителем,

равным разности числителей данных дробей:

Снова вспомним праздничный пирог. Если его раз

делят на 7 равных частей и сначала положат на блюдо

2 такие части, а потом еще 4 такие же части, то полу

чится � + + = �, а если положат 4 такие части, а потом

из них съедят 2 части, то останется + -� = � •

Основно

сво

во

ро

Сок

ращ

ие

ро

На математической олимпиаде в 4 классе Коля и Вася

решали такие задачи:

Запишите число 1, используя две тройки; запиши

те число 2, используя числа 6 и 3.

179

лава в

рая

роби

Вася эти задачи решил так: 3 : 3

1; 6 : 3

Коля написал по

другому:

! =

;

i =

Оба мальчика заслужили похвалу учителя. Но са

мое интересное было потом: Коля сразу согласился,

что решение Васи тоже правильное: если разделить 3

на 3, то получится 1, а если разделить 6 на 3, то полу

чится 2. А вот Вася долго не мог понять, всегда ли

можно заменить частное дробью:

получается, что

3 : 3 и что

6 : 3.

Это что, совпадение или общий закон

Всегда ли

дробь

равна частному а :

Оказывается, всегда.

Разберемся в этом на примере дроби t. Докажем,

что эта дробь равна частному 3 : 4. Для этого нам надо

разделить 3 на 4.

Это можно сделать в два приема.

1) Взять 3 единицы (или, если хотите,-три пиро

га) и разделить каждую из них на 4 равные части:

.ф ............ .

........ ........ .

.......... ......... .

.......... .......... .

........... ........... .

............ ............ .

............ ........... .

........... ........... .

.......... .......... .

......... ......... .

........ ........ .

2) Взять из каждой единицы (из каждого пирога)

по одной такой части:

��



��

�W············

/ /

:::::::::::'

:::::' ..

Вот мы и разделили 3 на 4 (разделили три пирога

на четыре равные части). И получили в каждой части

три четвертых. Значит, 3 : 4

180