Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика. 1-5 классы

Подождите немного. Документ загружается.

Глава в

ая.

роби

Как видно, умножение дроби на натуральное число

n осуществляется по формуле

�. n =

аn

Чтобы умножить дробь на натуральное число, до

статочно умножить числитель дроби на это число,

а знаменатель оставить прежним.

Задача. Выполни умножение: �. 11.

А как разделить дробь на натуральное число?

Деление на натуральное число n означает умень

шение данного числа в n раз. А уменьшить дробь в

n раз можно двумя способами:

либо разделить на n ее числитель;

либо умножить на n ее знаменатель.

Например:

�: 2

, или

� : 2

� 2

Но первый способ можно использовать лишь тогда,

когда числитель делимого делится на n. А второй спо

соб годится всегда.

Поэтому деление дроби на натуральное число осу

ществляется по формуле

ъ:

n =

b�

Чтобы разделить дробь на натуральное число,

достаточно умножить знаменатель дроби на это чис

ло, а числитель оставить прежним.

Задача. Выполни деление ! на 3 двумя способами.

Выполни деление ! на 11 одним способом.

191

Глава в

ая.

роби

3аймемся

теперь умножением дроби на дробь: най

дем произведение дробей i и t.

Дробь i в 3 раза меньше, чем число 2. А дробь t в

7 раз меньше, чем число 4. 3начит, произведение дро

бей i

в 3

7 раз меньше, чем произведение чисел

2 и 4.

ОЭТОМУ

2 4 2

•

з07

Произведение дробей - это дробь, числитель ко

торой равен произведению их числителей, а знаме

натель - произведению их знаменателей:

 о k _ ас

Ь d-bd

Задача. Найди произведение дробей

;

Так же просто и деление дроби на дробь. Найдем

частное дробей i и �.

Делимое i в 5 раз меньше числа 2, а делитель �

в 7 раз меньше числа 3. 3начит, частное дробей i и �

можно получить так:

найти частное чисел 2 и 3 (оно равно i);

2) уменьшить полученный результат в 5 раз (полу

чи

ся

)

;

3) увеличить пол'ученный результат в 7 раз (полу-

)

чится

•

та

�. 

Частное от деления дроби на дробь � это дробь,

числитель которой равен про изведению числителя

первой дроби на ,знаменатель второй дроби, а знаме

натель равен произведению знаменателя первой дро

би на числитель второй дроби:



• k

Ьс

192

лава в

ая.

ро

би

•

• 34

адача. аиди частное. 7 . 3'

 .

1 234 5

Еще

адач

а.

Вычисли:



з 8888788

чи

на др

Среди многочисленных задач, связанных с дробями,

есть три основные задачи.

Задача первая. Найди дробь % от числа т (напри

мер, найди � от числа 210).

ение

1) Найдем сначала

�

от числа 210, для чего разде

лим 210 на 7. 210 : 7

30.

2) Найдем � от числа 210, для чего умножим его 

на 5. 30 85

150.

твет: 150.

Краткая запись решения:

(

210 : 7) 85

150,

или

21�'

150.

Что

ы найти дроб

от числа т, достаточно

исло

умножить на дро

ь f.

Задача вторая. Найди число х, если его дробь %

равнар (например, число Х,

{

которого равны 75).

ение

)

На

дем сначала

искомого числа, для чего раз

делим его

на 3. 75 : 3

25.

2) Найдем все число, для чего умножим его

на

11. 25 811

275.

твет: 275.

Краткая запись решения:

(

75 : 3) 811

275,

или

5 з11

275.

7-22

193

Глава в

рая.

ро

би

Что

ы найти чис

о по его дро

би

, равной р, доста

точно разделить чис

ло р на дро

Задача третья. Найти отношение числа а к числу Ь

(например, какую часть от 85 составляет число 34).

ешение

Число 1 составляет

от числа 85. Значит, число 34

составляет от него �t, то есть t.

твет: t.

Краткая запись:

�t

= t

Что

ы найти, какую часть составляет число а от

числа Ь, надо разд

елить а

на Ь.

Да

но

и по

ви

ис

др

Не только сами дроби, но и действия с ними были изве

стны уже в Древнем

гипте за 2000 лет до нашей эры.

Значит, дроби сопутствуют людям уже четыре тысячи

лет! Мы знаем об этом из древнеегипетских рукопи

сей - папирусов (папирус - растение, развернутые

стебли которого использовали вместо бумаги; они ока

зались на удивление долговечными). Один такой папи

рус был обнаружен в середине прошлого века немецким

ученым Генрихом Риндом, поэтому его так и называют

папирус Ринда. Сейчас б6льшая его часть хранится

в Британском музее в Лондоне. На нем писал писец по

имени Ахмес, и иногда папирус называют также папи

русом Ахмеса. Судя по всему, это не просто математи

ческая рукопцсь, а учебник, составленный для тех, кто

готовился стать придворными писцами фараона.

сли

так - это древнейший в мире учебник математики,

прапрапра ... дедушка наших современных учебников.

Ахмес, кажется, был очень хорошим учителем, потому

что он очень ясно объясняет решения всех восьмидеся-

194

ва вторая.

ро

би

ти четырех задач, составляющих папирус. Среди этих

задач есть и задачи на дроби. И это очень трудные зада

чи, потому что египтяне признавали только дроби

с числителем 1 (те, которые мы называем

«долями» ),

а это усложняло и формулировки, и решения задач.

Правда, две дроби, не являющиеся долями, у египтян

были - две трети и три четверти. Никаких числителей

и знаменателей в записи дробей тогда не было. Чтобы

записать дробь

Ахмес просто ставит точку над обо

значением числа 10. 10 обозначается примерно так: л,

0 - л.

Так же записывались и другие дроби с числи

телем 1. Дроби, не являющиеся долями, приходилось

либо обозначать так:

«три

раза

поt»

(по-нашему

1),

ли

бо представлять в виде суммы долей:

�

+

.

-5 29

Задача. Как мы записываем число, которое Ахмес

обозначает так:

А?

Еще задача. Объясняя расчет пирамиды, Ахмес

получил такое число: семь раз по

lo .

Как мы за

писываем это число сейчас?

Кроме

«серьезных» задач, в папирусе Ахмеса есть

и несколько головоломок. Например: �Столько да

четверть столько - вместе 15. Сколько

это?»

А прав

да, сколько?

Задачи

1. Сколько будет полторы трети от 100?

2. Н

аii;щ

дробь с возможно меньшим знаменате

лем, которая была бы больше

)

но меньше

3. Жили-были два

брата-близнеца. Один из них

ежедневно спал

суток, адругой

суток. Дожили они

195

лава вторая.

ро

би

так до 72-летнего возраста. Сколько лет за это время

проспал каждый из них?

4. Племянник спросил дядю, сколько тому лет. Дя

дя ответил:

«Если

к половине прожитых мной лет

прибавить еще 10 лет, то получится число, которое со

ставит ! моего

возраста» .

Сколько лет дяде?

5. Однажды греческого математика Пифагора

спросили, который час. Пифагор ответил, что до кон

ца суток осталось дважды две пятых того, что уже

прошло от начала. Который был час?

6. Три брата пришли на постоялый двор, заказали

пельмени и улеглись спать. Когда старший брат про

снулся, он увидел на столе блюдо с пельменями, пере

считал их и съел свою долю. После этого он снова уснул.

Проснулся средний брат, увидел пельмени, пересчитал

их и съел одну треть, не зная, что старший брат уже по

ел. После этого средний брат тоже уснул. Наконец, про

снулся младший брат. Он тоже съел одну треть остав

шихся пельменей и разбудил старшего и среднего брата,

предложив им оставшиеся 24 пельменя. Тут все выясни

лось, и братья стали думать, как разделить эти 24 пель

меня по справедливости. Как они должны это сделать?

7. В прежние времена два крестьянина Петр и

Иван пришли по купать избу. Хозяин попросил за нее

38 рублей. Петр сказал Ивану:

«Дай

мне

своих де

нег, и я смогу купить избу» .

Иван ответил:

«Лучше

ты

дай мне ! твоих денег, и я куплю избу» . Сколько денег

было у каждого?

8. Задача из папируса Ахмеса. Раздели 10 мер хле

ба на 10 человек, чтобы разность между количеством

хлеба у каждого человека и ему предшествующего со

ставляла i меры.

9. Древнегреческая задача о статуе Афины.

Я -изваянье из злата. Поэты то злато

В дар принесли: Харизий принес половину всей

жертвы,

196

ава вт

ор

ая.

ро

би

Феспия часть восьмую дала; десятую - Солон.

Часть двадцатая - жертва певца Фемиона, а девять

Всё завершивших талантов* - обет, Аристоником

данный.

Сколько же злата поэты все вместе в дар принесли?

10. Древнегреческая задача: бог любви Эрот жалу

ется своей матери - богине любви и красоты Афроди

те - на муз, которые отобрали у него яблоки.

Яблок я нес с Геликона немало.

Музы, отколь ни возьмис

, напали на сладкую ношу.

Частью двенадцатой вмиг овладела Евтерпа, а Клио

Пятую долю взяла. Талия - долю восьмую.

С частью двадцатой ушла Мельпомена. Четверть

взяла

Терпсихора.

С частью седьмою Эрато от меня убежала.

ридцать плодов унесла Полигимния. Сотня

и двадцать

Взяты Уранией. Триста плодов унесла Каллиопа.

Я возвращаюсь домой почти что с пустыми руками.

Только полсотни плодов мне оставили музы на долю.

Сколько яблок было у Эрота до встречи с музами?

11. Средневековая немецкая задача (Адама Ризе).

рое торгуют лошадь за 12 флоринов, но никто в от

дельности не располагает такой суммой. Первый гово-

* З

есь сло

нт

зна

ет не с

особности к чем

либо

кр

уп

ре

юю

мер

у в

ес

197

Глава в

орая.

роби

рит двум другим:

«Дайте

мне каждый по половине

своих Д�Heг, и я куплю

лошадь» .

Второй говорит пер

вому и третьему:

«Дайте

мне по одной трети ваших де

нег, и я приобрету

лошадь» .

Третий говорит первым

двум: «Дайте

мне по четвертой части ваших денег, и я

куплю лошадь» .

Сколько денег было у каждого?

12. Задача Ньютона. На трех лугах площадью 3

1 О и 24 га трава растет одинаково, то есть с одинако

вой густотой и одинаковым приростом. После того

как на первом лугу 12 коров паслись 4 недели, а на

втором лугу 21 корова паслась 9 недель, трава оказа

лась съеденной настолько, что оба пастбища на время

пришлось забросить. Сколько коров можно пасти на

третьем лугу в течение 18 недель?

13. Батон стоит 1! рубля и половину стоимости ба

тона. Сколько стоит батон?

14. Какая из дробей ближе к единице:

:

или

�,

ес

ли n > т?

15. у прохожего спросили, который час. Он отве

тил, что это можно узнать, если промежуток време

ни, оставшийся до полудня, увеличить на i проме

жутка времени, прошедшего после полуночи. Так

который час?

16. Из знаменателя дроби вычли число k. Какое

число нужно вычесть из числителя, чтобы поли

лась дробь, равная данной? Всегда ли это можно сде

лать?

17. Нужно разделить 5 одинаковых яблок между

шестью ребятами. Как это сделать с наименьшим чис

лом разрезов?

18. Можно ли разрезать 13 одинаковых арбузов на

42 одинаковые порции, не деля ни одного арбуза боль

ше чем на 7 частей?

19. Числовой ребус:

ж· у . к . и + ж . у + к . и + 1

у . К· И + У + И

198

Глава в

рая

роби

20. Весна выдалась в этом году капризная. Ночью

было настолько холодно, что мои часы отставали за

ночь на

минуты. А днем от жары они убегали на пол

минуты вперед. Утром 1 мая часы показывали верное

время. К какому числу они ушли вперед на 2 минуты?

21. Если к числителю и знаменателю дроби

при

бавить ее знаменатель, то получится дробь !, то есть

данная дробь увеличится вдвое. Нет ли дроби, кото

рая после такой операции увеличивается в три раза?

в четыре раза?

22. Какое число больше: то, треть которого - по

ловина, или то, половина которого - треть?

23. Вдоль беговой дорожки расставлено 12 флаж

ков на равных расстояниях друг от друга. Старт у пер

вого флажка. У восьмого флажка спортсмен оказался

через 8 сек. Через сколько секунд он окажется у две

надцатого флажка, если не будет менять скорость бе

га? Не попади впросак!

24. На одну чашку весов положили кусок мыла, а на

другую

такого же куска и еще гири на

кг. Весы при

шли в равновесие. Сколько весит целый кусок мыла?

25. Из семи спичек выложена дробь

t: t.

Как, пе

реложив одну спичку, получить число

26. Когда у Миши спросили, сколько у него котят,

Миша ответил:

У меня три четверти их числа и еще три

четверти одного

котенка» . Так сколько котят у Миши?

27. Когда пассажир проехал половину всего пути,

то лег спать и спал до тех пор, пока не осталось ехать

половину того пути, что он проехал спящим. Какую

часть пути он проехал спящим?

28. Когда велосипедист проехал i пути, лопнула

шина. На остальной путь пешком он затратил вдвое

199

Глава в

орая.

роби

больше времени, чем на велосипедную езду. Во сколь

ко раз велосипедист ехал быстрее, чем шел?

29. Найди значение выражения

1 1 1 1 1 1

5 +5·6 +6· 7 +·8 +8·9 +9· 10.

30. Найди сумму

111

110

132

182

210·

31. Найди сумму

2 2 2 2 2 2

5·7+·9 +9·11 +

·13+

·15+

·17.

32. Найди такую дробь, которая не меняет своего

значения от прибавления к ее числителю числа 30,

а к знаменателю - числа 40.

33. Знаменатель дроби на 35 больше числителя.

После сокращения этой дроби получилось

А.

Найди

дробь до сокращения.

34. Сумма числителя и знаменателя дроби равна

130. После ее сокращения получилась дробь i. Найди

дробь до сокращения.

35. В одном городе число мужчин составляет

{о

чис

ла женщин. Какую часть населения составляют муж

чины?

36. Число отсутствовавших в классе в понедельник

составило

часть присутствовавших. Во вторник

число отсутствовавших уменьшилось на 1 и состави

ло

'О числа присутствовавших. Сколько учеников в

этом классе?

37. Четверо друзей купили вместе лодку. Первый

внес половину суммы, внесенной остальными, вто

рой -

суммы, внесенной остальными, третий

суммы, внесенной остальными, а четвертый -

остальные 130 рублей. Сколько стоит лодка?

38. у торговца семечками были неправильные ры

чажные весы: их плечи немного отличались по длине

друг от друга. Но зато килограммовая гиря была пра

вильная. Когда покупатель попросил отвесить 2 кило

грамма семечек, торговец отвесил один килограмм,

200