Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика. 1-5 классы

Подождите немного. Документ загружается.

ла

а третья. Расшире



ие ра

яд



сетки

�

0,08

92· 1

5) и вот (ура!) мы получили ответ:

,28.0,0

0,08

92· 1

Пока человек только учится применять это прави

ло, приходится записывать решение подробно, как

это сделано в рамочках.

А когда правило умножения хорошо запомнится,

полезно еще некоторое время выполнять все пять ша

гoB (заменять десятичные дроби натурьными чис

лами; перемножать эти числа; подсчитывать число

знаков после запятых; отделять запятой знаки в про

изведении; выписывать ответ), но делать при этом

краткие записи. Они могут выглядеть так:

+ 2 знака

0,0

знака

+ 5

О, О

9 2

5 знаков

Ответ: 0,08

92.

Из правила умножения, между прочим, следует,

что умножить десятичную дробь на 0,

- значит

сдвинуть запятую на

знак влево. А это означает про

сто деление на

0. Это же'относится и к умножению на

0,0

, 0,00

и так далее.

Умножение на 0,

, на 0,0

, на 0,00

и так далее

можно заменить делением на

00,

000 и так далее.

Умножение на

0,1

0,01

0,001

. . . .....

0,0000000000001

211

Деление на

100

1000

. ..... .

10000000000000

Глава

тр

ья.

асшире



ие ра

яд



сетки

Де

ение

Самое трудное действие, как известно, деление. Деле

ние десятичных дробей, так же как и деление на

туральных чисел, можно выполнить не всегда. Но все

же с появлением десятичных дробей количество

примеров на деление, которые можно решить, увели

чивается. Например, разделить 70 на 8 в натураль

ных числах нельзя, а с десятичными дробями можно:

70 : 8 = 8,75 - это легко проверить умножением.

Как мы видели, умножение десятичных дробей сво

дится к умножению натуральных чисел и постановке

запятой. Естественно, что и деление десятичных

дробей оказывается связано с делением натуральных

чисел. Если, например, надо разделить какое-нибудь

число на десятичную дробь 28,17, которая в 100 раз

меньше числа 2817, это значит, что достаточно разде

лить его на 2817, а потом частное увеличить в 100 раз.

Поэтому деление любого числа, записанного в десятич

ной системе счисления, на натуральное число заслужи

вает отдельного разговора.

Разделим 376,96 на 31. Чтобы найти частное от деле

ния двух чисел, достаточно найти его целую часть и най

ти, сколько в нем десятых, сотых, тысячных и так далее.

1) Найдем целую часть частного. Она получится, ес

ли

разделить на 31 целую часть делимого

- число 376:

376



Получилось, что в частном 12 целых.

2) Чтобы найти дробную часть частного, превратим

остаток от деления целой части - 4 единицы - в со

тые и найдем, сколько сотых надо делить на 31:

212

Глава т

етья. Расширек

е ра

рядко

сетки

4 единицы + 96 сотых = 400 сотых + 96 сотых 

= 496 сотых.

Разделив 496 сотых на 31, найдем дробную часть

частного:

496



186

-186

3начит, 496 сотых : 31 = 16 сотых.

Итак, в частном 376,96 : 31 содержится 12 целых и

16 сотых:

376,96 : 31 = 12,16.

еление на целое число можно провести и сразу,

с начала до конца. Нужно делить, как делят нату

ральные числа, и только вовремя поставить запятую:

470, 76







39,23

110

108

Момент, когда нужно ставить в частном запятую,

совпадает с моментом снесения первого знака из

дробной части делимого.

Итак, выполняя деление на натуральное число, мы

сначала делим целую часть делимого; когда заканчи

вается деление целой части (сносится ци

ра, стоящая

в разряде десятых), в частном ставится запятая и де

ление продолжается.

213

Глава третья.

Ра

сш

ре

u

е ра

рядк

ой с

На первых порах рекомендуется записывать деле

ние двумя ручками разного цвета, например черной

и зеленой. Черным цветом записывают делимое и де

литель, зеленым обводят ци

ру десятых в делимом:

376,9

6 �

Затем выполняют деление черной ручкой, пока не

закончится целая часть делимого, то есть пока не

придется сносить обведенную ци

ру десятых:

376,96 �

Обведенную ци

ру десятых сносят зеленым цве

том и тем же цветом ставят запятую в частном:

376,96 

�

12,

Деление продолжают до конца черной ручкой:

376,96







�

12,16

186

214

Глава

тр

ья. Р

асширекие ра

ядк

сет"

Наконец мы подошли к вопросу: как же найти ча

стное, если делитель - десятичная дробь? Для этого

воспользуемся важным свойством частного: оно не

меняется, если и делимое, и делитель умножить на

одно и то же число, не равное нулю.

Разделим, например, 1,04 на 1,3. Это действие лег

ко заменить делением на натуральное число 13 -ведь

частное не изменится, если и делимое 1,04, и дели

тель 1,3 умножить на 10:

1,04 : 1,3 =

( 1,04 ·10) : (1,3 · 10) = 10,4 : 13.

Осталось разделить 10,4 на натуральное число 13,

а это мы умеем:

10,4 �

0,8

104

Итак, 1,04 : 1,3 = 0,8.

Так деление на десятичную дробь заменяют деле

нием на натуральное число: делимое и делитель

увеличивают в одно и то же число раз

(

10, 100, 1000 и

так далее) таким образом, чтобы превратит

делитель

в натуральное число.

Итак, чтобы выполни�ь деление на десятичную

дробь, нужно:

1) заменить делитель натуральным числом и уста-

новить, во сколько раз он от этого увеличился;

2) увеличить во столько же раз делимое;

) выполнить деление полученных чисел.

Вот подробная запись деления числа 31,26 на деся

тичную дробь О, 015:

1) 0,015  15;

15 = 0,015· 1000.

2) 31,26 · 1000 = 31260.

215

Глава третья

. Р

асш

рек

е ра

рядк

сет

)

31260

115

084

126

120

Этот же пример кратко записывается так:

31,26 : 0,015 = 31260 : 15, и дальше - деление

« уголком»

Разделим по этому правилу 3,14 на 0,1:

3,14 : 0,1 = 31,4 : 1 = 31,4.

Как видно, деление на 0,1 - это то же самое, что

умножение на 1 о.

Точно так же 27,5 : 0,001 = 27500 : 1 = 27500; деле

ние на 0,001 -то же самое, что умножение на 1000.

Итак, чтобы разделить число на 0,1, на 0,01, на

0,001 и так далее, надо его умножить на 10, на 100, на

1000 и так далее.

роц

ен



Процентом от какого-нибудь числа называется одна

сотая часть этого числа. Процент обозначается специ

альным значком % .

Нужно уметь решать три главные задачи на про

центы.

Задача п

вая. Найти несколько процентов от дан

ного числа (например, найти 17% от числа 25

)

216

лава

третья

. Р

асширекие ра

рядк

ки

Подробное решение.

1) Находим 1 % от данного числа, разделив это

число на 100 (в нашем примере пишем: 1% - это

25 : 100 = 0,25)

2) Находим нужное число процентов, умножив ре

зультат первого действия на нужное число (в нашем

примере пишем: 17% - это 0,25

•

17 = 4,25

)

Краткое решение:

��

= 4,25.

Можно решать и по-другому, пользуясь тем, что

разделить на 100 - все равно что умножить на 0,0 1.

Поэтому, чтобы найти 1 % от данного числа, можно

это число умножить на 0,01. Тогда краткое решение

нашей задачи запишется в строчку:

25· 0,01

•

17 = 4,25.

Задача

втор

Найти число, зная, чему равен ка

кой-либо процент от него (например, найти число,

13% которого равны 65

)

Подробное решение.

) Находим 1 % от искомого числа, разделив дан

ное нам число на число содержащихся в нем процен

тов (в нашем примере пишем: 1 % - это 65 : 13 = 5).

2) Находим все число, умножив результат первого

действия на 100 (в нашем случае пишем: 100% - это

5· 100 = 500).

Краткое решение: 65

i�OO

= 500.

За

ача

третья

Найти процентное отношение двух

чисел, то есть найти, сколько процентов составляет

одно число от другого (например, найти процентное

отношение 36 и 120, то есть найти, сколько процентов

составляет число 36 от числа 120).

217

Гл

ав

а трет

ья. Расшир

еки

е ра

ядко

сет

Подробное решение.

1) Находим 1 % от второго числа, разделив его на 1 00

(в

нашем примере пишем: 1 % -это 120 : 100 = 1,2).

2) Находим, сколько процентов от второго числа

содержится в первом числе, разделив первое число на

результат первого действия (в нашем примере пишем:

36 : 1,2 = 30).

Краткое решение:

;o

= 30.

Все три задачи можно решить, пользуясь одной и

той же таблицей:

100%

Вот как заполняется эта таблица при решении

каждой из наших задач.

Задача п

ва

я. Найти

2,8% от

50 кг.

Вначале заполняем по условию третью клетку

верхней строки и первую клетку нижней строки и об

водим ту клетку, в которой должно появиться число,

о котором спрашивается в задаче:

100%

2,8%

50 кг

Затем, после необходимых вычислений, заполня

ем пустые клетки нижней строки:

100%

2,8%

100%

1 %

2,8%

50 кг

0,5 кг

50 кг

0,5 кг

1,4 кг

218

а третья. Р

асширекие ра

рядк

сетки

Задача

втор

Найти длину пути, 40% которого

равны 16 км.

Вначале заполняем по условию третью клетку

верхней строки и третью клетку нижней строки и об

водим ту клетку, в которой должно появиться число,

о котором спрашивается в задаче:

100%

40%

16 км

После вычислений заполняем вторую, а затем пер

вую клетки нижней строки:

100%

1 %

40%

100%

40%

0,4км

40 км

0,4км

16 км

Задача

третья

Найти процентное отношение 48 к 25.

Таблицу заполняем в следующем порядке:

100%

192%

0,25

Но самое интересное в процентах - это то, что они,

собственно говоря, не числа. Вот, например, если ка

кое-то число увеличить на 10, а потом уменьшить на

10, что получится? Конечно, то же самое число. А что

219

Глава третья

. Р

асш

ир

ек

ие ра

ядк

сетки

будет, если число увеличить на 10% , а потом умень

шить на 10%?

Вот какая история приключилась однажды с изве

стными всем персонажами Григория Остера: Мар

тышкой, Попугаем, Слоненком и Удавом.

Однажды Удав сказал: «Надоело

мне ползать по

земле. И не видно ничего, и медленно. Давайте купим

заводной вертолет и посадим в него меня ».

« И ме

ня, - закричала Мартышка. - Мы полетим быстрее

Попугая!»

- «Это

мы еще

посмотрим»,

- возразил

Попугай. А Слоненок очень огорчился:

«Меня в завод

ной вертолет не посадишь - авария будет! И крыльев

у меня

нет» .

Удав утешил его:

«Ты

будешь судьей на

шего соревнования. Вот только где взять вертолет?

«Я

придумала! - завопила Мартышка. - Пусть По

пугай слетает в игрушечный магазин. Вертолет стоит

сто бананов, и я их сейчас

соберу» .

Собрала Мартышка сто бананов, положила их

в большой рюкзак, и Попугай полетел в город. Вернул

ся он очень быстро, с пустым рюкзаком. «Где

мой вер

толет?»

- спросил Удав.

«Где

мои

бананы?» ·-

закри

чала Мартышка. «Вертолеты подорожали, - объявил

Попугай, - на 10% . Так что бананов не хватило, и я

раздал их детям. Они сказали мне, что завтра вертоле

ты снова подешевеют. И опять на 10%

».

Наутро Попугай, захватив новые сто бананов, по

летел в магазин. Скоро он вернулся с прекрасным

заводным вертолетом. «Получай!»

- сказал Попу

гай Удаву и облизнулся. «А

почему это ты облизы

ваешься? » - подозрительно спросила Мартышка.

«А

потому, что я съел оставшийся

банан» .

«Ничего

не понимаю! - сказал Удав, заползая в вертолет. -

Вертолет сначала стоил сто бананов. Потом он подо

рожал на 10% , а потом подешевел тоже на 10%

».

«А

я тебе дала ровно сто

бананов»,

- вмешалась

220