Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика. 1-5 классы

Подождите немного. Документ загружается.

лава третья

асширекие ра

ядк

сетки

Мартышка, старательно заводя вертолет.

и сам

не понимаю , - заявил Попугай. - Но банан был

очень

вкусный».

И он расправил крылья, готовясь

к соревнованию.

А Слоненок сказал так:

«Когда

вертолет подоро

жал, он стал стоить сто десять бананов. А подешевел

он на 10% от ста десяти, то есть на одиннадцать бана

нов. Значит, теперь он стоит девяносто девять бананов,

и все правильно. Ну, летите, а я буду

судить» .

Де

ст

ви

ес

тич

и о

но

енн

др

бям

Мы умеем обращаться с натуральными числами, с

десятичными и с обыкновенными дробями, со сме

шанными числами: умеем их сравнивать, находить

их сумму, разность, произведение и частное, умеем

изображать их на числовой прямой.

Но не испугает ли нас задача сравнить, сложить,

вычесть, перемножить, разделить два числа, из кото

рых одно - десятичная дробь, а другое - обыкновен

ная дробь или смешанное число?

Вот примеры таких задач:

1) сравнить числа 0,8 и ;

найти сумму

+ 0,31;

3) найти разность 0,84 -i;

4) найти произведение 1

1 ·0,22;

5) найти частное 2t: 1,5.

Для решения таких задач придется превратить де

сятичную дробь в обыкновенную или, наоборот, пре

вратить обыкновенную дробь в десятичную.

Решим первую задачу - сравним 0,8 и . Мы сде

лаем это двумя способами: превращая десятичную

221

Гл

ва третья. Р

асширекие ра

ядк

ой с

т"

дробь 0,8 в обыкновенную и превращая обыкновен

ную дробь i в десятичную.

ервый способ

Превратим 0,8 в обыкновенную дробь:

8 :

Сравним ! и i, приведя их к общему знаменателю:



�

' 4

так как 16 > 15.

Делаем

вывод: 0,8 >

Второй способ

Превратим i в десятичную дробь - для этого раз

делим 3 на 4:

3,00

�

0,75

Получили:

! = 0,75.

Сравним 0,8 и 0,75:

0,8 > 0,75, так как целые части

этих десятичных

дробей равны, а ци

ра десятых у первого числа больше.

Делаем вывод: 0,8 > !

Тем же путем решаются и остальные четыре зада

чи, но не всегда удается решить их обоими способами.

Дело в том, что превратить десятичную дробь

в обыкновенную можно всегда, а превратить обыкно

венную дробь в десятичную иногда не удается.

Например, найдем сумму j + 0,31.

222

Гл

ава третья

асширекие ра

ядк

сетки

ервый способ

Превратим десятичную дробь 0,3 1 в обыкновен

ную дробь и выполним сложение:

�

+ О

31 =

�

200+ 9

00 300 300

Второй способ

Чтобы превратить дробь i в десятичную, нужно

разделить 2 на 3:

2 ,

О О О







�

0,666

...

Как видно, деление не закончится никогда: в ос

татке все время получается 2, а не о. А в частном все

время повторяется ци

ра 6. В этом случае говорят,

что дробь i представляется в виде «( бесконечной деся

тичной дроби» .

Но нам-то нужна самая обычная, ко

нечная десятичная дробь, а получить ее тут как раз не

удается. Так что остается решать задачу только пер

вым способом - так, как мы уже сделали.

И последнее: в какой

орме записывать ответ? Ес

ли это возможно, надо записать его в виде десятичной

дроби или (если повезет!) в виде натурального числа.

Если же это невозможно, нужно записать ответ в виде

правильной дроби или в виде смешанного числа. На

пример, в предыдущем примере ответ � - пра

вильная дробь. А вот в третьей из приведенных задач:

найти разность 0,84 - !,

получаем такой ответ:

84 -

465



200 200

200

000

десятичная дробь (если бы мы сразу решали задачу

вторым способом - ответ получился бы еще быстрее).

223

Гл

ва третья

. Р

асш

ирекие ра

рядк

ой се

ки

Задач

1. Какой знак надо поставить между ци

рами 4 и

5, чтобы получилось число, большее 4, но меньшее 5?

2. Пуговица весит 1,5 г. Сколько весит миллион та

ких пуговиц?

. Вместо того чтобы умножить число на 0,5 и

к результату прибавить 3, его разделили на 0,5 и от ре

зультата отняли

3. А ответ получился такой, какой

должен был получиться. Что это было за число?

4. Два мотоциклиста выехали одновременно навст

речу друг другу из двух городов, расстояние между ко

торыми равно 330,66 км. Скорость первого 50,7 км/ч,

скорость второго 49,5 км/ч. Вместе с первым мото

циклистом вылетела муха со скоростью 100 км/ч и ста

летать между мотоциклистами, пока они не встретились.

Сколько километров пролетела муха?

5. Вот как древнегреческий

илосо

Зенон Элей

ский доказывал, что сам быстроногий Ахиллес не смог

бы догнать тихоходную Черепаху:

«Пусть

вначале их

разделяло 100 стадий и пусть Ахиллес бегал в 100 раз

быстрее Черепахи. Когда Ахиллес пробежит эти

100 стадий, Черепаха отползет на одну стадию. Когда

Ахиллес пробежит эту стадию, Черепаха отползет на

одну сотую стадии. Когда Ахиллес пробежит эту сотую

долю стадии, Черепаха уползет на одну десятитысяч

ную стадии. И так без конца. Ахиллес никогда не дого

нит

Черепаху! » Почему из рассуждения Зенона не сле

дует, что Ахиллес не догонит Черепаху?

6. Как измерить толщину проволоки, пользуясь

карандашом и обычной линейкой?

7. Человек может почувствовать изменение массы

предмета, который он держит в руках, если это изме

нение будет не меньше 0,03 массы самого предмета.

Возможно ли, взвешивая в руках, ощутить различие

масс 700 г и 715 г?

224

Гл

ава

третья.

асширекие ра

ядк

сетки

8. Зная, что 0,218 + 0,436 + 0,653 + 0,877

2,194,

найди сумму 0,782 + 0,564 + 0,347 + 0,123.

9. Первое число составляет 80% второго, второе

число составляет 40% третьего, третье число состав

ляет 20% четвертого. Найди эти числа, зная, что их

сумма равна 336.

10. Число кукол у Сони составляет 10% от числа ее

бантиков. Сколько процентов составляет число Сони

ных бантиков от числа ее кукол?

11. На один товар дважды снижали цену - на 15%

каждый раз. На другой товар той же стоимости снизи

ли цену один раз - на 30% . Какой товар теперь стоит

дешевле?

12. Что больше: 12% от числа 20 или 20% от чис

ла 12?

. Что больше: а% от числа Ь или Ь% от числа а?

14. Сколько учеников в классе, если 1 ученик со

ставляет 4 % всех учащихся?

15. Число мальчик

ов составляет 45% от числа уче

ников класса. Каково процентное отношение числа

девочек к числу мальчиков?

16. 100 кг свежих грибов содержали 99% воды.

После сушки в них стало 98% воды. Сколько весят

грибы после сушки?

17. Банк платит вкладчику 30% годовых. Сколько

получит через два года вкладчик Емеля, положивший

в банк 100 000 рублей? А сколько денег положил

в банк вкладчик Ерема, если через три года он полу

чил 219 700 рублей?

18. Числовой ребус: СЛОВ,О + СЛОВ,О

ПЕСНЯ.

лава

етвертая

Рац

nаЛЬnЬtе ч

сла

ите

ль

ные

и от

ате

ль

ые чи

а этом рисунке изображены число О,

два первых натуральных числа и

две дроби. Но та часть прямой, ко

торая лежит левее нуля, не содер

жит никаких чисел.



А вот на шкале термометра имеются чис-

ла с обеих сторон от нуля.

Температуры выше нуля называются

поло

жительными, их записывают с помо

щью знака

«плюс» .

Например,

18 граду

сов

тепла» можно записать так:

«+180»

или

так: «

180

».

Температуры ниже нуля называются от

рицательными и записываются с помощью

знака

«минус» .

Запись

«-180»

обозначает

18 градусов ниже нуля »

, то есть

18 граду

сов мороза» .

евую часть нашей прямой можно за

полнить так же, как заполнена нижняя

часть шкалы термометра. Отложим влево

от точки О единичный отрезок и обозначим

получившуюся точку числом -1. Отложим

влево от -1 еще один единичный отрезок и

отметим число -2. И так далее:

226

Глава четвертая

. Р

u

ока

лькые ч

сла

I I

- 4 -

3 -2

-1

•

Числа, расположенные на числовой прямой правее

нуля, называются положительными. Положитель

ные числа записываются со знаком

« плюс»

или вооб

ще без знака: +3, 5, t, +0,35.

Числа, расположенные на числовой прямой левее

нуля, называются отрицательными. Отрицательные

числа записываются со знаком

«минус

-5, -!,

6,7.

Для того чтобы отметить на числовой прямой отрица

тельные числа -3, -5, -!, -5,6, нужно отложить влево

от нуля отрезок, длина которого равна 3, 5, !, 5,6

Число О не является ни положительным, ни отри

цательным числом.

Все положительные числа находятся правее нуля,

поэтому нуль меньше любого положительного числа:

положительные

числа

•

Вместо того чтобы говорить: «а - число положи

тельное» ,

говорят: «а

больше

нуля» .

Все отрицательные числа находятся левее нуля,

поэтому нуль больше любого отрицательного числа:

отрицательные

числа

Вместо того чтобы говорить:

«Ь

- число отрица

тельное» ,

говорят:

«Ь

меньше нуля» .

оо

дина

ная

ос

ост

Как найти число на координатной прямой? Что для

этого нужно знать? Если нам скажут:

Число нахо

дится справа от

нуля»

или «

Число находится от нуля

на расстоянии двух с половиной единичных отрез-

227

Глава четвертая

Ра

цион

ьные 

ис

ков»

- этого недостаточно. Ведь справа от нуля нахо

дятся все положительные числа. А на расстоянии

двух с половиной единичных отрезков от нуля нахо

дится не одно, а два числа: 2,5 и -2,5.

I I

-2,5

-1

2,5



Задача. Назвали только расстояние от данного чис

ла до нуля - и этого оказалось достаточно, чтобы на

звать само число. Какое расстояние назвали?

А вот если известно и расстояние от данного числа

до нуля, и то, находится оно от нуля справа или сле

ва, - тогда число можно точно назвать. Например,

число, которое находится справа от нуля на расстоя

нии двух с половиной единичных отрезков, - это чис

ло 2,5.

Можно решить и такую задачу: указать на прямой

точку, которая изображает данное число. Это делает

ся так.

Точка

Число

справа

или слева

расстояние

от

нуля

от нуля

-17

слева

1 7 ед. отрезков

3,14

справа

3,14 ед. отрезков

Итак, назвав число, мы называем точку на пря

мой. Это число называется координатой точки. Чтобы

найти точку на прямой, достаточно назвать ее коор

динату.

228

лава четве

тая.

ац

калькые ч

D Е

-2,5 -1

О 1 2

3,5

А (-2,5) ,

(-1),

(О), D (1),

(2), F (

3,5)

Ну а если нам нужно найти точку не на прямой, а

на плоскости? С этим всегда сталкиваются игроки

«морской бой» .

Они ведь не могут заглядывать друг

к другу, чтобы показать, в какую клетку стреляют.

Клетку надо не показать, а назвать. Для этого их обо

значают, как известно, так:

б вгдежз

ик



2 �

�



6 �

�

�

Теперь, чтобы назвать нужную клетку, достаточно

сказать:

«ж7» ,

- и услышать

«мимо» или

«попал

При этом игроки могут вообще не видеть друг друга.

В морской бой можно играть даже по теле

ону.

Точно так же поступают и шахматисты, только они

используют латинские буквы. И не всем понятная за

пись «Kph5»

означает, что король идет на поле h5.

Так можно записывать партии, передавать их по ра

дио, сообщать друг другу ходы по теле

ону . Удобно!

Математики поступают очень похожим образом,

когда хотят указать точку на плоскости. Буквы здесь,

229

Глава четве

тая.

Ра

u

онал

ны

сла

правда, не годятся. Ведь в любом ал

авите конечное

число букв, а точек на плоскости бесконечно много.

Поэтому математики задают точку не парой

«буква



число» ,

а парой

«число

- число

. Как и на прямой,

эти числа называются координатами точки. Вот как

их находят.

Выберем на плоскости точку, обозначим ее буквой

О и назовем

ачало

координат

Теперь проведем че

рез эту точку две прямые: вертикальную и горизон

тальную.

Каждую из них превратим в координатную прямую:

точка О будет на обеих прямых изображать нуль;

единичный отрезок возьмем один и тот же:

Положительное направление на горизонтальной

прямой

выберем вправо и отметим буквой х, а на вер

тикальной прямой положительное направление выбе

рем

вверх и отметим буквой у. Получатся две

коорди

натные прямые

х и

у:

230