Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика. 1-5 классы
Подождите немного. Документ загружается.
Г
лава пятая
У
р
авкекuя
ри каком значении буквы а значе
ние выражения а + 5 равно 12? То
есть к какому числу надо прибавить
5, чтобы получилось 12? Правиль
но, к числу 7. Сейчас неважно, как
мы до этого додумись: перебирали
разные числа, считали на палочках или как-нибудь
еще. Важно, что теперь мы знаем: а + 5 = 12, если
а = 7. Запись а + 5 = 12 называется уравнением, а чис
ло 7 - его корнем.
Уравнение - это равенство, в котором имеется
буква и требуется узнать, при каком значении этой
буквы равенство становится верным.
Обычно для обозначения нужного числа исполь
зуется буква х (икс). Икс - это что-то вроде маски, за
которой прячется число, пока уравнение не решено.
Решить уравнение - значит сорвать маску, найти
значение икс, при котором уравнение превращается
в верное равенство. Это значение икс называют кор
нем урав
н
ения.
Возьмем уравнение 3 + х = 7. Если х = 4, оно пре
вращается в равенство 3 + 4 = 7; это равенство верно,
поэтому число 4 является корнем уравнения. Если
же взять х = 2, то уравнение превратится в равенство
3 + 2 = 7; это равенство неверно, поэтому число 2 не
является корнем нашего уравнения.
251
Гла
в
а пятая
.
У
рав
н
ени
я
Р
е
ш
е
н
ие
самы
х пр
ос
т
ы
х у
р
ав
н
е
н
и
й
Проще всего решить уравнение, в котором буквой икс
обозначен один из компонентов арифметического дей
ствия: слагаемое, уменьшаемое, вычитаемое, множи
тель, делимое или делитель. Что общего у уравнений
х
+ 3 = 23 и 18 + х = ЗО? В обоих случаях нам извест
но одно из двух слагаемых и сумма, а найти требуется
второе слагаемое. Поэтому и решаются оба уравнения
одинаково - вычитанием из суммы известного слага
eMoгo:
х + 3 = 23
х = 23 - 3
х = 20
18 + х = 30
х = 30 -18
х = 12
Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из изве
стной суммы вычесть известное слагаемое.
x
=
b
-
а
Чтобы решить уравнение х - 4 = 13, надо найти
уменьшаемое, зная вычитаемое и разность. Это урав
нение решается так:
х - 4
=
13
х
=
4 + 13
х = 17
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к из
вестному вычитаемому прибавить известную раз
ность.
�
_
x
_
-
a
_
=
b
���
_
x
=
a
_
+
b
�
252
Глава пя
т
ая.
У
раве
u
я
Чтобы решить уравнение 23 - х = 17, надо найти
вычитаемое, зная уменьшаемое и разность. Уравне
ние решается так:
23 - х = 17
х = 23 -17
х =6
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из из
вестного уменьшаемого вычесть известную разность.
�
_
a
_
-
X
_
=
b
���
x
_
=
a
_-
b
�
Возьмем
уравнения 2· х = 12 их· 7 = 28. В
обоих
случаях известно про изведение и один из двух мно
жителей и требуется найти второй множитель. Оба
уравнения решаются одинаково:
2· х = 12
х = 12 : 2
х=6
х·7 = 28
х = 28 : 7
х=4
Чтобы
найти неизвестный множитель, надо изве
стное произведение разделить на известный мно
житель.
х= Ь:
а
Чтобы решить уравнение х : 5 = 11, надо найти
делимое, зная делитель и частное. Уравнение решает
ся так:
х: 5 = 11
х
= 5 ·11
х
= 55
253
Глава пятая.
У
равкек
u
я
Чтобы найти неизвестное делимое, надо известны
й
делитель умножить на известное частное.
�
_
x
_
:
_
a
=
_
b
���
_
X
=
b
_
.
_
a
�
Чтобы решить уравнение 24 : х = 8, надо на
й
ти
делитель, зная делимое и частное. Уравнение решает
ся так:
24 : х = 8
х = 24 : 8,
х = 3.
Чтобы найти неизвестный делитель, н
о извест
ное делимое разделить на известное частное.
�
_
a
_
:
_
X
=
_
b
���
x
_
=
a
:
_
b
�
Р
е
ш
ение более
слож
н
ы
х ур
ав
н
е
н
и
й
.
А
л
ъ-
д
ж
еб
р
ва
-
л
-
м
у
кабала
Решение уравнений - предмет изучения в одной из
главных математических наук - в гебре. Название
этой науки произошло от названия книги среднеазиат
ского ученого ь-Хорезми, жившего в УН! - IX веках.
Книга эта называлась «( Китаб мухтасар аль-джебр
ва-л-мукабала».
Словом «( аль-джебр» в ней было на
звано важное правило, применяемое при решении
уравнений. Мы называем его nравuло пере носа. Вот
это правило в его нынешнем виде:
Если какое-либо слагаемое перенести из одной
части уравнения в другую, поменяв знак этого сла
гаемого, то получившееся уравнение будет иметь те
же корни, что и исходное уравнение.
254
Глава пя
т
ая.
У
равкек
u
я
Задача. Где применено правило переноса при ре-
шении уравнения:
2 (х + 5) =
3х + 18,
2х + 10
= 3х + 18,
2х - 3х = 18 - 10,
-х = 8,
х= -8?
При решении этого уравнения мы использови не
только правило переноса. Чтобы от предпоследней
строчки перейти к последней, нам понадобилось пра
вило, которое называется правилом деления и форму
лируется так:
Если обе части уравнения разделить на одно и то
же число, кроме нуля, то получившееся уравнение
будет иметь те же корни, что и исходное уравнение.
Р
е
ш
е
н
и
е
за
д
а
ч
с п
омощь
ю
ур
авн
е
н
и
й
Решение многих задач упрощается, если использо
вать уравнения.
Задача. Чтобы как следует потренироваться перед
контрольной работой, Лена за три недели решила
200 задач. С каждым днем она работала все лучше и
лучше, поэтому за вторую неделю она решила на
20 задач больше, чем за первую, а за третью неделю -
в 4 раза больше, чем за первую! Сколько задач реши
ла Лена за первую неделю?
Р
еше
ни
е
1) В этой задаче спрашивается, сколько задач ре
шено за первую неделю. Обозначим это неизвестное
нам число через х:
х -число задач, решенных за первую неделю.
255
r
лава пя
т
ая.
У
равкек
u
я
2) Выразим через х остальные неизвестные нам ве
личины, о которых говорится в задаче. Всего в ней
встречаются четыре величины: число задач, решен
ных за каждую из трех недель, и общее число решен
ных задач. Первое число мы уже обозначили через х.
Число всех решенных задач - 200. Остаются две не
известные величины, которые мы и должны выразить
через х. Это число задач, решенных за вторую неделю,
и число задач, решенных за третью неделю. 3а вторую
неделю Лена решила на 20 задач больше, чем за пер
вую, то есть (х + 20) задач. 3а третью неделю она ре
шила задач в 4 раза больше, чем за первую, то есть 4х
задач.
3) Теперь составим уравнение, переведя на матема
тический язык следующее соотношение:
lе�::::
чj
+
I
Ч:
е
с�
:
:
::
ч
j
+ [
Ч:
е
с�
:
:
::
чj
= [;
:
:�:�:xl
за l-ю неделю за 2-ю неделю за 3-ю неделю зада
ч
1
Уравнение будет таким: х + (х + 20) + 4х = 200.
4) Решим это уравнение:
х + х + 20 + 4х = 200,
6х + 20 = 200,
6х = 200 - 20,
6х = 180,
х = 30.
5) Осмыслим результат: х - это число задач, ре
шенных за первую неделю. Мы получили, что х = 30.
3начит, число задач, решенных за первую неделю,
равно 30.
О
твет: за первую неделю Лена решила 30 задач.
Как видно, решение задачи с помощью уравнения
состоит из пяти шагов:
1) обозначение одной из неизвестных величин че
рез х;
256
Глава пятая.
У
равнени
я
2) выражение остальных неизвестных величин че-
рез х;
3) составление уравнения;
4) решение уравнения;
5) осмысление результата и запись ответа.
Из этих пяти шагов самые трудные - второй и тре
тий. Имеет смысл потренироваться - выполнить
много заданий, в которых надо совершить только эти
шаги: составить выражения и уравнения по услови
ю
задачи. Вот эти задания.
1. В первой бригаде на 3 человека больше, чем во
второй. Число людей в первой бригаде обозначили
буквой х. Вырази через х число людей во второй бри
гаде. Изобрази обе величины отрезками.
2. Скорость пешехода в 2 раза меньше скорости
велосипедиста. Скорость пешехода обозначили бук
вой х. Вырази через х скорость велосипедиста. Сде
лай рисунок.
3. Одно число в 4 раза больше другого. Меньшее из
этих чисел обозначили буквой у. Вырази через у боль
шее число. Сделай рисунок.
4. Ботинки на 2000 крон дешевле шляпы. Цену
шляпы в кронах обозначили буквой х. Вырази через х
цену ботинок. Сделай рисунок.
5. Рабочий Иванов делает за смену на 10 деталей
больше, чем рабочий Петров. Сменную выработку
Иванова обозначили через х. Вырази через х сменную
выработку Петрова. Сделай рисунок.
6. Скорость вертолета в 3 раза меньше скорости
самолета. Скорость вертолета обозначили буквой у.
Вырази через у скорость самолета. Сделай рисунок.
7. Путь в гору в 2 раза короче, чем путь по равнине.
Путь в гору обозначили через х. Вырази через х путь
по равнине. Сделай чертеж.
257
Глава пя
т
ая.
У
равнени
я
8. Тетрадей купили на 8 штук больше, чем каран
дашей. Число купленных карандашей обозначили
буквой у. Вырази через у число купленных тетрадей.
Сделай рисунок.
9. Число х увеличили в два раза. Получившееся
число уменьшили на 4,01. Запиши результат. Сделай
рисунок.
10. Весь путь равен у км. Пешеход прошел полови
ну этого пути, а потом еще 3,4 км. Запиши, сколько
прошел пешеход. Сделай чертеж.
11. Одна сторона треугольника равна х см, вторая на
3 см больше, а третья в два раза короче второй стороны.
Вырази через х третью сторону. Сделай чертеж.
12. Калуша весила у каратов. Когда она вычучила
бутявку, то похудела на 40 каратов. Потом она стрям
кала грямзика, и ее вес увеличился втрое. Сколько
каратов весит она теперь?
13. Задуманное число х разделили на 5, а затем ре
зультат умножили на 3. Какое число получилось?
Сделай рисунок.
14. Площадь прямоугольника у разделили на
4 равные части, а затем каждую часть разделили на
5 равных частей. Вырази через у площадь каждого
из получившихся участков. Сделай чертеж.
15. Купили 6 игрушек ценой по х крон за штуку и
еще одну игрушку за 3000 крон. Сколько денег истра
тили? Сделай рисунок.
16. Карандаш стоит х рублей, а тетрадь на 1 рубль
дешевле. Вырази через х стоимость 8 тетрадей.
Сделай рисунок.
17. Поезд проходит х километров в час, а самолет за
1 час пролетает на 500 километров больше. Сколько ки
лометров пролетит самолет за 3 часа? Сделай рисунок.
18. В кувшин вмещается х литров, а в бидон на 1,6 л
меньше. Сколько литров поместится в пяти таких би
донах? Сделай рисунок.
258
r
лава пя
т
ая
.
У
рав
е
и
я
19. Вместимость кастрюли х литров, вместимость
чайника в 1,2 раза больше вместимости кастрюли.
Вместимость ведра в 2,4 раза больше вместимости
чайника. Сколько литров помещается в ведре? Сделай
рисунок.
20.
В первом цехе у рабочих. Во втором на 120 ра
бочих меньше. В третьем цехе рабочих в два раза
больше, чем во втором. Вырази через у число рабочих
третьего цеха. Сделай рисунок.
I
Это
были задания на составление выражений по ус
ловию задачи. Следующие задачи - на составление
уравнений. Решать получившиеся уравнения не нуж
но! При затруднениях в выполнении заданий делай
рисунки.
21. Составь урав
нение, зная, что число х равно 27.
22.
Составь уравнение, зная, что число у равно
12,31.
23.
Составь уравнение, зная, что если к числу
х прибавить 15, то получится 18.
24. Составь уравнение, зная, что если от числа
у отнять 8, то получится 84.
25.
Составь уравнение, зная, что разность числа
х
и числа 16 равна 48.
26.
Составь уравнение, зная, что если уменьшить
число у в 10 раз, то получится число 12.
27.
Составь уравнение, зная, что разность чисел
х
и 5 равна 90.
28.
Составь уравнение, зная, что про изведение чис
ла 7 и числа у равно 1001.
29. Составь уравнение, зная, что частное чисел
х и 4 равно 2.
30.
Составь уравнение, зная , что частное чисел 8
и х равно 4.
259
Глава пя
т
ая
.
У
рав
н
е
ни
я
31. Составь уравнение, зная, что стоимость одного
карандаша х пиастров и что 5 таких карандашей сто
ят 80 пиастров.
32. Составь уравнение по следующему условию.
Автомобиль движется со скоростью х км/ч; за 4 ч он
проехал 360 км.
33. Составь уравнение по следующему условию.
Пирожное стоит х тугриков, а мороженое на 80 тугри
ков дороже, причем известно, что две порции мороже
ного стоят 500 тугриков.
34. Составь уравнение по следующему условию.
Скорость велосипедиста х км/ч, а скорость автомоби
ля 90 км/ч. Скорость автомобиля на 78 км/ч больше
скорости велосипедиста.
35. Составь уравнение по следующему условию.
Цена портфеля х купонов. Она на 60 купонов больше,
чем цена сумки, равная 130 купонам.
36. Составь уравнение по условию: число 15х в 8 раз
больше, чем число 15.
37. Составь уравнение, зная, что скорость вертоле
та х км/ч и что она в 5 раз меньше скорости самолета,
равной 900 км/ч.
38. Составь уравнение по следующим данным.
Ученик делает за смену х изделий, мастер - втрое
больше, а вместе они за смену делают 480 изделий.
39. Составь уравнение по следующему условию.
Площадь сада х га, площадь поля в 4 раза больше, при
этом поле на 30 га больше сада.
Поле
1