Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика. 1-5 классы

Подождите немного. Документ загружается.

Глава шестая

Введек

е в геометрию

Еще задача. Вычисли объем конуса, высота кото

рого 6 ДМ, а площадь основания 30 см

•

Склеить конус, равный данному, - дело непро

стое. Пока достаточно уметь склеивать конус из гото

вой развертки.

3адача

Склей конус по рисунку и вычисли е

объем.

Пло

щадь

. Пло

щадь

пр

ям

оу

оль

ии

Как известно, площадь фигуры - это место, которое

занимает фигура на плоскости. Измеряется площадь

в квадратных единицах, то есть с помощью единич

ных квадратов.

281

Глава

ес

ая

Введек

ие в геометрию

Мы умеем находить площадь, наклывая фигуру на

сетку. Но это и долго, и неточно. Иногда результат та

ких вычислений зависит от того, как наложена фигура.

Например, на рисунке а) площадь фигуры равна 5 см

а на рисунке б) площадь той же фигуры равна 4 см

•

а)

б)

2 2

см2

2 2

Для некоторых фигур имеются формулы, позволя

ющие быстро находить их площадь. К таким фигурам

относится прямоугольник - четырехугольник, все

углы которого прямые.

3 см

5 см

На рисунке изображен прямоугольник со сторо

нами 3 см и 5 см. Какова его площадь? Сколько кв





ратов со стороной 1 см помещается в этом прямоуголь

нике? Сразу видно, что 15. Но, для того чтобы это

определить, можно было и не разлиновывать прямо-

282

а ше

ст



. Введек

ие в геометрию

ольник, а немножко порассуждать и провести вы

числение по формуле. В самом деле, ширина наше

прямоугольника 3 см. Значит, е

о можно мысленно

разделить на три полосы шириной по 1 см каждая.

Длина каждой полосы равна длине прямоу

ольника,

то есть равна 5 см. Значит, в каждой полосе помеща

ется по 5 квадратных сантиметров. Итак, в нашем

прямоу

ольнике помещается 3 раза по 5 квадратных

сантиметров, то есть его площадь S = 3 • 5 см

• И вооб

ще, если длина прямоу

ольника а единиц длины, а

ширина его Ь таких же единиц длины, то в нем поме

щается а полос по Ь единичных квадратов в каждо

полосе. То есть площадь S любого прямоу

ольника

можно вычислить по формуле

= аЬ.

Знание этой формулы обле

чает вычисления: те

перь уже не только не нужно разлиновывать прямо

ольник, но даже можно и вообще не рисовать е

о.

Чтобы найти его площадь, достаточно знать е

о изме

рения - длину и ширину.

Задача. Найди площадь прямоу

ольника со сторо

нами а и Ь, если 1) а = 3 м, Ь = 8 м; 2) а = 6 см, Ь = 8 дм.

Еще задача. Начерти какой-нибудь прямоу

оль

ник площадью 12 см2•

Всякий квадрат является прямоу

ольником. По

этому площадь квадрата можно найти по формуле

площади прямоугольника. Правда, здесь дело еще

проще: у квадрата стороны равны, а если известна од

на из сторон а, то другую сторону измерять не надо.

Да и формула упрощается:

SKBaдpaTa = а

а, то есть

= а

•

283

лава

ше

тая.

Введени

е в геом

етрию

Задача. Найди площадь квадрата со стороной 15 мм.

Еще задача

Начерти квадрат, площадь которого

равна 49 см2•

Площ

ад

гол

ьн

ика

На этом рисунке изображен многоугольник, который

легко разделить на прямоугольники. Площадь такого

многоугольника вычислить просто.

Задача. Вычисли площадь этого многоугольника.

Но ведь не всякий многоугольник можно разде

лить на прямоугольники.

Задача. Начерти многоугольник, который нельзя

разделить на прямоугольники.

А вот на треугольники можно разделить любой

многоугольник. Чтобы, например, разделить на тре

угольники вот такой многоугольник, достаточно про

вести из точки А все его диагонали - отрезки, соеди

няющие вершину А с несоседними вершинами.

284

лав

а ше

ст

ая.

Вве

деки

е в геом

етрию

Задача. Перечерти по клеткам многоугольник

с рису

ка и раздели его на треугольники диагон



я

ми,

выходящими из вершины М.





й-



.

Значит, чтобы

вычислить площадь любого

много

угольника, достаточно научиться вычислять площадь

любо

го

тре

угол

ьни

ка.

Если треугольник равен половине прямоугольни

ка, то его площадь найти легко - достаточно пере

множить

длины сторон,

образующих прямой угол

(тогда мы найдем площадь

прямоугольника), и разде

лить

результат

пополам.







�



s п

ямоугольника = а • Ь

285

--�

Sтреугольника =



аЬ

ла

шестая. Введекие в геоме

рию

Треугольник, равный половине прямоугольника,

легко узнать среди других - у него есть прямой угол,

и называется он прямоугольным треугольнuком.

Интересующие нас стороны этого треугольника, об

разующие прямой угол, называются катетами пря

моугольного треугольника. Если просят построить

треугольник с катетами 3 см и 4 см - речь идет о пря

моугольном треугольнике, и прямой угол располо

жен между указанными сторонами

катетами.

катет

Задача. Среди фигур на рисунке найди прямо

угольные треугольники и измерь линейкой их кате

ты. Чему равна площадь каждого из них?

Еще задача. Начерти какой-нибудь прямоуголь

ный треугольник, площадь которого равна 5 см

•

Возьмем теперь непрямоугольный треугольник.

Именно таков треугольник е. Чтобы найти его пло

щадь, достаточно разделить его на два прямоуголь

ных треугольника, вычислить площадь каждого из

них и сложить результаты.

286

Глава

ес

ая

. Введек

ие в геом

ет

рию

Задача

Перечерти по клеткам треугольник 

С,

раздели его на прямоугольные треугольники и найди

площадь треугольника



1/ \

/ \

-А

/ \

Чтобы разделить треугольник на два прямоуголь

ных треугольника, в нем проводят высоту. Высоту

треугольника можно найти так же, как высоту приз

мы, пирамиды, цилиндра и конуса

ростомером.

287

шес

т. Вв

еде

е в гео

Если все углы треугольника острые, то в нем можно

пр

овести три высоты, каждая из которых делит его на

ва

пр

ямоугольных треугольника. Но хотя бы о

ну та

высоту можно провести у любого треугольни

а.

ада

а.

Перечерти по клеткам треугольники и

пр

оведи внутри них все во

можные высоты.

J

. J



�

)





) 



I \



I "





Займемся выводом формулы площади треугольни

а.

з рисунка понятно, что она равна половине

ро

изведения стороны треугольника на высоту, прове

денную к этой стороне:

288

Глава шестая.

Введе

ни

ге

метрию

Для прямоугольного треугольника эту формулу

можно переписать в виде S =

где а и Ь -длины ка

тетов треугольника. И в самом деле, если взять в каче

стве одной из сто

он катет а, то высото

прямоуголь

ного треугольника окажется катет Ь.

Задач

_ah

-2

1. Перечерти многоугольник и раздели его на т

е

угольники, проводя диагонали из какой-нибудь одно

вершины.

)

�



.







\ 

�

2. Начерти многоугольник, которы

можно разде

лить на четыре треугольника диагоналями, проведен

ными из одно

вершины.

3. Начерти прямоугольник со сторонами 3 см и

4 см и раздели его на два треугольника. Какие тре

угольники получились? Чему равны катеты?

4. Начерти прямоугольник со сторонами 4 см и

5 см и раздели его на два треугольника. Чему равна

площадь этого прямоугольника ? Чему равна площадь

каждого получившегося треугольника?

289

шест

я. В

веде

ние

геометрию

5. Убедись с помощью чертежного угольника, что

все треугольники на рисунке прямоугольные . Перече



ти их по клеткам и найди площадь каждого из них.



�



�

�\

.

�



.

.





.





�



.



1

�

6. Один из катетов прямоугольного треугольника

равен 4 см, а другой 1,2 дм. Чему равна площадь тре

угольника?

7. Один из катетов прямоугольного треугольника

равен 7 см, а его площадь равна 70 см2• Чему равен

второй катет?

8. Начерти треугольник, имеющий тупой угол, и

раздели его на два прямоугольных треугольника.

9. Сторона треугольника равна 6 дм, а высота, про

веденная к этой стороне, равна 15 см. Чему равна пло

щадь этого треугольника?

10. Сколько понадобится краски, чтобы закрасить

треугольник на рисунке, если на 1 см2 уходит 10 мг

краски? (Длина клетки 5 мм).

/











290