Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика. 1-5 классы

Подождите немного. Документ загружается.

Гл

шестая.

Введек

ие в геоме

трию

4 . Отложим циркулем отрезок, равный данному,

от точки А на прямой.

5. Второй конец отрезка назовем какой-нибудь

другой буквой, например В:

Построение закончено.

Построй отрезок, равный отрезку FD .

•

Задача третья. Построить отрезок, длина которого

в 2 раза меньше длины данного отрезка.

Мы не можем здесь обойтись без измерения данно-

го отрезка. Поэтому мы:

1. Измеряем линейкой данный отрезок.

2. Делим его длину пополам.

3. Строим отрезок полученной длины (см. задачу

первую).

301

Глав

ше

ст

я. Введек

е в

геометрию

Пост

ой от

езок вдвое ко

оче от

езка К L .

•

зме

ие

угл

ов. Тра

нс

Тепе

ь нам нужно научиться ст

оить углы так же,

как мы умеем ст

оить от

езки.

Но для этого нужно научиться изме

ять углы так

же, как мы умеем изме

ять от

езки. Некото

ые углы

мы умеем и ст

оить, и измерять. Это п

ямые углы,

авные 900.

Задача. С

еди данных углов найди углы в 900 и по

ст

ой их с помощью че

тежного угольника.

Углы ме

яют в г

адусах, минутах и секундах. Эти

угловые ме

ы возникли в глубокой д

евности. П

ед

полагают, что это было связано с созданием календа

pя. Д

евние математики нарисовали к

уг и

аздели

ли его на столько частей, сколько дней в году. Но они

думали, что в году не 365 и не 366 дней, а 360. Поэто

му к

уг они

азделили на 360 равных частей. Такое

изоб

ажение года было очень полезным: на нем мож

но было отметить любой день

Ка

тинку с д

евним календа

ем легко сделать,

имея т

анспо

ти

302

Гл

естая. Введени

е в геометрию

Задача. Положи транспортир на чистый нелино

ванный лист бумаги и снаружи обведи карандашом

полукруглую шкалу. Теперь переверни транспортир

и закончи изображение круга. Отметь буквой

центр

окружности.

Полукруглая шкала транспортира разделена на

180 частей. А на всей окружности таких делений 360,

как на древнем календаре.

Задача. Разметь свою окружность через каждый

10 делений. Соедини точки деления с центром

и по

ставь обозначения делений.

Древние греки уже знали, что в году не 360 дней, а

больше, но деление круга на 360 равных частей они

сохранили. Древние римляне дали каждой такой час

ти название

«( градус» . Градус обозначается специаль

ным значком: 10.

Градусная мера углов сохранилась до наших дней.

Используются и более мелкие единицы измерения уг

ла:

часть градуса называется минутой (1'), а

часть

минуты называется секундой (1"): 10 = 60', l' = 60" .

Задача. Сколько секунд в трех градусах?

303

лава ше

я. Введе



ие в геометр

с помощью круга, разделенного на 3600, можно из

мерять углы.

Задача. Чему равен угол между отрезками ОА и ОБ?

Еще задача

Построй на кальке с помощью круга,

азделенного на градусы, угол величиной в 900.

ос

тр

ое

ие

уг

лов

Для построения углов мы пользовались кругом, раз

деленным на 360 градусов. При выполнении следую

щих заданий пользуйся транспортиром.

Задача. Построй угол, равный 540.

Еще задача. Построй угол, равный углу С, и угол,

равный половине угла С.

304

Гл

шес

та

я. Введе



е в геометр

и еще задач

1. Построй отрезок длиной 37 мм.

2. Построй отрезок, равный отрезку  .

•

3. Построй отрезок, равный одной трети отрезка F D .

•

4. Построй отрезок длиной 45 мм и найди его се

е

дину.

5. Построй угол в 350 и раздели его пополам.

6. Построй угол, равный углу С, и

аздели его

на три равных угла.

-А

 

" �

Пос

ро

ие

еуг

ков

Отрезок можно построить, если знать его длину,

угол - если знать его градусную меру. А по каким

данным можно построить треугольник?

Предположим, вы с товарищем получили задание

на дом: построить одинаковые треугольники. Придя

домой, ты только к вечеру вспоминаешь об этом зада-

11-22 305

Гл

а ше

та

я. Введе

ни

е в геометрию

нии, чертишь треугольник и звонишь своему товарищу

по телефону. И происходит между вами такой разговор.

Ты. У меня все готово.

Оп. А у меня нет. Я вообще не знаю, какой тре-

угольник строить.

Ты. Такой же, как у меня.

Оп. А какой он у тебя?

Ты. Сейчас скажу. Называется он треугольник

. Сторона А

равна 5 см, сторона

равна 10 см,

сторона АС равна 86,5 мм, угол А равен 900, угол

ра

вен 600, угол

равен 300. Записал?

Оп. Записать-то записал. Только как же я буду его

строить?

Это построение можно осуществить по-разному.

Можно сначала построить катет А

, потом прямой

угол А, потом второй катет АС, потом соединить кон

цы катетов. И наконец, проверить, что углы

и С, а

также сторона В

получились, как надо: LB = 600,

LC = 300,

= 10 см.

А можно построить сторону

, а к ней пристроить

углы

. Есть и другие варианты построения.

Задача. Осуществи перечисленные способы пост

роения этого треугольника.

Еще задача. Придумай и осуществи еще два других

способа построения этого треугольника.

Интересно, что каким бы способом построения мы

ни пользовались, нам придется учесть только три из

шести чисел, характеризующих этот треугольник:

либо три стороны, либо две стороны и угол, либо одну

сторону и два угла.

И это всегда так: для построения треугольника

нужно знать ровно три его элемента (важно только,

чтобы среди них был хотя бы один отрезок).

306

Гл

ва

шест

я. Введек

е в геометрию

Задача. Можно ли построить треугольник DEF,

у которого L D = 500, L Е = 400, сторона DE = 4 СМ, сто

рона DF = 5 см?

Еще задача. Построй треугольник MKN, у которо

го L М = 500, МК = 3 см, MN = 5 см. Измерь его сторо

ну KN и углы К и N

И еще задача. Построй треугольник PST, у которо

го L Р = 400, PS = 45 мм, L S = 600. Измерь его угол Т

и стороны РТ и ST.

И еще одна задача. Построй треугольник со сторо

нами 3 см, 4 см и 5 см. Измерь его углы.

Треугольник, у которого две стороны равны меж

ду собо

, называется равнобедренным,· треугольник,

у которого все три стороны равны между собой, назы

вается равносторонним.

Задача. Докажи, что всякий равносторонний тре

угольник является равнобедренным, но не всякий рав

нобедренный треугольник является равносторонним.

Еще задача. Построй равнобедренный треугольник,

равные стороны которого равны 5 см, а угол между

ними равен 900. Измерь третью сторону и остальные

углы.

И еще задача. Построй равносторонний треуголь

ник со стороной 4 см. Измерь его углы.

307

лава ше

ая. Введеки

е в геометр

Итак, если известны три элемента треугольника,

можно построить этот треугольник и измерить ос

тальные три его элемента.

Задача. Построй треугольник, равный треугольни-

ку



С.



5 см

Еще задача. Построй треугольник, площадь кото

рого в 2 раза меньше площади треугольника



С.

Для выполнения последнего задания достаточно про

вести

медиану

треугольника - отрезок, соединяющий

его вершину с серединой противоположной стороны.

Задачи

1. Построй отрезок, равный 5 мм.

2. Построй отрезки, равные отрезкам



и CD,

пользуясь линейкой с делениями. Сколько миллимет

ров в каждом получившемся отрезке?

•

3. Построй отрезок, равный одной трети отрезка CD.

Сколько миллиметров в получившемся отрезке?

4. Построй отрезок, в 2 раза больший отрезка



Сколько миллиметров в полившемся отрезке?

308

Гл

а ше

ст

ведекие в геометрию

5. Построй отрезок, длина которого равна сумме

длин отрезков  и еп. Сколько миллиметров в полу

чившемся отрезке?

6. Построй отрезок, длина которого равна разности

длин отрезков  и еп. Сколько миллиметров в полу

чившемся отрезке?

7. Построй отрезок, равный отрезку EF и найди его

середину. Для проверки построения используй цир

куль.

•

8. Пользуясь транспортиром, построй:

а) угол Х, равный 900;

б) угол У, равный 640;

в) угол М, равный углу А;

г) угол В, равный 1530;

д) угол е, равный половине угла А;

е) угол К, равный t угла А;

ж) угол п, вдвое больший угла А.

9. Построй две параллельные прямые, расстояние

между которыми равно 4 см.

10. Построй две параллельные прямые, расстояние

между которыми равно 35 мм.

11. Построй треугольник, равный треугольнику е.

A  e

309

Гл

ше

я. Введекие в геометрию

12. Построй прямоугольный треугольник с катета

ми 23 мм и 45 мм.

13. Построй прямоугольный треугольник, у кото

рого один из катетов равен 8 см, а сторона, лежащая

против прямого угла, равна 10 см. Чему равен второй

катет этого треугольника?

14. Построй равнобедренный треугольник со сто

ронами 5 см и 4 см. Сколько разных равнобедрен

ных треугольников с такими сторонами можно по

строить?

15. Построй равнобедренный треугольник со сто

ронами 5 см и 2 см. Сколько разных равнобедренных

треугольников с такими сторонами можно построить?

16. Построй равнобедренный прямоугольный тре

угольник, каждый катет которого равен 3 см. Измерь

углы этого треугольника.

17. Построй треугольник е, у которого



= 7 см, A = 600,  В = 750. Чему равны остальные три

элемента этого треугольника?

18. Построй треугольник DEF, у которого пЕ =

= 6 см,  D = 900,  Е = 300. Чему равны остьные три

элемента этого треугольника?

19. Построй треугольник MKN, площадь которого

в 4 раза больше площади треугольника



е.

20. Построй треугольник PQR, площадь которого

в 2 раза меньше площади треугольника е.

21. Построй параллелограмм, у которого одна

сторона 4 см, другая сторона 5 см, а одна из диагона

лей 3 см.

Измерь вторую диагональ.

310