Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика. 1-5 классы

Подождите немного. Документ загружается.



лава ше

ая

Введе

е в

еометр

uю

22. Построй прямоугольник, диагональ которого

равна 9 см, а одна из сторон равна 7 см. Измерь вто

рую диагональ и вторую сторону.

23. Построй параллелограмм, у которого одна сто

рона 3 см, другая сторона 4 см, а один из углов равен

600. Измерь остальные углы и диагонали.

24. Построй ромб, у которого сторона равна 5 см, а

одна из диагоналей 8 см. Измерь вторую диагональ.

25. Построй треугольникАВС, у которого:

а) АВ = х, ВС = у, АС

= г;

б)

В = Х, ВС = у, L В = L 1;

в)

АВ = х, LA = L 1, L В = L 2;

г)

АВ = Х, ВС = у, L А = L 1.

26. Построй параллелограммАВСD, у которого:

а)

АВ = x, AD = у, BD

= г;

б)АВ=х,AD=у,LА=L 1;

в)

АВ = x, AD = у, L В = L 1;

г) АВ = х, АС

= у, L В = L 1.

круга

Теперь мы умеем найти площадь любого многоуголь

ника, а значит, объем любой пр из мы и любой пирами

ды. Чтобы уметь находить объем цилиндра и объем ко

нуса, нужно научиться находить площадь круга.

Для этого нужно знать, что такое диаметр круга и

что такое его радиус.

311

Гл

а ше

ст

я.

Вв

еде

е в

ге

оме

рию

Радиус к

уга - это

асстояние между точкой

ок

ужности и цент

ом к

уга.

Диамет

уга - это наибольшее

асстояние между

точками к

уга. На

исунке изоб

аже

о несколько то

чек к

уга. Если изме

ить

асстояние между этими точ

ками, мы увидим, что самые далекие д

уг от д

уга точ

ки - это точки А и В. 3начит, от

езок



-·диамет

этого к

уга. С

азу видно, что диамет

уга вдвое боль

ше его

адиуса. Это можно записать так: d = 2r.

-

----



На этом

исунке показано, как изме

ить линейкой

диамет

адиус к

уга.

312

Гл

ава

шест

я. Введе



ие в геометр

Задача. Чему равны диаметры и радиусы кругов?

Круг можно начертить циркулем, если знать его

радиус.

Задача. Начерти круг, радиус которого равен 3 см.

Еще задача. Начерти круг, радиус которого в 2 ра

за меньше, чем радиус круга на рисунке.

и еще задача. Начерти круг, диаметр которого ра

вен 8 см.

Древнегреческие математики доказали, что пло

щадь любого круга можно найти по формуле

S = 

313

Глава

ая. Введе

ни

е в

еометрию

(читается:

«Эс равно пи эр

квадрат» ).

Греческой бук

вой  (пи) обозначается очень важное число. Не всякое

число удостоено специального обозначения. Число

 в математике встречается очень часто. Приблизи

тельно оно равно 3,14.

Итак, в наших расчетах мы будем пользоваться та

кой формулой для площади круга:

S = 3,14r2•

Если радиус измерен в сантиметрах, то площадь

круга получится в квадратных сантиметрах, и так да

лее. Например, площадь круга с радиусом 4 м равна

3,14·42 = 3,14 · 16 = 50,24 м2.

Задача. а) Найди площадь круга с радиусом 6 дм.

б) Найди площадь круга с диаметром 6 дм.

в) Во сколько раз р



иус первого круга больше, чем

радиус второго? Во сколько раз больше его площ



ь?

Еще задача. Найди площадь круга.

и еще задача. а) Найди объем цилиндра, у которо

го высота равна 4 см, а радиус основания 5 см.

б) Найди объем склеенного тобой цилиндра.

еще одна задача. а) Найди объем конуса, у кото

рого высота равна 4 см, а радиус основания 5 см.

б) Найди объем склеенного тобой конуса.

314

ва ше

ст

я. Введек

е в геометрию

Сек

ет

скл

ван

нд

- Какой же тут секрет? - скажешь ты. - Вырезай

себе два равных круга и один прямоугольник И склеи

вай!

Но дело в том, что круги и прямоугольник, выре

занные для этой цели, должны соответствовать друг

другу.

Задача. Перечерти и вырежь из плотной бумаги

прямоугольники и круги по размерам, обозначен

ным на рисунке. Выясни, какой из этих прямоуголь

ников годится для склеивания цилиндра с такими

основаниями.

см



�

см

12,6 см

15 см

315

Глава

ая. В

веде

ни

е в

еометрию

Не правда ли, тут есть какой-то секрет? Он состоит

в том, чтобы уметь правильно подобрать размеры пря

моугольника для кругов данного размера.

На этом рисунке показаны жирными линиями ме

ста склеивания прямоугольника с кругом. Ясно, что

длина прямоугольника должна быть точно такой, как

длина окружности основания.

r = 2 см

12,6 см

Предположим, что нам нужно склеить цилиндр

с высотой h

5 см и с диаметром основания d

8 см.

Как мы будем действовать?

Сначала мы начертим на плотной бумаге и выре

жем два круга радиусом 4 см (ведь диаметр основа

ния цилиндра должен равняться 8 см!). Затем мы

начертим прямоугольник. Высота этого прямоуголь

ника должна быть равна 5 см, но вот какой должна

быть его длина - это и есть вопрос, на который нам

надо ответить. Для этого следует измерить длины

окружностей наших кругов. Линейкой это сделать

трудно.

Задача. Возьми какой-нибудь круг, сделанный из

толстого материала. Отметь на его окружности точку

А. Начерти прямую и прокати по ней круг, отметив

на прямой два различных положения точки А.

Измерь расстояние между этими точками на

прямой.

316

Гл

ст

я. Введек

е в гео

етр

Повтори измерение, обтягивая круг ниткой. Под

считай, во сколько раз длина окружности больше диа

метра круга.

у тебя должно получиться, что длина окружности

больше диаметра приблизительно в 3,14 раза. Перед

нами опять появилось число n.

ще в Древней Греции математики установили,

что

лина С любой окружности равна ее диаметру,

умноженному на число n:

С = nd, или С

2nr.

В этом и состоит секрет изготовления цилиндра:

для определения длины прямоугольника нужно ис

пользовать то самое число n, которое входит в форму

лу площади круга.

Число n легко запомнить не только с точностью до

трех знаков (n = 3,14 ... ), но с точностью до 12 знаков:

3,14159265358 ... Каждая цифра - это число букв

в слове двустишия:

Это я знаю и помню прекрасно:

   

3 1 4





Пи - лишние знаки тут чужды, напрасны.



Однако мы будем по-прежнему пользоватся толь

ко первыми тремя знаками числа n, считая' его при

ближенно равным 3,14.

И если нам придется склеивать цилиндр с данной

высотой

и данным диаметром основания d, мы вы

режем

для него прямоугольник шириной h

и дли

ной 3,14d.

317

Гл

ше

я. Введек

е в геQметрию

94 мм

Задача. Вырежь из бумаги заготовки для склеи

вания цилиндра с высотой 5 см и радиусом основа

Hия 2 см.

одоби

Приходилось ли тебе слышать о Гулливере - герое

сочинения английского писателя Джонатана Свифта?

Его книги появились в начале XVIII века. В первой

из этих книг рассказывается о путешествии Гулливе

ра в страну лилипутов. Лилипуты были во всем такие

же, как Гулливер, но только в 12 раз меньше. Ска

жем, длина ступни Гулливера была около 1 фута,

а длина ступни у лилипута - около 1 дюйма. В 12 раз

меньше был рост лилипута, в 12 раз меньше - рассто

яние между глазами и так далее.

318

Гл

а ше

тая. Введекие в геометрию

Задача. Расстояние между глазами Гулливера

66 мм. Каково расстояние между глазами лилипута?

Еще задача. Рост лилипута 15 см. Каков рост Гул

ливера?

Можно сказать, что расстояния между одноимен

ными (в математике говорят: между соответственны

ми) точками на теле Гулливера и лилипута п

ро

орцио



нальны:

расстояние между глазами Гулливера

расстояние между плечами Гулливера

расстояние между глазами лилипута

расстояние между плечами лилипута

Геометрические фигуры, у которых расстояния

между любыми соответств

нными точками пропор

циона

льны, называются подо

ными фигурами . На

пример, подобны любые окружности, любые равно

сторонние треугольники, любые квадраты.

Прямоугольники сп и EFGH подобны, так как

у каждого из них длина вдвое больше ширины. Подоб

ны и две карты Испании.

F�--



-

---



Е Н

319

Гл

шест

ая.

Вв

ие

ом

Масштаб 1: 18 000 000

(В 1 СМ 180 КМ)

Масштаб 1:12000 000

(В 1 СМ 120 КМ)