Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика. 1-5 классы

Подождите немного. Документ загружается.

Глава

ая. Введение в геоме

рию

Если два многоугольника подобны и стороны одно

го в n раз больше сторон другого, то его площадь боль

ше в n

раз.

То же и у кругов. Два круга всегда подобны, и если

радиус одного круга в n раз больше, то его площадь

больше в n

раз.

Задача. Два пятиугольника на рисунке подобны.

Во сколько раз площадь первого пятиугольника боль

ше площади второго?

Гу

лливе

и лил

пут

Однажды Гулливер и лилипут пошли в овощной мага

зин и купили там 13 кг картошки (почему 13? Просто

чтобы доказать, что они не суеверны). Как разделить

между ними этот груз для доставки его на кухню?

Чтобы правильно, по справедливости, решить за

дачу, нужно знать, от чего зависит подъемная сила

руки. Руки Гулливера в 12 раз длиннее рук лилипута.

Но специальные опыты, проделанные биологами, до

казали, что сила руки зависит не от длины руки и да

же не от длины мышц, а от толщины мышц - от пло

щади сечения мышц.

331

Глава

ая. В

ведек

ие в геометрию

Будем считать, что мышцы Гулливера и лилипута

имеют круглое сечение. Так как радиус этого сечения

у Гулливера в 12 раз больше, то площадь сечения

больше в 122 раз, то есть Гулливер сильнее лилипута

не в 12 раз, а в 144 раза. 3начит, будет справедливо

разделить груз между ними так, чтобы Гулливер нес

в 144 раза более тяжелую поклажу, чем лилипут.

Нужно дать лилипуту около 0,1 кг картошки, а Гул

ливеру - все остальное.

Придя на кухню, Гулливер и лилипут попросили

повара сразу распределить картошку в два ящика:

ящик Гулливера и ящик лилипута. Повар решил рас

пределить картошку в соответствии с аппетитом каж

дого, для чего решил вычислить соотношение между

объемами их желудков.

Повар рассудил так: если бы желудки Гулливера и

лилипута имели

орму кубов, то куб Гулливера имел

бы ребро в 12 раз длиннее, чем куб лилипута. Если,

например, куб лилипута имел бы ребро 1 см, то его

объем был бы 1 см3• А у Гулливера был бы куб с реб

ром 12 см и имел бы объем 123 см3, то есть 1728 см3.

Вот и нужно разделить картошку так, чтобы ее

объемы, а значит и массы, относились бы, как

1 к 1728. И повар положил в ящик лилипута 8 г кар

тошки, а все остальное сложил в ящик Гулливера.

Задача. Проверь вычисления, которые позволили

определить ношу Гулливера.

Еще задача. Проверь вычисления повара.

3акономерность, замеченная поваром, верна не

только для числа 12, но и для любых чисел.

Задача. Ребро одного куба 3 м, а ребро второго ку

ба 6 м. Во сколько раз объем первого куба меньше объ

ма

второго?

332

r лава шестая.

Введекие в геометрию

Как видно, если ребро одного куба вдвое больше

ребра другого, то объем его больше в 8 раз, то есть

в 23 раз. В этом нет ничего удивительного: ведь если

разделить куб пополам по ширине, по длине и по вы

соте, то он разделится именно на 8 кубов с вдвое мень

шими ребрами.

·3 м







--

-*--1--

,/1 1 "

��I��I�/

�I�

�-- ----�--

�---- -� ---- -

Если разделить куб на кубы с ребрами, втрое мень

шими, то получится 27, то есть 33 малых куба. Неко

торые наборы детских кубиков состоят именно из

27 кубиков, которые укладываются слоями в одну

большую кубическую коробку. Слоев три, и в каждом

слое по девять кубиков.

Глава шестая. Введение в геометрию

От увеличения ребра куба в n раз его объем увели

чивается в n

раз. То же верно и для любого простран

ственного тела.

Задача. Возьмем цилиндр, имеющий радиус осно

вания 2 см и высоту 5 см. Увеличим радиус и высоту

в 4 раза. Как изменится объем цилиндра?

Глава седьмая

РаЗьtе задач

то значит - разные задачи? А до

сих пор все задачи у нас были одина

ковые? Конечно, нет. Но те задачи

относятся к определенным разделам

математики - к натуральным чис

лам, к обыкновенным дробям, к де

сятичным дробям, к геометрии. А математика - это

не только числа и геометрические фигуры. Это еще и

логика рассуждений. Задачи, которые приводятся

ниже, - на самые разные темы. Все они требуют не

только знания геометрии и умения считать, но глав

ное - умения думать.

1. На дереве сидели 10 птиц. Охотник выстрелил и

застрелил одну птицу. Сколько птиц осталось на де

реве?

2. На поляне сидели 10 птиц. Охотник выстрелил и

застрелил одну птицу. Сколько птиц осталось на по

ляне?

3. Два отца и два сына несли три апельсина. Сколь

ко нес каждый?

4. Яйцо всмятку варили 3 минуты в широкой и

глубокой кастрюле.

Сколько понадобится времени, чтобы сварить

всмятку 5 яиц?

5. 6 котов в 6 минут съедают 6 мышей.

Сколько понадобится котов, чтобы в 100 минут

съесть 100 мышей?

335

Глава

ая

. Р

зн

ые

ада

чи

6. Имеются два пакета. В один помещается 300 г

чая, в другой - 400 г.

Как отмерить из ящика, содержащего 1 кг 100 г

чая, ровно 1 кг?

7. Имеются два сосуда вместимостью в 3 л и 5 л.

Как с помощью этих сосудов налить из водопроводно

го крана 4 л?

8. На берегу реки стоят трое взрослых и два маль

чика. У них есть лодка, вмещающая лишь одного

взрослого или двух мальчиков. Как всем пятерым пе

реправиться на другой берег?

9. На сковородке помещается два блинчика. На об

жаривание блинчиков с одной стороны требуется

1 минута. Как на этой сковородке обжарить 3 блинчи

ка с обеих сторон за 3 минуты?

10. Говорят, один остроумный человек, слабо иг

равший в шахматы, сумел в двух партиях по перепис

ке (одной с чемпионом мира Капабланкой и другой -

с экс-чемпионом мира Ласкером) набрать 1 очко. Как

он сумел это сделать?

(В шахматах очко присуждается за выигранную

партию и пол-очка - за ничью.)

11. Я отпил i часть стакана черного кофе и долил

его молоком. Затем я выпил t стакана и снова долил

его молоком. Потом я выпил полстакана и опять до

лил молоком. Наконец, я выпил полный стакан. Чего

больше выпито, кофе или молока?

12. Две мухи с

ревнуются в беге. Они бегут от по

толка к полу и обратно. Первая муха ползет в обе сто

роны с одинаковой скоростью. Вторая ползет вниз

вдвое быстрее первой, а вверх - вдвое медленнее пер

вой. Кто победит?

13. Одно из 75

динаковых по виду колец несколь

ко отличается по весу от остальных. Двумя взвешива

ниями на чашечных весах нужно определить, легче

или тяжелее это кольцо, чем остальные.

336

Глава

ая

. Р

кые задачи

14. Сколько всего имеется пятизначных чисел,

сумма цифр которых равняется двум?

15. Из 9 одинаковых на вид колец одно несколько

легче остальных. Найди его двумя взвешивания ми на

чашечных весах.

16. Из 4 колец одно несколько отличается по весу

от других. Найди его двумя взвешивания ми на ча

шeчHыx весах.

17. Из бочки дегтя вылили ложку в бочку меда

и после перемешивания перелили такую же ложку

обратно. Чего стало больше: меда в дегте или дегтя

в меде?

18. Брошены два игральных кубика. Какая сумма

очков на их верхних гранях наиболее вероятна?

•

19. Двое одновременно отправились из А в В. Пер

вый поехал на велосипеде, второй - на автомобиле со

скоростью, в 5 раз большей скорости первого. На пол

пути автомобиль сломался, и оставшуюся часть пути

автомобилист прошел пешком со скоростью, в 2 раза

меньшей скорости велосипедиста. Успел ли велосипе

дист помахать рукой автомобилисту?

20. Имеется много жетонов стоимостью 3 тугрика

и два жетона по 5 тугриков. Можно ли из этих жето

нов составить любую сумму, большую 7 тугриков?

21. Двое путников одновременно вышли из А в В.

Первый половину времени, затраченного им на пере

ход, шел по 5 км В час, а затем пошел по 4 км В час.

Второй же первую половину пути прошел по 4 км В

час, а затем пошел по 5 км В час. Кто из них раньше

пришел вВ?

22. Сыграйте в игру «Кто первый скажет сорок?»!

Играют двое. Начинающий называет одно из четы

рех чисел: 1, 2, 3 или 4. Второй прибавляет к назван

ному числу одно из тех же чисел и так далее. Выигры

вает тот, кто первый сможет назвать число 40. Может

ли первый игрок обеспечить себе выигрыш?

12-22 337

ла

ва

ая.

кые

адачи

23. Еще одна игра с теми же правилами, но назвав

ший

«сорок»

считается проигравшим. Кто может вы

играть в этой игре?

24. Миша уверяет Машу, что для перенумерования

страниц имеющейся у него книги (с первой страницы

до последней) потребовалось ровно 999 цифр. Сколько

страниц в этой книге?

25. Можно ли выложить, соблюдая правила игры

в домино, все косточки так, чтобы на одном конце

оказалась шестерка, а на другом - пятерка?

26. Я хочу сделать домино с пустышками, едини

цами, двойками, тройками, четверками, пятерками,

шестерками и семерками. Сколько косточек будет

в этой игре?

27. Если деньги брата сложить с половиной денег

сестры, то они смогут купить две плитки шоколада.

А если деньги сестры сложить с половиной денег бра

та, то они смогут купить одну плитку шоколада.

Сколько денег у сестры?

28. у меня остановились стенные часы, а никаких

других часов у меня нет. Я пошел к другу, часы кото

рого ходят верно, поиграл с ним в шахматы и, придя

домой, смог верно поставить свои часы. Как мне уда

лось это сделать?

29. Двести учеников выстроены в прямоугольник

по 10 человек в каждом поперечном ряду и по 20

в каждом продольном ряду.

В каждом поперечном ряду выбран самый низень

кий ученик, а затем из 20 отобранных выбран самый

высокий. Им оказался ученик Андреев. Затем в каж

дом продольном ряду был выбран самый высокий уче

ник и среди 10 отобранных выбран самый низенький.

Им оказался ученик Петров. Кто выше, Андреев или

Петров?

30. В шахматном турнире участвовали 4 шахмати

ста: Андреев, занявший 1-е место, Борисов, занявший

338

лава

ая.

Ра

ые

адачи

2-е место, Власов, занявший 3-е место, и Гвоздев. Из

вестно, что Андреев с Гвоздевым сыграли вничью.

Установи результаты остальных девяти партий.

31. От записанной карандашом задачи сохранился

лишь следующий текст: «Произведение ... последова

тельных ... двузначных чисел равно 12075. Найти все

эти числа». Многоточиями обозначены неразборчи

вые слова. Восстанови текст задачи и реши ее.

32. В трех кучках 22, 14 и 12 орехов. Требуется

уравнять число орехов во всех этих кучках, причем

можно перекладывать из одной кучки в другую столь

ко орехов, сколько в ней уже имеется (удваивать чис

ло орехов в кучке). Как это сделать?

33. В ящике 35 шариков. Каждый из двух играю

щих по очереди вынимает из ящика любое число

шариков от 1 до 5. Выигрывает взявший последний

шарик. Кто выиграет при правильной игре, начинаю

щий или второй игрок?

34. Пункты А и В расположены на берегу реки.

А в В одновременно отправляются пешеход и лодка.

Каждый из них, достигнув В, поворачивает и отправ

ляется в А. Кто раньше достигнет А, лодка или пеше

ход, если скорость лодки в стоячей воде равна скоро

сти пешехода?

35. Найди все пары целых чисел, сумма которых

равна их произведению.

36. Коля ездит из дома в школу на трамвае (а об

ратно он ходит пешком). От дома до школы ходят

трамваи двух маршрутов: N 1 и N 2. Каждый из них

приходит на остановку около дома Коли через каж

дые 4 минуты. Оказалось, что Коля гораздо чаще по

падает на трамвай N 1, чем на трамвай N 2. Почему

это возможно?

37. Среди 77 колец одно несколько легче осталь

ных. Во сколько взвешиваний на чашечных весах без

гирь можно найти это кольцо?

339

лава

ая.

кые

адачи

38. Среди 77 колец одно несколько отличается от

остальных по весу. Во сколько взвешиваний на ча

шечных весах без гирь можно установить, легче оно

или тяжелее других колец?

39. Имеется 10 одинаковых по виду и размеру ку

биков. Одни из них алюминиевые (более легкие), дру

гие дюралевые (потяжелее). Определи число кубиков

каждого вида с помощью не более шести взвешиваний

на чашечных весах без гирь.

40. Имеется 10 мешков с одинаковыми монета

ми. Злоумышленник заменил один мешок мешком

с фальшивыми монетами. Известно, что хорошая мо

нета весит 1 О г, а фальшивая 11 г.

Как с помощью одного взвешивания на весах с ги

рями установить, в каком именно мешке монеты

фальшивые?

41. В шахматном турнире участвовали ученики 9 и

10 классов. Каждый сыграл с каждым по одной партии.

Десятиклассников было в 10 раз больше, чем девяти

классников, и они набрали в 4,5 раза больше очков, чем

девятиклассники. Сколько было в турнире девяти

классников и сколько они набрали очков?

42. Доказать, что число людей, сделавших нечет

ное число рукопожатий, не может быть нечетным.

43. Из трех победителей математического турнира,

набравших одинаковое число очков, надо было выде

лить самого сообразительного. Им показали пять кол

паков: три белых и два черных, затем им завязали

глаза, надели на каждого по белому колпаку, а чер

ные колпаки спрятали. После этого им развязали гла

за и сказали:

Каждый из вас видит колпаки на двух

других, но не видит колпака на самом себе. Кто дога

дается первым, какого цвета на нем колпак, тот полу

чит звание самого

сообразительного» .

Постояли они,

постояли, и один из них сказал:

«На

мне белый кол

пак

».

Как он рассуждал?

340