Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика. 1-5 классы

Подождите немного. Документ загружается.

Гл

а ше

ст

я. Введение в геометрию

Задача. Какие из фигур подобны друг другу?

Еще задача. Картина размерами 20х30 см взята

амк

у ши

иной 3 см. Почему прямоугольник CD

не подобен прямоугольнику EFGH?



см



V �

30 см

и еще задача. Два четырехугольника подобны. Диа

гонали пе

вого четырехугольника равны 4 см и 6 см.

Большая диагональ второго четырехугольника равна

12 см. Чему равна меньшая диагональ второго четы

рехугольника?

И еще

одна задача. Вырежь пять полосок бумаги

шириной 5 мм и длиной 7 см, 10 см, 14 см, 16 см и

17 см. Склей из них четырехугольник с диагональю,

подобный четырехугольнику на рисунке.

321

Гл

а ше

та

я. Введек

ие в геометрию

см

Четырехугольник - фигура подвижная. Это зна

чит, что если мы не будем склеивать стороны четырех

угольника клеем, а скрепим их булавками и к тому же не

приделаем к четырехугольнику диагонали, то сможем

менять форму четырехольника, не меняя длин его сто

рон. Например, ромб можно будет растянуть в квадрат.

В отличие от четырехугольника треугольник -

фигура жесткая. Если вырезать из бумаги три полос

ки длиной 7 см, 14 см и 16 см и скрепить их только бу

лавками, то изменить форму этого треугольника, не

меняя длин сторон, будет невозможно. И если три сто

роны одного треугольника пропорциональны трем

сторонам другого треугольника, то этого достаточно,

чтобы треугольники были подобны друг другу.

Задача. Начерти треугольник, подобный треуголь

нику, изображенному на рисунке, так, чтобы боль

шая сторона твоего треугольника равнялась 12 см.

Чему будут равны его другие стороны?

322

Глава ш

стая

Введек

е в геометрию

Подобием треугольников часто пользуются в прак

тических целях, в том числе для построения карт

и планов местности.

Задача. Расстояние между городами А и В равно

40 км, между городами А и С-50 км, а между горо

дами В и С - 30 км. Изобрази эти города на плане,

уменьшая расстояния в миллион раз.

Еще задача. По карте Испании найди расстояние

между Мадридом и Барселоной.

И еще задача. Изобрази на листе бумаги точки М,

С и В, обозначающие города Мадрид, Севилью и Бар

селону, увеличив расстояние в 2 раза по сравнению

с большой картой.

Задач

1. Подобны ли треугольники со сторонами 2 см,

7 см, 8 см и 2 м, 7 м, 8 м? Почему?

2. Стороны одного треугольника равны 5 см, 6 см и

7 см. Меньшая сторона подобного ему треугольника

равна 1 О дм. Чему равны две другие стороны второго

треугольника?

3. Два четырехугольника подобны. Стороны одного

из них равны 5 дм, 7 дм, 8 дм и 10 дм, а большая диаго

нь равна 11 дм. Большая диагональ второго четырех

угольника равна 55 см. Чему равны его стороны?

323

Глава

ая

Введ

ен

е в

еометрию

4. Курсантам морского училища поручили изме

рить высоту мачты. Но так как день был жаркий, сол

нечный, то лезть на мачту им было неохота, и они

придумали свой способ измерения. Что они сделали?

5. Школьники купались в пруду. Они решили вы

яснить, с какой скоростью каждый из них плавает.

Для этого им понадобилось измерить ширину пруда.

Известно, что ширина шага одного из них 70 см. Про

ходивший мимо них учитель математики нарисовал

им чертеж, но больше ничего не сказал. Что посовето

вать школьникам?

ие

ост

ранс

Подобие используют для решения задач не только

на плоскости, но и в пространстве - ведь именно та

кую задачу мы решили, определяя высоту мачты. Тело

Гулливера и тело лилипута - это подобные фиг

ры

в пространстве. Подобными фигурами в пространстве

являются шары, кубы.

Задача. Два цилиндра подобны. Их радиусы 2 см и

4 с

. Высота большего цилиндра 7 см. Чему равна вы

сота меньшего цилиндра?

324

Глава

ая. Введеие в геометр

uю

Еще задача. Придумай и реши задачу о подобных

конусах.

И еще задача. Как узнать, подобны ли две призмы?

Две пирамиды?

И еще

дна задача. Два прямоугольных параллеле

пипеда подобны. Один имеет измерения 5, 6 и 7 дм.

Меньшее измерение второго равно 10 дм.

а) Вычисли два других измерения второго паралле

лепипеда.

б) Вычисли объемы параллелепипедов.

в) Во сколько раз объем второго параллелепипеда

больше объема первого параллелепипеда?

Задачи

1. Перечерти треугольник АВС и соедини середи

ны его сторон М, N иР. Сколько равных треугольни

ков получилось?

A  C

2. Измерь стороны треугольника С и стороны

маленьких треугольников на получившемся у тебя

чертеже. Можно ли сказать, что маленькие треуголь

ники подобны треугольнику С?

3. Скопируй по клеткам рисунок и соедини точки

на сторонах отрезками, параллельными сторонам тре

угольника. Сколько равных треугольников пол

чи

лось? Подобны ли они большому треугольнику?

325

Гл

ва

шестая.

веде



ие в геоме

1

 .

-

кl

.

 L

 



-/

�

с

! I

Начерти треугольник и раздели его на 9 равных

тре

гольников.

5. Придумай, как разделить треугольник н

100 равных треугольников. Как разделить прямо

угольник на 100 равных прямоугольников?

име

тр

одо

бны

уг

ол

сли два многоугольника подобны, то их стороны,

как мы уже знаем, пропорциональны: стороны одного

мн

огоугольника в одно и то же число раз больше (или

меньше)

сторон другого. Оказывается, и перимет

ры

- суммы сторон _. таких многоугольников

нахо

дятся

в таком же отношении. Например,



4А1

1С1,

4А1

1•

Значит, каждая сторона тре-

В1

326

r лава шестая.

Введек

е в геоме

рию

угольника АВС вчетверо больше соответственной сто

роны треугольникаА

• Если мы захотим сравнить

их периметры Р и Р

' то получим следующее:

р = АВ + ВС + АС

= 4А

+ 4В

+ 4А

=4(А

+В

+А

)=4Р

Р 

начит, р

АВ'

1 1

Это - общее свойство всех подобных многоуголь

ников.

Что касается окружностей, то все они подобны меж

ду собой и их длины пропорциональны их радиусам.

Задача. На рисунке изображены треугольники.

1) Какие из них подобны?

2) Чему равны стороны подобных треугольников?

3) Чему равны их периметры?

4) Каким свойством обладают их периметры?

Еще зача. На рисунке изображены два подобных

четырехугольника. Измерь длины их сторон и убедись в

том, что их стороны пропорциональны. Найди перимет

ры и убедись в том, что они пропорционьны сторонам.

327

Глав

шеста

я. Введекие в геометрию

еще задача. Начерти прямоугольник, подобный

прямоугольнику АВсn на рисунке и имеющий вдвое

больший периметр.

-



------



и еще одна задача. Начерти треугольник, подоб

ный треугольнику АВС и имеющий вдвое меньший

периметр.



6 см

Предположим, нужно построить треугольник,

подобный треугольнику АВС и имеющий периметр

21 см. Как быть?

Чтобы решить эту задачу, измерим стороны данно

го треугольника и найдем его периметр. Находим, что

АВ = 5 см,АС = 3 см иВС

6 см. Р

14 см. А нам нуж

но построить подобный треугольник с периметром

21 см. 21 больше 14 в 1,5 раза. Значит, нам надо пост

роить треугольник, периметр которого в 1,5 раза

больше периметра треугольника АВС. Так как пери

метры подобных многоугольников пропорциональны

их сторонам, то и стороны нашего треугольника

должны быть в 1,5 раза больше сторон треугольника

328

Гл

ва

ше

ст

я. Введек

ие в геометрию

С. Значит, они ДОЛЖНЫ равняться 5 ·1,5 = 7,5 см,

3 · 1,5 = 4,5 см, 6 · 1,5

9 см. По этим данным и стро

ится нужный нам треугольник.

Задача. Начерти треугольник, подобный треуголь

нику С (с. 328) и имеющий периметр 28 см.

Еще задача. Начерти пятиугольник, подобный пя

тиугольнику спЕ, у которого периметр в 2 раза

больше.

и еще задача. Начерти окружность, длина которой

в 2 раза меньше длины окружности на рисунке.

329

Глава ше

тая. Введе



ие в геометр

оща

ны

х ф

ур

Возьмем два квадрата со сторонами 1 см и 3 см. Они по

добны, как любые квадраты. Сторона второго квадра

та в 3 раза больше стороны первого квадрата. Периметр

второго квадрата тоже втрое больше периметра перво

го квадрата. А во сколько раз площадь второго квадра

та больше, чем площадь первого? Оказывается, не в 3,

а в 9 раз: ведь площадь первого квадрата равна 1 см2,

а площь второго кврата равна 9 см2•

1 см

3 см

Если стороны одного квадрата вдвое больше сторон

другого квадрата, то площадь его больше в 4 раза, так

как больший квадрат можно разделить на 4 квадрата,

равных меньшему:

Если взять квадрат, сторона которого в 10 раз боль

ше стороны другого квадрата, то площадь окажется

больше в 100 раз. То же можно сказать и о любых по

добных многоугольниках: если сторону увеличить

n раз, то площь увеличится в n

n раз, то есть в n2 раз.

330