Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика. 1-5 классы

Подождите немного. Документ загружается.

Глава

ая. Р

ные

ад

ачи

Если эта задача оказалась слишком трудной, мож

но сначала решить ее для случая, когда отга

дывающих двое, а колпаков - три: два белых и один

черный.

44. Как в 10 вопросов отгадать задуманное нату

ральное число, если оно не более 1000 и если отвечаю

щий на вопросы говорит только

«да»

или «нет» ?

45. Сколько придется задать вопросов, если отве

чающий в предыдущей задаче имеет право один раз

соврать?

46. Восстанови расписание начала сеансов в кино-

театре, если они начинаются через одно и то же время:

1-й сеанс - 12 ч .. мин

2-й сеанс - 13 ч .. мин

3-й сеанс - .. ч .. мин

4-й сеанс - .. ч .. мин

5-й сеанс - .. ч .. мин

6-й сеанс - .. ч .. мин

7 -й сеанс - 23 ч 05 мин

47. Из какой точки земного шара надо выйти, чтобы,

пройдя 100 км на юг, затем 100 км на восток и затем 100

км на север, снова оказаться в точке отправления?

48. Сколькими способами можно расставить на

шахматной доске 2 ладьи так, чтобы одна из них не

была под боем у другой?

49. В одном ящике 50 шариков, а в другом 80. Каж

дый из двух игроков по очереди вынимает из какого

нибудь ящика любое число шариков. Выиграет тот,

который возьмет последний шарик.

Кто выиграет при правильной игре, начинающий

или второй игрок?

50. В турнире играли 6 шахматистов, по одной пар

тии каждый с каждым. Андреев набрал 4 очка и занял

1-е место, Бунин занял 2-е место, Воронов и Гусев раз

делили 3-4-е места, Дымов занял 5-е место, а Егоров,

занявший 6-е место, выиграл у Гусева. 5 партий тур-

341

Глава

ая

. Р

кые з

ад

чи

нира закончились вничью, причем Бунин сделал

только одну ничью. Восстанови результаты всех пар

тий.

В задачах 51-56 поставь вместо многоточия одно

из трех выражений:

«( необходимо»,

«( достаточно»,

или «( необходимо и достаточно»:

51. Чтобы число делилось на 5, ... , чтобы послед

няя цифра его была 5.

52. Чтобы сумма нескольких чисел делилась на не

которое число, ... , чтобы каждое слагаемое делилось

на это число.

53. Чтобы число делилось на 24, ... , чтобы оно де

лилось на 4 и на 6.

54. Чтобы число делилось на 24, ... , чтобы оно де

лилось на 3 и на 8.

55. Чтобы натуральное число было точным квадра

том, ... , чтобы оно оканчивалось одной из циф

: О, 1,

4, 5, 6, 9.

56. Чтобы произведение нескольких чисел было

равно нулю, ... , чтобы хотя бы один из множителей

равнялся нулю.

57. В некотором месяце три воскресенья пришлось

на четные числа. Какой день недели был 20-го числа

этого месяца?

58. 7 карандашей дороже 8 тетрадей. Что дороже,

8 карандашей или 9 тетрадей?

59. Найди площадь треугольника, если его верши

ны

имеют координаты (2; 3), (-1; 2) и (4; 2).

60. Сумма любых трех стоящих рядом чисел в этой

таблице равна 15. Заполни пустые клетки таблицы:

61. Вместо квадратиков в уравнениях 5х - 3 = 8 +

+ о и О + 5х - 3 = 8 + О вставь такие числа, чтобы оба

уравнения имели корнем число -8.

342

Глава

ая.

PaJKe

ада

62. Улитка ползет по столбу высотой 20 м. Каж

дый день она поднимается на 2 м и каждую ночь опу

скается на 1 м. Через сколько дней она достигнет

вершины?

63. Как определить высоту кирпичного дома, имея

в руках только линейку длиной 30 см?

64. Сколько нулей на конце произведения всех на

туральных чисел от 1 до 100?

65. Муравей сидит на передней грани куба, в точке

А, и желает попасть на заднюю грань, в точку В. По

какому кратчайшему пути должен он ползти?

66. Докажи, что календарь любого года в точности

повторяется через каждые 400 лет.

67. С каких дней недели может начинаться век?

68. На ферме выращивают кур и кроликов. Всего

имеется 100 голов и 300 ног. Сколько на ферме кур и

сколько кроликов?

69. В одном украинском городе 90% жителей гово

рят по-украински, 80% говорят по-русски, и притом

каждый житель говорит хотя бы на одном из этих

языков.

Сколько процентов жителей говорят на обоих этих

языках?

70. Вниз по течению пароход идет от города А в го

род В со скоростью 25 кмjч, а вверх по реке из В вА со

скоростью 15 кмjч.

Определи среднюю скорость парохода во время все

го пути туда и обратно.

71. По течению реки катер прошел расстояние

между двумя пунктами за 4 ч, а против течения меж

ду теми же пунктами - за 6 ч. За какое время прой

дет это расстояние плот?

72. В ящике находится 20 носков черного цвета и

10 носков синего цвета.

Сколько нужно вынуть носков не глядя, чтобы обра

зовалась пара одноцветных носк

в?

343

Глава

ая.

Ра

кые



73. В ящике находится 10 пар черных перчаток и

5 пар синих.

Сколько нужно вынуть перчаток не глядя, чтобы

образовалась пара одноцветных перчаток?

74. (Задача Эйлера.) Крестьянка принесла на ры

нок некоторое число яиц. Одному покупателю она

продала половину того, что имела, и еще пол-яйца;

второму - половину того, что у нее осталось, и еще

пол-яйца; третьему - половину нового остатка и еще

пол-яйца; четвертому - половину того, что осталось

от прежней продажи, и еще пол-яйца. После этого

у нее ничего не осталось.

Сколько она принесла яиц?

Ответы. Указания. Решения

ет

ь". У

ка

uя. Р

uя

к стр. 46.

1. 111 II 1 II 1 1

Х; II 1 II II II

IX.

2. УI + IV

Х.

3. УН

Х -HI.

стр. 57-59.

1. Нужно перевернуть лист. На нем будет число 9.

2. На первом кубике можно написать О, 1, 2, 3, 4

и 5, а на втором О, 1, 2, 6, 7 и 8. Отдельная цифра 9 не

нужна, она получается переворачиванием цифры 6.

8. Это цифра о.

10. Ближайшие симметричные числа 16061,

16161 и 16261. Если шофер увидел первое из них, то

скорость равна 55 км/ч, если второе, то 105 км/ч,

а если третье, то 155 км/ч.

стр. 63-66.

6. Их четверо, они сидят по углам.

7. Четыре.

8. Одна.

9. Дети положили пирожные так:

•

• • •

•

345

тветы

ка

ани

Реше

ни

11.

•

14. Это число 3.

15. Это число 100.

к сТр. 70-71.

2. 20 конфет.

3. Составим такие соотношения:

[Число ]

Число j

всех

девочек

учеников

[ Число ]

причанных

мальчиков

[ Число

]

непрных

мальчико

[

Число

�

Число

[ число ] [ число ]

всех всех

- причесанных - причанных

епричанны

ученико

мальчиков

девочек

А так как по условию число непричесанных маль

чиков равно числу причесанных девочек, то число

всех девочек равно числу всех непричесанных.

к сТр. 76.

2. Увеличится в 11 раз.

4. Да, если второе число - нуль.

5. На двухсотом месте окажется цифра нуль, так

как первые 9 мест займут

днозначные числа, следу

ющие 180 мест - двузначные числа, а последние

11 мест будут выглядеть так: 10010110210.

346

тветы

. 

uя. Р

я.

к СТ

. 80-83.

1. 10, 10, 20 и 40.

2. 75.

3. Через 28 лет.

4. За десять суток часы отстанут на 1 час, а за 120 су-

ток - на 12 часов, то есть покажут правильное время.

5. (1 + 20)

210.

6. 5050.

7. 648.

8. 1200.

15. На этом рисунке показано, сколько маршрутов

ведет из точки А к каждому перекрестку этого города.

Так что девочки совершенно правы.

к СТ

. 93-94.

30. Каждое слагаемое второй суммы составляет 100

с одним из слагаемых первой суммы. Поэтому эти две

суммы вместе составляют 4000. И так как первая сумма

равна 1919, то вторая сумма равна 4000 - 1919

2081.

к СТ

. 108-111.

10. Он счит т: 84

7· 12, значит, 84 · 84

(50 - 1)

144

7200 - 144

7056.

347

твет

ка



Реше



к стр. 114-116.

3. Собака стоила 8 р.

13. Можно считать, что один поезд стоит на месте,

а другой едет мимо него со скоростью (36 + 45) км/ч.

Тогда легко вычислить, что длина каждого поезда

равна 135 м.

15. Даша воспользовалась тем, что 3 + 4 = 7, и на

писала в третьей строке сумму предыдущих результа

тов - чисел 2856 и 3808.

к стр.125-131.

2. 1 и 25.

3. О; 1.

4. 99 + 9 : 9 = 100.

5. (5 + 5)

(5 + 5).

6. Так как

�

1 ' то достаточно разрезать

3 хлеба на четыре равные части каждый и 4 хлеба на

три равные части каждый.

2 см

4 СМ

348

тветы

"а

ак

ешеки

10.

•

• •

•



· ·

•



•

• •

•

11.



13. Надо распилить третье кольцо. Цепочка распа

дется на три куска: одн

льцо (распиленное), два

кольца и четыре к

льца. За первый день постоялец

отдаст одно кольцо, за второй отдаст два, а первое за

берет обратно и так далее.

14. Если бы электричка с девочками стояла на мес

те, то встречные электрички проезжали бы мимо че

рез каждые 10 мин, так что в течение часа мимо одно

го и того же неподвижн

пункта проходит не 12, а

только 6 электричек.

15. В 4 раза.

17. Паша за съеденные им

рыбы решает 8 задач,

то есть по 1 задаче за каждую треть рыбы. Коля из сво

их 5 рыб съел

сам, а

�

тратил на Пашу. Так что

Паша должен решить за К

лю 7 задач. А Петя из сво

их 3 рыб потратил на Пашу

�

рыбы, так что Паша

должен решить за нег

1 задачу.

349

еты



ак

uя.

ек

к сТр. 148-152.

1. Нет, так как сумма двух нечетных чисел четна

и не может равняться 11.

2. Нет.

3. Нет.

4. Так как число 82** делится на 90, то оно делит

ся и на 10, и на 9. Чтобы делиться на 10, оно должно

оканчиваться на О, то есть выглядеть так: 82

0. А что

бы делиться на 9, оно должно иметь цифры, сумма ко

торых делится на 9. 3начит, это число 8280.

5. В этой сумме каждое слагаемое делится на 3,

а значит, должна делиться на 3 и вся сумма. Но число

127 на 3 не делится.

6. Нет. Если сумма двух чисел нечетна, то одно из

них четно, а значит, их произведение четно.

7. Можно. Надо найти сумму остатков, которые дт

все эти числа при делении на три: 1 + 1 + 1 + 2 + О = 5.

3начит, при делении на 3 данная сумма дает в остатке 2.

8. Искомое число делится на 5, на 3 и на 4, а зна

чит, делится на 60. Такое двузначное число един

стве

НН

о. Ответ: 60.

9. Число, написанное Колей, имеет вид *10

. О

но

делится на 72, то есть делится на 8 и на 9. Чтобы это

число делилось на 8, оно должно оканчиваться на 4,

то есть иметь вид *104. А чтобы делиться на 9, это

число должно иметь цифры, сумма которых делится

на 9. 3начит, это число 4104.

1 О. Если от искомого числа отнять 1, разность бу

дет делиться без остатка на все указанные числа,

то есть делиться на число 8·9' 5·7

2520. Ответ: 2521.

11. Наименьшее из возможных чисел 23.

12.1. Наименьшее из возможных чисел 59.

12.2. 3а 70 дней муж выпивает 5 кадей, а вместе

с женой он выпивает за 70 дней 7 кадей. 3начит, жена

за 70 дней выпивает 2 кади. Ответ: 35.

13. 777.

350