Аскирка В.Ф. Электричество и магнетизм. Волновая оптика

Подождите немного. Документ загружается.

241

=E . (1)

Световой поток, падающий на поверхность стола, определим,

используя определение силы света изотропного источника [17.8]:

J . (2)

Поскольку телесный угол

(

)

cos12 j-p=W ,

где

j – угол полураствора конуса, опирающегося на поверхность

стола, то выражение (2) приобретет вид:

(

)

cos12 j-p=F J . (3)

Из рисунка 2.43 следует геометрическое соотношение:

cos

=j . (4)

Площадь стола определяется как площадь круга:

Rp=s . (5)

Учитывая (3), (4) и (5), выражение (1) запишем в виде:

E . (6)

В условиях предложенной задачи максимальная освещенность бу-

дет наблюдаться в центре стола:

max

=E (7)

Отношение максимальной освещенности стола к средней опреде-

лим, воспользовавшись соотношениями (6) и (7):

==h

222

max

HRH

HRR

. (8)

При изменении высоты источника над столом освещенность,

создаваемая точечным источником на краю стола, будет равна

[17.10]:

cosJ j

=E , (9)

242

где

– угол между нормалью к площадке приемника и направле-

нием на источник,

– расстояние от приемника до источника.

Из выражения (9) следует, что при уменьшении высоты ис-

точника над столом, величина

будет уменьшаться, однако угол

будет увеличиваться, что обуславливает немонотонную зависи-

мость освещенности от высоты.

Представим освещенность на краю стола как функцию одной

переменной, например угла

. Из рисунка 2.43 следует геометри-

ческое соотношение

sin

r , поэтому (9) запишется в виде:

jj==

cossin

EE . (10)

Искомую высоту h найдем из условия экстремума функции:

0=jddE .

Производя дифференцирование выражения (10), получим:

(

)

(

)

0sinsincos2cossin

=j-jj=

jj=

. (11)

Выполнив тригонометрические преобразования, получим:

2±=jtg , RRtgh 2=j= .

Для определения кривой светораспределения учтем, что при по-

стоянной высоте источника

над столом в выражении (9)

= cosHr (рис. 2.43), поэтому:

Рис. 2.43

243

cos

E . (12)

Из полученной зависимости следует, что освещенность будет по-

стоянной, то есть не будет зависеть от угла, если

()

cos

где

J – сила света, создаваемая источником в направлении

0=j

, то есть в центре стола.

Ответ:

E ;

max

=E ;

==h

222

max

HRH

HRR

; Rh 2= ;

()

cos

Пример 6. Лампа накаливания, излучающая поток

105,2 × лм,

помещена в центр шара диаметром 25 см из матового стекла. Оп-

ределить светимость и яркость внешней поверхности шара, если

25 % всего потока источника поглощается стеклом.

Дано:

105,2 ×=F лм,

d см 25,0

м,

250,

Найти:

Решение. Определим световой поток, излучаемый поверхно-

стью матового шара по всем направлениям:

(

)

FK-=F

1 , (1)

где

(

)

K-1 – коэффициент пропускания матового стекла, равный

отношению прошедшего (рассеянного) светового потока

к ве-

личине излучаемого лампой падающего потока

244

Светимость шара равна отношению излученного потока

площади его поверхности

[17.14]:

(

)

FK-

= . (2)

Для определения яркости поверхности

шара воспользуемся

связью светимости и яркости для ламбертова источника [17.16]:

L . (3)

С учетом (2) выражение (3) примет вид:

(

)

FK-

= . (4)

Выполняя вычисления, получим:

(

)

106,9

25,014,3

105,225,01

×=

×-

лм/м

(

)

100,3

25,014,3

105,225,01

×=

×-

кд/м

Ответ:

106,9 ×=M лм/м

100,3 ×=L кд/м

Пример 7. Сквозь отверстие в ставне в комнату падает пучок

солнечного света, образующий зайчик на листе белой бумаги

(рис. 2.44). Площадь зайчика равна 80 см

, освещенность

105,1 × лк, коэффициент отражения бумаги 0,85. Какова освещен-

ность: а) потолка комнаты над листом бумаги, если ее высота

3,5 м; б) стены на высоте 2,5 м от пола? Стена находится от зайчи-

ка на расстоянии 3,0 м и расположена перпендикулярно к плоско-

сти падения солнечных лучей на пол.

Дано:

см

2 3

1008

×= , м

105,1 ×=E лк,

85,0

245

5,3

H м,

5,2

h м,

0,3

R м.

Найти:

E ,

E .

Решение. На основании закона обратных квадратов [17.10]

освещенность, создаваемая источником силы света J , равна:

cos

J j

=E , (1)

где

– расстояние от источника до точки наблюдения (площадки,

где определяется освещенность),

– угол между нормалью к

площадке и направлением на источник.

Для определения силы света освещенного зайчика воспользу-

емся законом Ламберта [17.13]:

= cos

JJ , (2)

где

J – сила света, создаваемая протяженным источником в на-

правлении, перпендикулярном его поверхности ( 0=j

). Для лам-

бертова источника можно записать:

s= LJ

, (3)

а также [17.16]:

, (4)

где

– яркость,

– светимость источника,

– его площадь.

Коэффициент отражения

равен отношению светимости по-

верхности к ее освещенности

E :

. (5)

Рис. 2.44

246

Учитывая соотношения (2) – (5), запишем выражение (1) в виде:

= coscos

E . (6)

Для точки

, расположенной на потолке комнаты над освещен-

ным пятном, 0=j

=j ,

и выражение (6) примет вид:

E .

Производя вычисления, получим:

7,2100,8

5,314,3

105,185,0

=×

××

E лк.

Определим освещенность в точке

, находящейся на стене

(рис. 2.44). Из прямоугольного треугольника OBC

очевидны

следующие геометрические соотношения: j-°=j

90 ,

222

Rhr += ,

=jcos,

=jsin. С учетом этого выражение (6)

запишется в виде:

()

E . (7)

Подставляя числовые значения в (7), имеем:

()

54,0

5,30,314,3

5,20,3100,8105,185,0

××××××

E лк.

Ответ: 7,2=

E лк, 54,0=

E лк.

Пример 8. Чему равны напряженности электрического и маг-

нитного полей световой волны с длиной 500 нм, если при нор-

мальном падении она создает освещенность 500 лк?

Дано:

500

нм

10005

×= , м,

500

лк.

Найти:

E ,

H .

247

Решение. Для решения задачи выполним перевод световой

освещенности, заданной в люксах, в энергетическую, выраженную

в Вт/м

. Для этого воспользуемся кривой видности (смотри при-

ложение 14). Для заданной длины волны относительная спек-

тральная чувствительность среднего человеческого глаза состав-

ляет 37,0=K

. С учетом относительной спектральной чувстви-

тельности энергетическая освещенность

E будет равна [17.2],

[17.20]:

555

, (1)

где

555

V – максимальная спектральная чувствительность глаза,

равная 683 лм/Вт.

Поскольку энергетическая освещенность тождественна ин-

тенсивности (

I Eº ), то для определения напряженности электри-

ческого и магнитных полей воспользуемся выражением для ин-

тенсивности монохроматических электромагнитных волн в вакуу-

ме [16.10]:

сНcE

= , (2)

где

E и

H – амплитудные значения напряженности электриче-

ского и магнитного полей соответственно.

Из соотношений (1) и (2), подставляя числовые значения ве-

личин, получим:

6,38

37,0683100,31085,8

50022

812

5550

×××××

В/м,

1020

3706831003104

50022

5550

H =

×××××p×

А/м.

Ответ: 6,38

=Е В/м, 1020

,H = А/м.

Пример 9. Изображение Солнца проецируется на экран с

помощью линзы с фокусным расстоянием 20 см и диаметром

248

2,5 см (рис. 2.45). Определить освещенность изображения, если

при отсутствии линзы освещенность равна

105,2 × лк. Угловой

размер Солнца 03

Дано:

f см 20,0

м,

5,2

d см

1052

×= , м,

105,2 ×=

лк,

107803

×=

=a ,

рад.

Найти:

Решение. Поскольку расстояние до Солнца намного больше

фокусного расстояния линзы, то с большой точностью можно счи-

тать, что изображение будет расположено в фокальной плоскости

линзы, то есть на расстоянии, равном фокусному (рис. 2.45). Если

не учитывать поглощения и рассеяния, то световой поток

, па-

дающий на линзу, будет равен потоку

, прошедшему через нее

и формирующему изображение:

. (1)

В условиях задачи изображение Солнца будет спроецировано на

экран в виде диска.

В большинстве случаев можно с большой точностью считать, что

солнечные лучи падают на линзу практически перпендикулярно.

Тогда световой поток, падающий на линзу, будет равен [17.2]:

Рис. 2.45

249

, (2)

где

– освещенность линзы,

– ее площадь ( 4

dp=s ).

Освещенность изображения определим из соотношения:

(3)

Площадь изображения будет равна

(

)

fap

. (4)

Из соотношений (1) – (4) получим:

E . (5)

Полезно заметить, что величина

(

)

fd называется светосилой

линзы. Подставляя в выражение (5) числовые значения, получим:

()

102,5

20,0

105,2

107,8

105,2

×=

лк.

Ответ:

1025 ×=

лк.

Пример 10. В схеме Юнга расстояние между двумя узкими

щелями 2,5 мм. На экране, расположенном на расстоянии 2,0 м,

наблюдается система интерференционных полос. На какое рас-

стояние и в какую сторону сместится интерференционная картина,

если одну из щелей перекрыть тонкой стеклянной пластинкой

толщиной 10 мкм? Длина волны монохроматического источника,

используемого в схеме, 600 нм. Определить также число полос, на

которое сместится интерференционная картина при внесении ука-

занной пластинки.

Дано:

5,2

l мм

105,2

×= м,

0,2

D м,

250

h мкм

1001

×= , м,

600

нм

1006

×= , м.

Найти:

x , N .

Решение. Пусть экран расположен на расстоянии

от ли-

нии, соединяющей два источника (рис. 2.46).

В плоскости экрана выберем ось OX , параллельную прямой

SS . В схеме Юнга щели

S и

S представляют собой источники

когерентных цилиндрических волн. Поэтому на экране, располо-

женном на достаточно большом расстоянии от

S и

S , наблюда-

ется интерференционная картина в виде светлых и темных полос,

параллельных щелям. В точку O на экране волны от двух источ-

ников приходят в одинаковой фазе, то есть их разность хода равна

нулю. При отсутствии пластинки здесь будет наблюдаться макси-

мум для всех длин волн. Этот максимум называется центральным

или нулевым.

В некоторую точку

(

)

xP экрана с координатой 0

x волны

приходят с определенной разностью хода (рис. 2.46):

120

rrL -=D . (1)

Учитывая, что xD

и lD

, где l – расстояние между щеля-

ми,

– расстояние от щелей до экрана, можем записать

(рис. 2.46):

q»D sin

lL и

tg =q

»qsin , тогда

Рис. 2.46