Аскирка В.Ф. Электричество и магнетизм. Волновая оптика

Подождите немного. Документ загружается.

251

L »D

. (2)

Для точек экрана, имеющих положительные значения координаты

( 0

x ), волна от источника

S опережает волну от источника

S .

Для точек, у которых координата 0

x , волна, образуемая

S ,

приходит с отставанием по фазе.

Внесение пластинки создает дополнительную разность хода,

что будет приводить к смещению интерференционной картины.

Сдвиг интерференционных полос удобнее наблюдать по положе-

нию центрального максимума, для которого разность хода равна

нулю ( 0

L ). Если пластинка закрывает источник

S , то в точку

O волны от

S придут с опозданием по фазе. И, соответственно,

точка нулевой разности хода переместится вверх (точка

(

)

xP ).

Дополнительная разность хода

LD , возникающая при внесе-

нии пластинки толщиной h , будет равна

(

)

-=D nhL .

Поскольку мы рассматриваем нулевой максимум, для которого

суммарная разность хода равна нулю, то

=D-D=D LLL или, учитывая (2),

()

nh =-1.

Откуда смещение интерференционной картины будет равно

(

)

nDh

= . (3)

Производя вычисления, получим:

(

)

1004

1052

151100102

×=

-××

= ,

,,,

x м.

Число полос, на которое сместится интерференционная картина,

будет при этом равно

(

)

1nh

N . (4)

Подставляя в выражение (4) числовые значения величин, получим:

(

)

3,8

100,6

15,1100,1

-×

N .

252

Таким образом, интерференционная картина сместится на 8 полос.

Заметим, что если 1

N , то

(

)

l=-1nh . Поскольку

(

)

1 Lnh D=- ,

то есть соответствует внесенной с помощью пластинки оптиче-

ской разности хода, то на основании рассмотренного примера

можно сделать практически важный вывод. Внесение оптической

разности хода в длину волны

приводит к смещению интерфе-

ренционной картины на одну полосу, причем смещение наблюда-

ется в сторону того источника, волны от которого проходят

больший оптический путь.

Ответ:

100,4

×=x м, 8

N .

Пример 11. Точечный монохроматический источник света S

освещает бизеркала Френеля. Угол между бизеркалами равен

180 . Расстояние от источника до линии пересечения зеркал

равно

. Интерференционная картина наблюдается на экране, рас-

положенном перпендикулярно биссектрисе угла бизеркала на

расстоянии b от линии пересечения бизеркал. Длина волны излу-

чения источника равна

. Определить ширину и количество ин-

терференционных полос, наблюдающихся на экране. Как изменит-

ся ширина полос и положение интерференционных полос, если

источник приблизить к экрану на расстояние a

, вдвое мень-

шее

Дано:

180 ,

, b ,

, 2aa =

Найти: x

, N , x

D .

Решение. В схеме Френеля (рис. 2.47) два плоских зеркала

LO и MO расположены под углом, близким к

180 . Обычно угол

a не превышает

. В качестве когерентных источников исполь-

зуются два мнимых изображения одного и того же источника. Для

того, чтобы исключить попадание света от источника непосредст-

венно на экран, используется небольшая ширма

253

Нетрудно показать на основе закона отражения, что источник

S и два его мнимых изображения

S и

S будут находиться на

окружности с центром в точке O , расположенной на линии пере-

сечения зеркал LO и MO .

S и

S следует рассматривать как ко-

герентные точечные источники. Кроме того,

a=Ð=Ð OKSOKS

Ширину полос интерференции определим из соотношения

[18.14]:

=D , (1)

В условиях данной задачи (когда угол

близок к нулю):

babaD

cos , (2)

aal 2sin2 , (3)

причем, SOa

, OKb

Подставляя (2) и (3) в соотношение (1), получим выражение

для нахождения ширины интерференционных полос:

(

)

. (4)

Рис. 2.47

254

Количество наблюдаемых полос будет зависеть от ширины

области перекрытия интерферирующих волн

, а также от ши-

рины каждой полосы x

()

Если источник приблизить к зеркалу так, что aa

= 2 , то соот-

ношение (4) запишется в виде:

(

)

Учитывая, что ab

, получим:

xx D=

D 2 ,

то есть ширина полос увеличится в два раза.

Ответ:

(

)

()

, xx D=

D 2 .

Пример 12. Для наблюдения интерференции света от моно-

хроматического источника используется бипризма Френеля с пре-

ломляющим углом

, изготовленная из стекла с показателем пре-

ломления

. Расстояние от источника до бипризмы

, от биприз-

мы до экрана – b . Определить ширину и количество интерферен-

ционных полос, которые будут наблюдаться на экране.

Дано:

, b .

Найти: x

, N .

Решение. Бипризма представляет собой двойную призму с

углом при вершине, близким к

180 . Преломляющий угол призмы

при этом является малым и, как правило, не превышает 03

Источником света обычно служит ярко освещенная щель, уста-

новленная строго параллельно ребру призмы (рис. 2.48).

255

Поскольку каждая половинка отклоняет лучи на небольшой

угол

, приблизительно равный

(

)

a-1n , то можно считать, что

при таких условиях образуются два мнимых источника

S и

S .

Из рисунка 2.48 следует геометрическое соотношение:

(

)

a-»e» 12 naal .

Величина baD

, поэтому ширина интерференционных полос

по [18.14] равна

(

)

()

12na

x .

Количество наблюдаемых полос в данной системе можно рас-

считать из соотношения:

= ,

где

– область перекрытия волн (рис. 2.48). Поскольку

(

)

a-e=e»e= 1222 nbbbtgAB , то окончательно:

(

)

()

nab

Ответ:

(

)

()

12na

x ,

(

)

()

nab

Рис. 2.48

256

Пример 13. Билинза Бийе с фокусным расстоянием 50 см

имеет промежуток между половинками линзы 0,50 мм. Расстояние

от билинзы до точечного монохроматического источника (гори-

зонтальная щель) 40 см, до экрана 80 см. Найти расстояние между

максимумами в интерференционной картине. Длина волны ис-

пользуемого света 500 нм.

Дано:

50,0

f м,

50,0

d мм

1005

×= , м,

-=a см 400,

м,

L см 80,0

м,

500

нм

10005

×= , м.

Найти: x

Решение. В схеме Бийе (рис. 2.49) собирающую линзу разре-

зают по диаметру и обе ее половинки раздвигают на небольшое

расстояние. Если поместить точечный источник света или осве-

щенную щель параллельно плоскости разреза на расстояние,

больше фокусного, то после прохождения через обе половинки,

свет будет образовывать два действительных изображения

S и

S . Полученные изображения в свою очередь будут являться ко-

герентными источниками, и на экране

в области перекрытия

волн, идущих от

S и

S , будет наблюдаться интерференционная

картина.

При построении изображений

S и

S следует иметь в виду

то, что положение фокусов и оптических центров верхней и ниж-

ней частей линзы будет различным (рис. 2.49). Фокусы будут

смещены относительно главной оптической оси исходной (целой)

линзы SO соответственно вверх и вниз на расстояние 2d . На ри-

сунке они обозначены как

F и

F , оптические центры

O и

отмечены точками на линии разреза верхней и нижней половинок.

Для определения ширины интерференционных полос можно

применить известное соотношение [18.14]:

257

=D , (1)

где

– расстояние от источников до экрана, l – расстояние меж-

ду источниками,

– длина волны монохроматического света.

В условиях данной задачи расстояние от источников до экра-

на составляет:

aLD -= , (2)

где

a – расстояние от билинзы до изображений

S и

S .

На основании формулы тонкой линзы [21.3] имеем:

faа

111

=+-

. (3)

Преобразовывая (3) и подставляя числовые значения величин, по-

лучим:

(

)

()

220

500400

a =

м. (4)

Из подобия треугольников

OSO и

SSS получим соотношение:

= . (5)

Выражая из (5) расстояние между источниками, получим:

Рис. 2.49

258

10757

400

220400

1005

×=

= ,

dl м.

С учетом соотношения (2), получим числовое значение расстояния

от источников до экрана:

58,022,080,0

D м.

После подстановки в выражение (1) числовых значений величин

, l и

, ширина интерференционных полос будет равна

1073

10757

10005580

×=

××

=D ,

x м.

Ответ:

1073

×=D ,x м 370,

мм.

Пример 14. Плоская монохроматическая волна длиной 546,1

нм падает на поверхность стеклянного клина под углом

30 . Угол

между поверхностями клина составляет 03

, плоскость падения

перпендикулярна его ребру. Определить расстояние между сосед-

ними интерференционными максимумами, если экран расположен

перпендикулярно отраженным лучам. Коэффициент преломления

материала, из которого изготовлен клин, равен 1,50.

Дано:

546

нм

10465

×= , м,

30=j ,

1045103

×=

¢¢

=a , рад,

50,1

n .

Найти: x

Решение. При падении волны на поверхность клина имеет

место отражение от его верхней и нижней поверхностей

(рис. 2.50). Для отраженных волн возникает разность хода, зави-

сящая от толщины клина h , угла падения

и показателя прелом-

ления

материала, из которого он изготовлен [18.17]:

sin2

+j-=D nhL . (1)

259

Слагаемое 2l в выражении (1) учитывает потерю полуволны при

отражении света от верхней поверхности клина. В точках наложе-

ния волн

P и

P возникает интерференция. Запишем условие воз-

никновения максимума [18.9], [18.17]:

+j- mnh

sin2

, (2)

где

– порядок интерференции.

При изменении толщины клина разность хода будет изме-

няться. Увеличим толщину клина на величину h

так, чтобы по-

лучился соседний максимум, то есть максимум

(

)

1+m -го

порядка:

() ()

l+=

+j-D+ 1

sin2

mnhh . (3)

Вычитая из (3) соотношение (2), получим

l=j-D

sin2 nh . (4)

Из рис. 2.50 очевидно тригонометрическое соотношение:

=a , (5)

где х

D – расстояние между максимумами, измеренное в плоско-

сти пластинки.

Поскольку 1

, то

, поэтому выражение (5) может

быть записано в виде:

x . (6)

Рис. 2.50

260

Определим расстояние между соседними максимумами (ши-

рину полос) на экране, расположенном перпендикулярно отра-

женным лучам:

D=D cosхх ,

или, используя (4) – (6), получим:

j-a

»D

sin2

cos

x .

Подставляя числовые значения, получим:

224

1015,1

30sin50,11045,12

30cos1046,5

×=

-××

××

м.

Ответ: 151,x

мм.

Пример 15. Установка для наблюдения колец Ньютона пред-

ставляет собой плосковыпуклую линзу, расположенную на стек-

лянной пластинке. Расстояние между двадцатым и двадцать пер-

вым темными кольцами в отраженном свете составляет 0,417 мм.

Определить расстояние между третьим и четвертым кольцами.

Дано:

417,0

r мм

1017,4

×= м.

Найти:

rr - .

Решение. Радиусы 20-го и 21-го темных колец Ньютона в от-

раженном свете соответственно равны [18.19]:

l= Rr 20

, l= Rr 21

где

– радиус кривизны выпуклой поверхности линзы,

– дли-

на волны света. Следовательно, расстояние между этими кольцами

равно

(

)

2021

-l=-=D Rrrr . (1)

Аналогично для 3-го и 4-го темных колец имеем:

l= Rr 3

, l= Rr 4