Будневич С.С. Процессы глубокого охлаждения

Подождите немного. Документ загружается.

пого участка колонны при различных значениях неременного

потока Г1„,. Назовем эту линию кривой полюсов участка. Таким

образом, рассмотрение процесса ректификации на участке колонны

(между вводами) во взаимосвязи с процессом разделения во всей

колонне приводит в данном случае к следующим выводам. При

всех, кроме одного, заданных вводимых потоках, а также при

заданных состояниях всех вводимых потоков и заданных кон-

центрациях продуктов разделения расположение полюса участка

ограничивается точками на линии, уравнение которой связывает

абсциссу и ординату полюсов рассматриваемого участка.

Однако не все точки на назван-

ной линии полюсов участка харак-

теризуют возможные рел<имы раз-

деления в колонне. Очевидно, что

возможные режимы ректификации

определяются положением полюса

участка на отрезке кривой полю-

сов в области возможного рас-

положения полюса участка. На

рис. 3. 7 показана кривая 1р =

/ (^р) для частного случая,

когда границы участка опреде-

ляются потоком жидкости § в верх-

нем сечении и потоком пара О

в нижнем сечении. Кривая г'р

—

= [ (хр) только на отрезке АВ ле-

жит в области возможного рас-

положения полюса данного уча-

стка колонны. Следовательно, воз-

можные положения полюса участка при рассматриваемых усло-

виях характеризуются точками кривой 1р = / (Хр), лежащими на

отрезке АВ. Вне этого отрезка кривой полюс рассматриваемого

участка располагаться не может. Каждая точка на отрезке АВ

кривой полюсов участка соответствует вполне определенному

режиму работы колонны; в данном случае вполне определенной

величине переменного потока

Положим теперь, что заданы все входящие в ректификацион-

ный аппарат потоки и их параметры и задана концентрация по-

лучаемого высококипящего компонента. Задачей анализа является

определение максимального количества вы-

сококипящего компонента заданной кон-

центрации, которое можно получить в результате разделе-

ния. Как и в предыдущем случае, для этого надо рассмо-

треть разделительные возможности всех участков аппарата (от

ввода до ввода). Очевидно, что лимитировать процесс разделения

будет тот участок колонны, разделительное действие которого

обеспечивает выход минимального количества высококипящего

151

Рис. 3. 7. Кривая полюсов участка

в л-—г'-диаграмме

компонента заданной концентрации х^, т. е. минимальную

по сравнению с другими участками концентрацию отходящего

низкокипящего компонента. Изучим процесс ректификации

на каком-либо участке колонны при этих условиях. Как

и в предыдущем случае, при определении координат полюса

участка будем рассматривать верхний контур колонны, включая

верхнюю границу рассматриваемого участка (см. рис. 3. 6). Пусть

и в данном случае потоки, входящие в верхнюю часть раздели-

тельного аппарата, П,, . . , П„. Соответственно потоки, входя-

щие в нижнюю, отброшенную часть колонны П1, . . ., П,_1.

Координаты полюса участка будут функцией следующих величин:

Хр, = /(П;, ••., П„, П„, XI, (3.15)

= П„, П„, 11, ..., г„, д. (3.16)

В уравнениях (3. 15) и (3. 16) переменными являются только

величины отходящего потока низкокипящего П„, его концентра-

ция Хц и энтальпия Поэтому координаты полюса участка бу-

дут являться функциями этих переменных величин

= х,У, (3.17)

/„). (3.18)

Концентрация и величина потока низкокипящего компонента

связаны между собой уравнениями материального баланса раз-

делительного аппарата

+ 2П,; (3.19)

( = 1

+ (3.20)

(=1

Исключив в уравнениях (3. 19) и (3. 20) П^, получаем значе-

ние как функцию х„. Подставив это значение в равенства

(3. 17) и (3. 18), получаем

Хр.^Мх,)-, (3.21)

= У- (3.22)

Энтальпия отходящего из колонны низкокипящего компонента

связана функциональной зависимостью с его концентрацией х„,

которая определяется х — /-диаграммой для разделяемой бинар-

ной смеси. Последнее дает возможность выразить в равенстве

(3. 22) через х„.®^Тогда

(3-23)

152

Равенства (3. 21) и (3. 23) представляют собой уравнение кривой,

вырал<енное в параметрической форме. Параметром является

концентрация отходящего низкокинящего компонента х^. Исклю-

чив в равенствах (3. 21) и (3. 23) х^, получаем уравнение кривой

полюсов рассматриваемого участка в л:—г-диаграмме

(3.24)

Эта кривая является геометрическим местом точек расположения

полюса участка при разных концентрациях низкокинящего ком-

понента х„. и в данном случае только точки на этой линии, на-

ходящиеся в области возможного расположения полюса участка,

характеризуют режимы работы разделительного аппарата, которые

могут быть обеспечены условиями ректификации на рассматривае-

мом участке колонны. Концентрация отходящего низкокинящего

компонента, определяемая положением полюса участка, непре-

рывно меняется с изменением положения полюса. При анализе

необходимо установить оптимальный возможный режим разде-

ления в колонне. В данном случае это оптимальный режим, обес-

печиваемый тем из участков колонны, который характеризуется

минимальным по сравнению с подобными режимами других участ-

ков значением концентрации низкокинящего компонента.

Рассмотренные два случая, требующие анализа процесса раз-

деления на всех участках колонны для установления оптималь-

ного возможного режима ректификации в аппарате, в основном

исчерпывают практически интересующие нас условия разделения

бинарной смеси.

Первый характеризуется тем, что заданы все входящие в раз-

делительный аппарат потоки, кроме одного. Заданы параметры

всех входящих потоков, в том числе и искомого. Заданы концен-

трации продуктов разделения и давление в колонне. В резуль-

тате анализа необходимо установить оптимальную возможную

величину переменного входящего потока.

Второй определяется тем, что заданы все входящие в колонну

потоки и их параметры. Заданы концентрации получаемого вы-

сококипящего компонента и давление в колонне. В результате

анализа необходимо установить максимальную возможную ве-

личину потока высококипящего компонента, получаемого в ре-

зультате разделения.

3. 3. ХАРАКТЕР ЛИНИИ ПОЛЮСОВ

УЧАСТКА КОЛОННЫ

Перейдем теперь к установлению характера линии полюсов.

Рассмотрим вначале первый из двух интересующих нас случаев.

Положим, как н выше, что неизвестный по вели-

чине поток есть поток П^. Рассмотрим участок

колонны, расположенный где-нибудь ниже сечения, в которое

153

вводится искомый поток. Координаты полюса рассматриваемого

участка определяются из выражений

т—1 п

П„.<„ —

П,-.*,' —

— 2

= ^^^^^^^—; (3.25)

<=т+1

т—1 п

/р, = М (3. 26)

1=1 1=т+1

Из написанного видно, что мы рассматриваем участок / колонны,

т. е. участок, на верхней границе которого вводится поток П;.

В данном случае параметры отходящего низкокипящего компо-

нента х„ и г„ являются заданными. Напишем также уравнения ма-

териального баланса колонны

т—1 п

Е П,+ Е = (3.27)

1=1

т—1 п

^ Пл- + 2 Г[л- = П„Х„

-I -

Ил - Ил- (3. 28)

1 = 1 1=Ш+1

Обозначим постоянные величины, входящие в приведенные вы-

ражения:

т—1

ИЛ +

1=1

2 п,^,

г=т+1

. (3.29)

т-1

2 и, н-

1=1

(=т+1

(3. 30)

т—1

1=1

2 п,/,

;=т+1

= 5з;

(3.31)

т-1

2 п, н-

1=1

2 п,=

1=т+1

(3. 32)

т-1

2 П/^/ -ь

(=1

2 пл

1=т+1

= 5,

(3. 33)

Из уравнений (3. 27) и (3. 28) выражаем П„ через П„

I' (Хщ .Уд)

154

Найденное значение 1]„ подставляем в равенства (3. 25) и (3. 26)

1(5,, — З^Хе) + (Хт — Хе) И,„] Х»

•

^^щХт

—

Хн — Хв

[(б'а

— 8^Хо)

(Хт — Хе) П„,1 г'н

Пт-5.

'Р;

—

/с ^ с _

V ^

гг • 35)

-Ит -5,

•

^'ш/т

—

Хн

—

Хц

Уравнения (3. 34) и (3. 35) представляют собой уравнения линии

полюсов участка / в параметрической форме. Переменным пара-

метром является величина потока Г1,„.

О характере линии полюсов в л;—г-диаграмме можно судить,

не исключая в уравнениях (3. 34) и (3. 35) параметр П^, по зна-

(Ир, ^ ^ „

чению производной Эта производная может быть найдена

ахр^

из выражения

Шр^

СЧР1 Щп

с1хр, йхр

(3. 36)

Подставляя значения производных ^^ и , найденные из (3. 34)

И (3. 35), В (3. 36), получаем

[(х,п — Ха) ы — (хн — Хв) 1т] [(55 — 8^Хв) — 52 (Хн — ^в)] +

^ (Хн - Хт) [(55 - 8,Хе) ы - {Хн - Хе)] ^„оух

ахр^ (х^-Хт){Хе[8,(х^-Хе)-{8,-8л)]+ •

+ [(55-5Л)Х„-51 (Х^-Хе)]}

В правую часть выражения (3. 37) входят только постоянные ве-

<Ир,

личины, т. е. производная имеет постоянное значение.

Обозначим ее

\{х,п — Хв) 1н — (Хн — Хд) 1т1 [(55 — 54Хв) — 52 (х„ — Д-в)] +

Г ^ + (Хн — Хт) [(55 — 54Л-а) 1н — 5з (х» — Хд)] ,,,

(Х„ - Х,п) (Хе [52( Хп - Хе) - (55 - 5л)] Н- •

+ [(55 - 5л) х„ - 51 (х^ -Хе)]}

Следовательно, линия полюсов участка I представляет собой пря-

мую линию в л;—{-диаграмме. Уравнение этой прямой

= Схр1 -I (3. 39)

Постоянная ^ в уравнении (3. 39) может быть найдена, если

задаться определенной величиной потока 11^ = Пд и найти

155

соответствующие координаты полюса участка Хр, и (р, . Тогда

(3.40)

Докажем, что линия полюсов участка колонны в рассматривае-

мом случае есть прямая путем непосредственного нахождения

уравнения этой линии. С этой целью найдем величину из

уравнения (3. 34)

II \ -Ун Хд / \ ^Н Хв / 41)

Хр,

Хн — Хд Хн — Хд

и уравнения (3. 35)

/55

—

„ \ /

8ъ — 54X9

„ \

( ^

««

- 5з

(

— ]

П _ ^ > ) 1 . (3. 42)

/, Хт—Хе \

Хп — Хт

. ^ '

Приравнивая правые части равенств (3. 41) и (3. 42), после упро-

щений получаем

[(Хт — Л'в) 1'н — (Хн—Хд)

г'т] [(55 —

8^Хд)

—

5.2 (Хн

—

Хв)]

; +

{х^

Хт)

[(5б -

54^^) г»

- 5з (хп — хд)]

^Р^

- -

Хт) [Хд

[5^ - -

(55

54Хв)]

+ [(55-54Хв)д:„-51(х„-л;в)]}

[{хщ — Хв) 1н

—

{хн — Хд) 1т\ [51 (хн — Хд)

—

{5б — 54Хв) х„]

I ч-

Хд (Хн — Хт)

[5з {Хн —

Хе)

—

(55 — 8^Xд) 1н]

/о до-,

(х^

—

Хт){хд[8^{х^—Хд)

— [8^-8^Хд)]+ •

[(55

54Х,,) Хн

—

51 (л:„

- }

Анализ выражения (3. 43) показывает, что коэффициент при Xр^

представляет собой постоянную величину, равную которую

йхр^

мы выше обозначали через С. Постоянное значение имеет в дан-

ном случае и второе слагаемое правой части. В выражении (3. 39)

это слагаемое обозначено буквой С^. Таким образом, равенство

(3. 43) дает возможность определить значение С1. Следовательно,

и непосредственное нахождение уравнения линии полюсов участка

колонны приводит к выводу, что линия полюсов в данном случае

является прямой. Уравнение этой прямой при принятых ранее

обозначениях определяется равенством (3. 39)

1р1

= Схр1 +

Здесь

[{Хт — Хд) (•„ — (ЛГ„ — Хд) /,„] [51 (% — Хд)

—

(8^ — 8^Хд)

п + Хд (Хн — Хт) [5з (Хн

— Хв)

—

(55 —

8^Хд) ...

^ (Хп-Хт){Хд[8^(Хн-Хд)-(8,-8^Хд]+ •

[(5б —54*8) Лк —51

(х„ -

Хд)]}

156

Ранее было принято ограничение, что искомый поток вводится

в разделительный аппарат выше рассматриваемого участка. Этот

любой участок аппарата мы называли /-м участком, полагая, что

на верхней его границе вводится поток П,. Искомый поток назы-

вался потоком П„,. Следовательно, при принятой нумерации пото-

ков (см. рис. 3.6) т> /. Если искомый поток вводится ниже участка,

уравнение линии полюсов которого мы определяем, т. е. если т <

< I, то все полученные выше выводы относительно характера на-

званной линии сохраняют силу. Линия полюсов также является

прямой, уравнение которой определяется равенством (3. 39).

Г ри этом постоянные С и ^ в этом случае определяются из более

простых выражений

ы 2 п, — 2 п,;^

п п

(3. 38а)

хн 2 п,- - 2

1=1 1=1

^ =

Хн 2

— «к

1=1 1=1

2п^ - 2 Пг^;

1=1 1=1

(3. 44а)

В выражениях (3. 38а) и (3. 44а) П, П„ — это потоки,

вводимые в колонну, начиная с верхнего сечения рассматривае-

мого участка до верхнего сечения колонны. Для участков, распо-

ложенных выше вводимого переменного потока, изменяются и

выражения (3. 41) и (3. 42)

• от—1 п /т—1 п \

п„

2 2п,-+ 2 п,

1=1 1=т+1 \ 1=1 1=т+1

1=1

т—1 п /

т—1

2пл+ 2 2 п. - 2 п,

1=т+1

(=1 (=т+1

/ п п

1 = 1

(3.41а)

П„ =

1=1 1=1

(3. 42а)

Для заданного положения полюса выражения (3. 41а) или (3. 42а)

дают идентичное значение П^.

157

Рассмотрим теперь второй случай. Искомой является

оптимальная концентрация отходящего

и и 3 к о к и п я щ е г о компонента, определяющая мак-

симальный выход вышекипящего заданной концентрации. Сооб-

разуясь с обозначениями на рис. 3. 6, координаты полюса участка I

в данном случае можно найти из следующих равенств:

Хрг- Ч—; (3-45)

П„- 2 п.-

1=1

П„ - у Пг

= Ч • (3. 46)

Материальный баланс колонны записывается так:

2ГГ, = Г1„ + П,; (3.47)

1 = 1

2 = Пл + (3. 48)

(=1

Обозначения потоков такие же, как в первом случае. Постоянные

величины, входящие в (3. 45)—(3. 48), обозначим:

^П.^Мь (3.49)

\=1

= (3.50)

1=1

1 = 1.

= (3.51)

1=1

2 п,- = УИ4; (3. 52)

1=1

2 = М^. (3. 53)

( = 1

Из уравнений (3. 47) и (3. 48) определяем значение потока низко-

кипящего компонента Г1„ и подставляем найденную величину

158

в равенства (3. 45) и (3. 46). С учетом принятых обозначений по-

лучаем

_ {М^—— МгХе . .о 1:44

. ^

{Мъ

—

М4л:а) 1н — Мз^н

+ /о сг;\

Полагаем, что изобара пара для рассматриваемой бинарной

смеси в л:—г-диаграмме, построенной для одного моля смеси,

представляет собой прямую линию. Это, например, с достаточной

точностью справедливо для бинарной смеси типа азотно-кисло-

родной. Тогда зависимость между энтальпией I и концентрацией х

для изобары пара можно написать так:

где и — соответственно энтальпия одного моля сухого на-

сыщенного пара чистого высококипящего и чистого

низкокипящего компонентов;

х^ и х"^ — концентрация по низкокипящему компоненту чи-

стого высококипящего и чистого низкокипящего

компонента.

Очевидно, что

х'^

= О, а

х"^

1. При учете последнего уравне-

ние, связывающее энтальпию и концентрацию пара, примет вид

(С-0^-1-V

Состояния отходящего низкокипящего компонента при разных

возможных режимах характеризуется точками на изобаре пара

при давлении в разделительном аппарате. Вследствие этого за-

висимость между энтальпией и концентрацией низкокипящего

компонента будет выражаться при принятых ранее обозначениях

следующим образом:

^ = (3-56)

Подставляя значение из равенства (3. 56) в уравне-

ние (3. 55), получаем

/ _ - ^А) (С - О - Щ] + (^5 - с

-I

Щ^е су.

Далее^^в уравнениях (3. 54) и (3. 57) исключаем Для этого

находим значение из равенства (3. 54) и равенства (3. 57).

Концентрация отходящего низкокипящего компонента из равен-

ства (3. 54) получается равной

159

Из уравнения (3. 55)

(^5 - ('я^ - О М^х/р^ - М^х^

~ - уИЛ) (С - О

(3. 59)

Приравнивая правые части равенства (3. 58) и (3. 59), после упро-

щений получаем

{Щ - Л^Л + ^Л) {С - О + ^гС - .. ,

, (^5 - ^Л - ^2) - ('« - С) +

Коэффициент при Хр^ представляет собой постоянную величину,

так как все составляющие его члены в данном случае являются

постоянными. Постоянной величиной по той же причине является

и второе слагаемое правой части равенства (3. 60). Следовательно,

и в данном случае линия полюсов любого участка колонны при

принятом приближении представляет собой прямую, так как урав-

нение этой линии (3. 60) есть уравнение первой степени отно-

сительно и Хр1.

Обозначим

(Мд - М^Х^ + Мл) (С - О + ^/е-Щ

(Мд - - М^) С — М^х^ (/; _ /';) Ч

- С^; (3.61)

= 01. (3. 62)

М^ —

Мз

МгХд — М^Хд

Тогда равенство (3. 60) перепишется так:

= (3.63)

Таким образом, в обоих интересующих нас случаях разделения

бинарной смеси линия полюсов любого участка ректификационного

аппарата является прямой.

3. 4. ОПТИМАЛЬНЫЕ РЕЖИМЫ РАЗДЕЛЕНИЯ

Возможные режимы разделения в колонне, которые могут

быть обеспечены условиями ректификации па данном участке

ректификационного аппарата, определяются положением полюса

на отрезке прямой полюсов, лежащем в области возможного рас-

положения полюса участка. Докажем, что оптимальный возмож-

ный режим, обеспечиваемый данным участком колонны, харак-

теризуется положением полюса участка в точке пересечения пре-

дельного полюсного луча на одной из границ участка с лннпеи

160