Будневич С.С. Процессы глубокого охлаждения

Подождите немного. Документ загружается.

полкзсов. Это значит, что по мере удаления полюса участка вдоль

линии полюсов от предельного луча режимы разделения в колонне,

обеспечиваемые названным участком аппарата, ухудшаются. Если

задана линия полюсов, то положение полюса участка однозначно

определяется положением полюсного луча на верхней или нижней

границе участка. Точка пересечения указанного луча с прямой

полюсов определяет положение полюса участка, а следовательно,

и режим разделения в аппарате, обеспечиваемый данным участ-

ком. На рис. 3. 8 показана пря-

мая полюсов участка. Ее отре-

зок А В является геометрическим

местом точек возможного располо-

жения полюса участка ТУ.

Рассмотрим два режима раз-

деления в колонне. Пусть один

из них определяется положением

полюса в точке В, а второй —

в точке В'. Нужно доказать, что

режим, определяемый полюсом в

точке В', хуже режима, характе-

ризуемого полюсом в точке В. По-

ложение полюса для конкретности

задается пересечением с прямой

полюсов луча, проходящего через

нижнюю границу участка Т. Оче-

видно, что в рассматриваемом

случае (рис. 3. 8) ничего не из-

менится, если луч, фиксирующий положение полюса участка,

будет проходить через верхнюю границу участка II. Из положе-

ния ТВ в положение ТВ' полюсный луч приходит путем его вра-

щения вокруг точки Т против часовой стрелки. Луч ТВ' образует

с осью абсцисс больший угол, чем полюсный луч ТВ. Следова-

тельно, если будет доказано, что с увеличением угла наклона

полюсного луча на границе участка режим разделения в колонне

ухудшается, то будет установлено, что оптимальный режим, обес-

печиваемый данным участком колонны, определяется положением

полюса в точке пересечения линии полюсов участка с одним из

предельных полюсных лучей на его границах.

Рис. 3. 8. Расположение полюсов

участка колонны на прямой полюсов

в X—1-диаграмме

3. 5. ОПТИМАЛЬНЫЙ РЕЖИМ РАЗДЕЛЕНИЯ

ПРИ ВСЕХ ЗАДАННЫХ ВВОДИМЫХ В КОЛОННУ ПОТОКАХ

Рассмотрим случай, когда заданы все входящие в разделитель-

ный аппарат потоки (их величина и параметры) и задана кон-

центрация получаемого высококипящего компонента. Нужно

найти концентрацию отходящего низкокипящего компонента и

определяемые ею величины потоков продуктов разделения.

И с. с. Будневич 753 161

Оптимальным режимом будет тот, который при названных условиях

характеризуется максимальной концентрацией отходящего низко-

кипящего компонента. Каждое положение полюса определяется

фиксированным положением полюсного луча на границе участка,

т. е. углом, образованным этой линией с осью абсцисс. Полюс

лежит в точке пересечения прямой полюсов с названным лучом.

Уравнение прямой полюсов в рассматриваемом случае опре-

деляется выражением (3. 63)

1р С^хр

Уравнение полюсного луча (рис. 3. 8) можно записать как

уравнение прямой, проходящей через точку ввода Т (г^; х-,),

I —

/у-

к {х —

Хт-),

или

I = й

—

Хт)

1т. (3.64)

В выражении (3. 64) к — угловой коэффициент прямой, прохо-

дящей через точку Т.

Точка пересечения прямой полюсов с полюсным лучом харак-

теризует полюс участка при вполне определенном режиме раз-

деления. Обозначим координаты названной точки пересечения

X == Хр и I = 1р. Приравняв правые части равенств (3. 63) и (3. 64)

и решив полученное уравнение относительно Хр, получаем

,3.65,

Выше для рассматриваемого случая мы получили зависимость

(3. 54) между приведенной концентрацией полюса и концентра-

цией отходящего низкокипящего компонента.

Приравняв правые части равенств (3. 54) и (3. 65) и решив

полученное уравнение относительно х^, получаем

Сг - «1) {^Ч - ^'Л + Л^Л) -

(^г^и'^е

Обозначим

- {М, - М,х, М,х,) - С^Мл Оь (3. 67)

{1т

- Мг + С, {М, - МА - М,) О,; (3. 68)

Аих, - (М, - Мл + Хг ^Ьг, (3. 69)

Ма — УИл — Мз + М^Хт = Ьг- (3. 70)

Учитывая принятые обозначения, получаем

162

Равенство (3. 71) связывает концентрацию отходящего низко-

кипящего Хц с переменной величиной углового коэффициента к

полюсного луча, проходящего через точку ввода на границе уча-

стка. Нужно доказать, что с поворотом луча против часовой

стрелки, т. е. с увеличением к, режим разделения, обеспечивае-

мый данным участком колонны, ухудшается, т. е. уменьшается.

Это будет доказано, если будет установлено, что ~ << 0. Из

уравнения (3. 71)

йх^ иог + ио.

а к (Оз — Цк)^

(3. 72)

Знаменатель выражения (3. 72) имеет всегда положительное

и йхи

значение; следовательно, знак производной зависит от знака

числителя. Чтобы доказать, что с удалением полюса от его пре-

дельного возможного положения (точка В на рис. 3. 8) режимы

разделения в колонне, определяемые условиями ректификации

на данном участке аппарата, ухудшаются, достаточно доказать,

что ^хОа + <С 0. Найдем значение суммы Ь^О^, под-

ставив вместо букв их величину. После упрощений получаем

+ ьр, =

= (Мз - Мл) [(^ (Мд - - + +

-1- (С - О - ^Г - Л^Л + ^Х^е)]

-1-- Щ {X, -

X,)

- с (М, - М^ - М, + )). (3. 73)

При определении знака суммы Ь^02 + нужно иметь в виду

следующие очевидные соотношения: х,-> х^ и 2 >

так как х^ — минимальная по низкокипящему концентрация пото-

ков, имеющая место в процессе.

Рассмотрим два возможных случая.

Первый случай характеризуется тем, что на границе

участка, через которую проходит полюсный луч, определяющий

положение полюса, вводится сухой насыщенный пар. Чтобы под-

черкнуть это обстоятельство, ниже вместо 1т и Хт пишем г^ и Хд.

Энтальпии сухого насыщенного пара разных концентраций г^',

и г'д являются относительными, так как зависят от выбранного

начала отсчета энтальпий для каждого чистого компонента.

Поэтому мы вправе принять = Изобара пара нами считается

прямой линией. Следовательно, при названном условии г'о ==

= II = = Тогда равенство (3. 73) перепишется так:

= (М, - М,х,) (Хе - X,) (уИз - . (3. 74)

И* 163

Из равенства (3. 74) при учете (3. 49), (3. 51), (3. 52), (3. 53) по-

лучаем

ЬгО, + = ( 2 - л, 2 П,) (х^ -

/ п п \

•Хе) 2 —г„2П,•

\(=^ 1=1

(3. 75)

Выражения, стоящие в первых двух скобках правой части равен-

ства (3.75), имеют положительный знак. Третий сомножитель

имеет отрицательный знак, так как максимальная энтальпия по-

токов в процессе г„, а среди потоков, ;поступающих в верхнюю

часть разделительного аппарата выше рассматриваемого участка

от П, до П„, минимум один поток жидкостный. Энтальпия такого

потока меньше г„. Следовательно, + < О, т. е.

йк

< 0. Из сказанного видно, что оптимальный режим разделения,

обеспечиваемый данным участком колонны, для рассматриваемого

частного случая определяется положением полюса в точке пере-

сечения линии полюсов с предельным лучом, проходящим через

границу участка.

Второй возможный случай характеризуется

тем, что на границе участка, через которую проходит луч, опре-

деляющий положение полюса, вводится жидкость. Чтобы под-

черкнуть это, вместо г'у. и x^ подставляем и И в данном слу-

чае полагаем Г = = Тогда С учетом этого пере-

пишем выражение (3. 73), подставив значение букв,

ио^ + - 2 II,-х, - X, 2 П,

\1 = 1 ( = 1

П-\

I \«=1

/-1

1=1

(3.76)

/ п " \

в правой части равенства (3. 76) 2 — 2 П, > 0;

\(=1 1=1 /

'2 Пл - х/2 П,) (/, - о < 0; {X, ~ X,) ( 2 п,/, - 2 П, <

\1 = 1 1=1 / \1=1 1=1 /

О,

так как (х„ — х«) > О, а 2 П.-Ь- — 2 П,- < 0.

\1=1 1=1 /

Последняя разность имеет отрицательный знак вследствие того,

что максимальная энтальпия потоков в колонне В то же время

в числе потоков выше рассматриваемого участка от П, до П„

минимум один поток жидкостный. Таким образом, оба слагаемых

в квадратных скобках имеют отрицательный знак. Значит и их

алгебраическая сумма меньше нуля. Из сказанного вытекает,

что в данном случае + < 0. Следовательно, и во вто-

йх

ром возможном случае •< О, т. е. с удалением полюса вдоль

линии полюсов от пересечения этой линии с предельным полюс-

ным лучом, проходящим через точку ввода на границе участка,

режимы разделения в колонне ухудшаются.

В итоге анализа процесса разделения при условиях, когда

заданы все входящие в колонну потоки и их параметры, а также

концентрация получаемого высококипящего компонента, дока-

зано, что оптимальные режимы определяются положением полюса

в пересечении линии полюсов с предельным лучом на границе

участка.

3. 6. ОПТИМАЛЬНЫЙ РЕЖИМ РАЗДЕЛЕНИЯ

ПРИ ЗАДАННЫХ КОНЦЕНТРАЦИЯХ ПРОДУКТОВ РАЗДЕЛЕНИЯ

И ОДНОМ ПЕРЕМЕННОМ ВВОДИМОМ ПОТОКЕ

Рассмотрим теперь процесс разделения, который характери-

зуется тем, что один из вводимых потоков является переменным

при заданных концентрациях продуктов разделения. Параметры

всех потоков, в том числе и переменного, заданы. Целью анализа

является определение оптимальной величины переменного потока.

Уравнение прямой полюсов для данного случая получено выше

и характеризуется равенством (3. 39). Уравнение полюсного луча,

проходящего через точку ввода (рис. 3. 8), определяется равен-

ством (3. 64). Положение полюса определится точкой пересече-

ния этих прямых. Приравниваем правые части уравнений (3. 39)

и (3. 64) и решаем полученное уравнение относительно Хр

—

кх„

— О

^ С-\ • (3.77)

Зависимость между абсциссой полюса и величиной переменного

потока П,„ выражется равенством (3. 34). Приравниваем правые

части равенств (3. 77) и (3. 34) и решаем полученное уравнение

относительно П^. После упрощений получаем

(55

{Схп

1т -I- <3)

+ - Хе) [52

(,1т

- О)-

П _ -

С51]

- к

[(55

- 3,х,)

(х^

хт)

(хн

Хе) (8гхт

- 50]

Обозначим

(5, - -

1г -1-

+ - X,) [8,

- С51] = Р,- (3. 79)

= (3.80)

(5^ - 5л) (X, - л>) + {X, - X,) {8,хг - 50 = 8,; (3.81)

(Хн

—

(Хт

— Хе) = б2. (3. 82)

165

Тогда

(3. 83)

В равенстве (3. 83) переменными являются величины П^ и к.

Чтобы выяснить, как меняется величина потока с ростом к,

т. е. с увеличением отклонения полюсного луча от предельного

положения, определим значение производной из (3. 83)

-еЛ - г.Рг

йк

.... с1П„

(Р2

+ ке,)^

(3. 84)

Знак производной зависит от знака числителя правой

части равенства (3. 84). Для упрощения ниже будем находить

знак суммы (е^/^а + Учитывая (3. 79)—(3. 82), после упро-

щений получаем

81/^2 + --= у ' ^ \щ

(>51

— + —

^оХ^)

—

Л« Лд

— 5з

(Ху.

—

Хе)]

—

А',„)

—

{8.,Хт

— 8{х,п —

X,)

—

{^.п

- - + +

-*•« —

Хд

Хн — Хв

(3. 85)

Рассмотрим несколько возможных случаев.

1. Искомый поток представляет собой поток пара.

При этом на границе участка, через которую проходит луч,

определяющий положения полюса, может вводиться пар или

жидкость.

а) Проанализируем вначале случай, когда на названной гра-

нице участка вводится пар. Тогда 1т = 1а, % = Хо. При опреде-

лении знака суммы {г^^Р^ + г^Р-д нужно иметь в виду следующие

очевидные соотношения:

2II,X, > 2 И,; 2 П, > 2 Пл.

Как и ранее, полагаем = == г^ = Учитывая (3. 29)—

(3. 33), из равенства (3. 85) получаем

/п-1

{ха — Хе) {Хн — Хт)

4Р2 + 4Р1 =

т—\

211/+ 2 П/ -

= 1 1=т+1

п \

1=1 1=т+1

(3. 86)

166

['Анализ выражения (3. 86) показывает, что все сомножители

правой части имеют положительное значение, т. е. е^/^з + >

;> 0. Следовательно, •< 0. Значит, с удалением полюса

участка вдоль линии полюсов от точки пересечения этой линии

с предельным лучом на границе участка, т. е. с увеличением к,

режимы разделения в колонне, обеспечиваемые рассматриваемым

участком, характеризуются уменьшением величины переменного

потока пара, вводимого в ректификационный аппарат.

б) Теперь произведем анализ случая, когда на границе

участка, через которую проходит луч, определяющий положение

полюса, вводится жидкость. Тогда = х^ = л;^. В данном

случае = == > г^. По отношению к концентрации потока

на границе участка, через которую проходит определяющий по-

люс луч, нет никаких ограничений, кроме того, что > х^.

В предыдущем случае Ха > х^. Поэтому фактическая разница

в уравнении (3. 85) в данном случае по сравнению с предыдущим

состоит в величине члена

(51

— + 54Х, — 52^,)

{х„

— х^ =

== (51 — 5., + — 52л;,) — х„,).

Произведение (51 — 55 + З^х^ — 82Х^) (А:„ —

Хщ)

< 0. Действи-

тельно, знак последнего выражения определяется знаком сомно-

жителя (51 — + — 52^^), а он имеет отрицательный знак.

Покажем это.

Учитывая (3. 29), (3. 30), (3. 32) и (3. 33), имеем

1-1 1-Х

51 - 5^ -I- 54Х, - 52^^ 2

П,.

- 2 < 0.

1 = 1 1 = 1

Подставим теперь в равенство (3. 85) вместо = большую

величину Тогда получим преуменьшенное значение суммы

г^р^ + чРх- Согласно (3. 86), оно имеет положительный знак.

Следовательно, в рассматриваемом случае {ъхР^ + г^Р^) подавно

больше нуля. Из этого следует, что и в данном случае < 0.

Значит, величина переменного потока пара П^, поступающего

на разделение в колонну, уменьшается при движении полюса

вдоль линии полюсов на отрезке возможного его расположения

от предельного положения.

2. Искомый поток представляет собой поток жидко-

сти.

Выше было доказано, что если переменным потоком является

поток пара, то максимально возможная величина этого потока,

определяемая условиями разделения на каком-либо участке раз-

делительного аппарата, характеризуется положением полюса

участка в точке пересечения прямой полюсов с предельным лу-

чом на одной из границ участка. В п. 3. 5 рассмотрен другой

167

случай, характеризуемый тем, что заданы все вводимые потоки

и концентрация получаемого высококипящего компонента. Там

было доказано, что оптимальный возможный режим в колонне,

определяемый условиями разделения на каком-либо участке ап-

парата, характеризуется положением полюса в точке пересечения

предельного полюсного луча на одной из границ участка с пря-

мой полюсов, т. е. и в том случае названное положение полюса

является оптимальным. Данное положение остается справедливым

во всех случаях, но некоторая специфичность имеет место при

определении оптимальной величины переменного потока вводи-

мой жидкости. Будем полагать, что при переменном вводимом

потоке жидкости П^ определяющий положение полюса участка

луч проходит через точку ввода на границе участка, где поступает

жидкость. Следовательно, = х^ = х^. Кроме того, для

упрощения полагаем, что энтальпия жидкого высококипящего

и жидкого низкокипящего компонента при давлении в колонне

равны между собой. Полагаем также, что и изобара жидкости

для рассматриваемой бинарной смеси в л:—г-диаграмме для од-

ного моля смеси представляет собой прямую линию. Тогда =

= 'т = ^ж- С целью дальнейшего упрощения считаем = г^ =

= г'ж = 0. В этом случае уравнение (3. 85) примет вид

/т—1 п \

2п,х,+ 2 пл

V^=1 1=т-\-1 У

т—1 п \

2п,+ 2 п,

\ ( = 1 (=т+1 у

1 т—\ п \

2 П^г,. + 2 Щь —

X,) — х„,)

—

, 1=1

1=/П+1 /

/ т—\ п \ " ^

2 п,+ 2 п, - 2пл+ 2 п,х,

" ^

1=171+1

/ \{ = 1 1 = т+1

г^Р^ + =

—

л:„

1=1

/ ^

X — X,) I,

(3. 87)

В рассматриваемом случае знак суммы е^^Ра + 4Р1 может

быть и положительным, и отрицательным. Это связано с тем, что

первое и третье слагаемые числителя правой' части могут иметь

как положительный, так и отрицательный знак. Второе слагае-

т—1

мое — 2 + 2 (^г — к^н — ^т) <

О-

Порядок же

V 1=1 1=т+1 /

численного значения всех названных слагаемых одинаков. Зна-

чит, ^ 0. Из этого следует, что при удалении полюса участка

вдоль линии полюсов от оптимального его положения в точке

пересечения предельного луча на границе участка с прямой по-

люсов режимы разделения, обеспечиваемые этим участком, мо-

168

гут характеризоваться как увеличением, так и уменьшением иско-

мого потока жидкости. Следовательно, в рассматриваемом случае

оптимальному режиму может соответствовать как максимально

возможная, так и минимально возможная величина переменного

потока жидкости.

3. 7. АНАЛИЗ ПРОЦЕССА РЕКТИФИКАЦИИ

ПО УСЛОВИЯМ РАЗДЕЛЕНИЯ НА НИЖНЕМ УЧАСТКЕ КОЛОННЫ

ПРИ ПЕРЕМЕННОЙ ВЕЛИЧИНЕ ЖИДКОСТНОГО ПОТОКА

В п. 3. 6 было установлено, что величина переменного жидкост-

ного потока в оптимальном режиме может быть максимально воз-

можной и минимально возможной. Рассмотрим данный вопрос

исходя из условий разделения на нижнем участке колонны, при-

мыкающем к кубу. Все потоки, входящие в колонну, кроме од-

ного, являющегося в данном случае

жидкостным, заданы. Заданы пара-

метры всех без исключения вхо-

дящих потоков и продуктов раз-

деления. Положим, что переменным

жидкостным потоком является

поток П^ с параметрами х'^ и

Линия полюсов нижнего уча-

стка представляет собой верти-

кальную линию, уравнение кото-

рой Хр — Хд (рис. 3. 9). Пусть на

верхней границе участка вводится

поток жидкости П^ с концентра-

цией XI. Полюсный луч, прохо-

дящий через точку ввода в верх-

нем сечении участка, характери-

зует положение полюса. Рас-

смотрим два положения луча:

предельное и отклоняющееся от

предельного. Точка пересечения

луча с линией полюсов определит

соответственно два положения полюса:

Рис. 3. 9. Расположение полюсов

нижнего участка разделительного

аппарата в х—г'-диаграмме

Рпр И

Р. Оптималь-

ный режим разделения, обеспечиваемый данным участком рек-

тификационной колонны, соответствует положению полюса

в точке Р„р. Удельное тепло куба колонны, отнесенное к одному

молю получаемого высококипящего П^, определяется при двух

рассматриваемых режимах отрезками И^Рпр и П^^ (рис. 3. 9).

Назовем эти удельные величины соответственно дкопт и (9копш +

+ Найдем теперь зависимость величины переменного по-

тока жидкости П^ от условий разделения на нижнем участке

колонны, т. е. от положения полюса участка. Положим, что в оп-

тимальном режиме выход высококипящего компонента равен П^,

169

а во втором режиме — (П^ + АЩ молей. Пусть величина пере-

менного потока в оптимальном режиме равна 11^, а в режиме,

определяемом полюсом Р, этот поток составляет + АП„,).

С достаточной точностью

АП, = (1-д:„)АП,„. (3.88)

Равенство (3. 88) строго справедливо при получении продуктов

разделения в виде чистых компонентов и достаточно точно, если

получаемые компоненты являются высококонцентрированными.

Рассмотрим случай, когда оба компонента выходят из колонны

в парообразном виде. Тогда можно считать, что изменение тепла

куба в связи с изменением переменного потока жидкости с доста-

точной точностью равно (г^ — теплота парообразования

одного моля жидкости концентрации х^) (рис. 3. 9). Изменение

теплоты куба связано с остальными величинами следующей за-

висимостью:

Ггп^^т - (П. 4- АП,) + А<?„) - (3. 89)

Учитывая (3. 88), из уравнения (3. 89) получаем

= л ^^ гт—^

•

(3. 90)

Гт~(\-Хт) {Як опт + Ш ^ '

тт -

(АП„)

Найдем производную '

л (АПт) Пв ['•т — (1 — Хт) Як опт]

^(^Як) [Гт-{1—Хт)

(Якот

+ Мк)? '

(3.91)

С увеличением отклонения полюса от оптимального положения,

т. е. с увеличением А^^, поток растет, если > 0.

а (аяк)

Это соответствует положительному значению числителя правой

части равенства (3. 91)

(3.92)

Из выражения (3. 92) получаем условие возрастания потока

Он растет, если

(3.93)

Аналогично получаем условие уменьшения потока с от-

клонением полюса нижнего участка от оптимального положения,

т. е. с увеличением Ад^. Поток П,„ уменьшается, если

(3.94)

Из выражений (3. 93) и (3. 94) видно, что знак изменения величины

переменного жидкостного потока с ростом отклонения по-

люса нижнего участка разделительного аппарата от оптимального

170