Будневич С.С. Процессы глубокого охлаждения

Подождите немного. Документ загружается.

Переходим к рассмотрению^!-го периода.

Температура газа в первый период и при входе его в регене-

ратор постоянна во времени и равна Ыц-

Текущие координаты, характеризующие изменения поверх-

ности теплообмена насадки в направлении движения газа в пер-

вый период, обозначаются через х м^. В сечении входа газа л; =

= 0. Время обозначается через г. Длительность первого периода

ч. Температура насадки в первый период — через

Приводим вывод дифференциального уравнения теплообмена

в регенераторе и его решение [10, И, 27, 28—35].

В первый период переход тепла от газа к насадке характери-

зуется следующими соотношениями. За бесконечно малый проме-

жуток времени йг в сечение х входит масса газа О^йг с темпе-

ратурой и {0^ — весовое количество газа, поступающее в реге-

нератор в единицу времени). В сечении л; + йх эта масса газа

выходит с температурой и + ~ йх. При этом рассматриваемая

масса газа отдает соответствующему элементу насадки тепло

(4.1)

Кроме этого, протекающий газ отдает вторую долю тепла

вследствие того, что в момент г в данном элементе регенера-

тора находится газ с температурой и, а к моменту г + йг его

температура " +

й^а,^ -УуНйхСр^^йг, (4.2)

где Ср — теплоемкость газа при постоянном давлении;

V — объем газа, содержащийся в свободном от насадки

объеме на единице длины насадки;

Я — длина (в направлении движения газа) одного квадрат-

ного метра теплопередающей поверхности насадки.

Тепло, отдаваемое газом = -'г в процессе теп-

лоотдачи воспринимается насадкой. При этом уравнение тепло-

отдачи будет иметь вид

= а1 (м — йхйг, (4. 3)

где — температура насадки в рассматриваемом сечении ре-

генератора;

а^ — коэс^ициент теплоотдачи от газа к насадке.

Приравнивая значение правой части равенства (4. 3), по-

лучаем

191

Или после несложных преобразований

Для условий работы регенераторов установок глубокого охла-

ждения уравнение (4. 4) можно значительно упростить, так как

второй член левой части этого равенства составляет малую долю

от первого члена.

Среднее значение первого члена равенства (4. 4) можно найти

из выражения

Ог ди \ Ог «о — ивых

/ Ог ди \ __

[уу • Ийх )ср ~ пВ'^

Здесь ^ — диаметр насадки регенератора;

Фк — среднее живое сечение для прохождения газа в на-

садке как доля от всего сечения насадки регене-

ратора;

Уср — удельный вес газа при средней его температуре

в аппарате;

Р^ — теплопередающая поверхность насадки регенера-

тора;

НР^ — высота насадки регенератора;

"выл: — средняя температура газа на выходе из аппарата.

Как показывают расчеты, среднее значение первого члена

уранения (4. 4) для регенераторов воздухоразделительных уста-

новок составляет в период воздушного дутья более 26 град1сек, а для

холодного периода—около 106 град!сек. Максимальное изменение

температуры газа в средней части насадки регенераторов воз-

духоразделительных установок составляет 60—70° С при дли-

тельности периода 3 мин. Следовательно, в данном случае мак-

симальная величина второго члена левой части равенства (4. 4)

составляет около 0,4 град/сек.

Таким образом, в теплый период второй член равенства (4. 4)

составляет от первого максимум 1,5%, а в холодный—^ примерно

0,38%.

Пренебрегая вторым членом левой части уравнения (4. 4) по

сравнению с первым, получаем

(4.5)

Здесь О^Ср — это водяной эквивалент теплого газа, отнесенный

к единице времени прохождения газа.

Обозначим для упрощения О^Ср = Тогда уравнение (4. 5)

перепишется так:

(4.6)

192

Тепло, отдаваемое газом, аккумулируется насадкой. При этом

справедливо следующее равенство:

О! (ы —= (О(4.7)

где со — водяной эквивалент массы насадки, имеющий тепло-

передающую поверхность в 1 м^, ккал/м^

•

град] он равен

м = ёнС-

Здесь — вес насадки поверхностью теплообмена в 1 м^, кг/м^-,

с — теплоемкость материала насадки, ккал/кг• град.

В дальнейшем принимаем, что водяной эквивалент газа

и водяной эквивалент элемента насадки со имеют постоянное зна-

чение.

Уравнения (4. 6) и (4. 7) должны удовлетворять следующим

граничным и начальным условиям:

при х == О

и = «о; (4. 8)

при 2 = 0

= (4.9)

где {х) — температура насадки в начале первого периода, за-

данная как функция абсциссы х; она пока неизвестна; в даль-

нейшем {х) мы найдем из условий переключения регенератора.

Чтобы получить дифференциальное уравнение только относи-

тельно температуры газа и, исключаем из равенств (4. 6) и (4. 7)

Дифференцируя уравнение (4. 1) по г, получаем

/ ди д(1 \ д^и

дхдг

ИЛИ

д^и О! ди 01 З^х

дхдг • дг дг

Из уравнения (4. 6)

0. (4. 10)

, , ди /X

1 1 ч

Из уравнения (4. 7) учитывая (4. 11), равно

дг

ди

дг 0) дх '

Подставляя в (4. 10) ~ из (4. 12), имеем

(4. 12)

д^и , а1 ди ^^, _ 0

дхдг дг ^ (й дх

13 с. С. Буднёвнч 753

Решение дифференциального уравнения (4. 13) должно удовле-

творять краевым условиям (4.8) и (4.9).

Обозначим

Тогда уравнение (4. 13) перепишется так:

д^и

дх дг

- - т,

ди

дх дг

0. (4. 15)

Следует отметить, что в уравнении (4. 15) уже нельзя пренебречь

ди

членом, содержащим по сравнению с членом, содержащим

как это сделано в уравнении (4. 4). Для реальных регене-

ди

дх

раторов воздухоразделительных установок, например, средняя

величина члена = 18-20 град/м^-ч, а для середины реге-

нератора величина члена п= 12-15 град/м^-ч, т. е. значение

названных слагаемых соизмеримо.

Уравнение (4. 15) тождественно уравнению, полученному Нус-

сельтом [33, 34]. Уравнение (4. 15) решаем с помощью преобра-

зования Римана. Здесь прямо приводим решение дифференциаль-

ного уравнения (4. 15). В п. 4. 6 подробно излагается получение

этого решения.

Температура газа в любом сечении х в момент 2 периода равна

щ^о (2/ у т^п^xг + «х | X

и {X, г) =

X (21 У тл {х-1) г)!\{1)й1

+ Ш1«о I е'"' /о (21УТ^^^^)

(4. 16)

Температура насадки в любой момент периода 2 в любом сечении х

определяется из уравнения

2) =/?(х)е-

—т^г

— е

•—п^х—т^г

ио У^иг(21Ут,п,х2) +

+ 1

(2^-

Ушгп, {х-1)г) /? (Е) +

тгир

П1

(4. 17)

где ^„ н — функции Бесселя нулевого и первого порядка.

194

= V 2«1х;

Теперь преобразуем уравнения (4. 16) и (4. 17) путем введения

новых безразмерных переменных

(4. 18)

(4. 19)

(4. 20)

(4.21)

«1

= У 2т1г ;

Тогда

в1 = 1/2т1#.

211,

2 — о

2пи

'П

т,

(4. 22)

(4. 23)

Принимая во внимание (4. 18), (4. 19), (4. 20), (4. 21), (4. 22)

и (4. 23), получаем из (4. 16) и (4. 17) выражения для температуры

газа и насадки в любой точке безразмерной длины г^, отсчитывае-

мой от сечения входа газа в первый период работы регенератора,

в любой момент безразмерного времени, отсчитываемого от на-

чала первого периода.

2 , 2

и (/"1, 5х) = е

Щ^о

(1>181) +

Ч- «О в/о аГгЩ М

Г1

о]

«1

Уг1

(4. 24)

«0-^ 0>151) -Ь

"Г

•

«о

(4. 25)

13*

195

Если полная поверхность насадки регенератора равна Р, то

полная безразмерная длина регенератора, которую в первый пе-

риод обозначим через Ьх, будет равна

= УШ^. (4. 26)

При длительности первого периода гГ безразмерная продолжи-

тельность периода, которую обозначим через 8\, будет равна

= 1/2^. (4. 27)

С учетом этого температура насадки в любой точке регенера-

тора Гх в конце первого периода, согласно (4. 25), будет равна

— е

«0-Х

„2

X 1/1 («>150 + \ е '

Уг^-Я}

Я11

[^^хУг] - С?) X

е 2 ^е

"о

Г1

(4. 28)

Выражения (4. 24), (4. 25) и (4. 28) тождественны уравнениям,

полученным Нуссельтом [34].

В полученных выражениях для температуры газа и насадки,

как это следует из самого метода Римана, переменные Гх и

играют роль параметров, а переменные р^ и 6 — роль аргумен-

тов.

В равенствах (4. 17), (4. 25) и (4. 28), как ясью из предыдущего,

/? (М — это температура насадки в любом сечении регенератора

в начале периода. Под знаком интегралов она входит в виде функ-

ции /1 (рх). Причем р1 пробегает для каждого все значения

от О до г^. Интегрирование позволяет найти влияние начального

распределения температуры насадки на участке О—г^ на темпе-

ратуру газа и насадки в сечении г^. Нами принято, что теплопро-

водность насадки в направлении, параллельном движению газа,

равна нулю. Поэтому сечения г^ — Ь^, расположенные за рас-

сматриваемым в направлении движения газа, на его температуру

не влияют.

196

Для определения температуры газа и насадки в любом сече-

нии регенератора в любой момент периода необходимо знать на-

чальное распределение температуры насадки /? (/-1). Она пока

неизвестна. В п. 4. 2 она находится для установившегося режима

работы регенератора.

Введение безразмерных переменных г^ и позволяет умень-

шить число параметров, влияющих на температуру газа и насадки.

Вместо семи величин а^, Ср, с, х, г, от которых она зави-

сит, при введении безразмерных координат г^ и температура

становится функцией этих двух переменных. Одинаковые значе-

ния г^ и могут получиться в результате самого различного

сочетания величин семи переменных. В связи с этим одни и те же

решения можно распространить на много случаев, которые только

сходны в том, что значения безразмерных параметров для них

одинаковы, т. е. каждое решение справедливо для целой группы

подобных случаев, характеризующихся равенством безразмерных

параметров г^ и

4. 2. НАХОЖДЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ НАСАДКИ

В УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ В НАЧАЛЕ ПЕРВОГО ПЕРИОДА

ПРИ ДВУХ ПЕРИОДАХ РАБОТЫ РЕГЕНЕРАТОРА

Установившийся режим наступает после длительной работы

регенератора (теоретически бесконечно длительной). При устано-

вившемся ' режиме работы регенератора распределение темпера-

туры насадки периодически повторяется. Температура насадки

в конце первого периода одновременно является температурой

насадки в начале второго периода. При наличии двух периодов

работы регенератора температура насадки в конце второго периода

совпадает с температурой насадки в начале первого периода.

При установившейся работе регенератора названное распределе-

ние температуры насадки строго повторяется. В первый период

в регенератор входит теплый газ, который охлаждается, отдавая

тепло насадке. Этот период нами рассмотрен в предыдущем пара-

графе. Пусть во второй период с противоположного конца реге-

нератора ' поступает холодный газ, который, омывая насадку,

подогревается, отнимая от нее тепло. При рассмотрении второго

периода работы регенератора исходим из тех же предпосылок и

допущений, которые приняты при рассмотрении первого периода.

Обозначим температуру газа во второй период через V. Она

остается постоянной при входе в регенератор и равной Пусть

коэффициент теплоотдачи от насадки к газу в этот период равен а.,;

водяной эквивалент потока газа во второй период И^'г; длитель-

ность второго периода $2. Температура насадки во второй пе-

риод

Выражения для температуры газа и насадки во второй период

аналогичны выражениям (4. 24) и (4. 25). В дальнейшем условимся

197

называть конец регенератора, в который газ входит в первый пе-

риод, теплым, а противоположный, в который газ поступает

во второй период, — холодным.

Обозначим

«2 „ «2

= п,- = т,. (4. 29)

Безразмерные переменные для второго периода вводим аналогично

тому, как это сделано для первого периода,

/-2 = е., = 1/^1; (4. 30)

= (4.31)

^ 2П2 ' Ла ^

52 = 1/2^; е = УЪп^-, (4. 32)

Пусть полная безразмерная длина насадки во второй период

равна

= У2п,Р. (4. 34)

При определении температуры газа и насадки во втором периоде

мы должны производить интегрирование от холодного конца в на-

правлении движения газа, т. е. в направлении теплого конца реге-

нератора.

Сечение регенератора, удаленное от теплого конца на расстоя-

ние X, отстоит от холодного конца на расстоянии Р — х. Это рас-

стояние в принятых безразмерных величинах составит

|/2П2 {Р = —

г1-

(4. 35)

(4.36)

Теперь по аналогии с выражением (4. 24) можно написать урав-

нение, определяющее температуру газа в любом сечении г2, в лю-

бой момент времени «а второго периода. Отсчет времени «2 произ-

водится от начала второго периода

ь1-г1+в\

(152Уь\—'1) +

198

У (Г2, 82) = е ^

'А

или

-1- Уо

''2-'2+4

(г2, 52) = е

(/«г]/"^^ —гг) +

н-

е ' сз/о

(«52

К ^^ - /2 (92)

(^^•2

+ ^^о (/е у ь1~ м

(4. 37)

Далее, по аналогии с (4. 25) и (4. 28), учитывая все сказанное

при определении вида уравнения (4. 37), получаем для темпе-

ратуры насадки в любой момент второго периода и в конце его сле-

дующие выражения:

4 ^2-^2+4

(2{Г2, 32) = !иг2)е 'е

X их ('52 Уь\ — г1) +

'л ь1-4

«4

•I X

Гг

Vо

82 ,2 „2

(4. 38)

199

-1"

г 2

1/1 («52^ — Г1)!°2 (дг) 62 +

(4)2-е'^

Уо

(4. 39)

В выражении (4. 39) длительность второго периода принята 22.

Безразмерная длительность второго периода при этом будет

= У 2т24. (4. 40)

В уравнениях (4. 37), (4. 38) и (4. 39) /2 (г^) — это температура

насадки в начале второго периода. Она одновременно является

температурой насадки в конце первого периода. Следовательно,

(4.41)

Температура насадки в конце второго периода совпадает с тем-

пературой насадки в начале первого периода. В установившемся

режиме эта температура повторяется и в каждом сечении является

строго определенной

= (4.42)

Указанное обстоятельство дает возможность найти распреде-

ление температуры насадки в начале первого периода, зная кото-

рое из полученных выше выражений можно найти температуру

газовых потоков и насадки в любом ее сечении в любой момент

времени каждого из периодов.

Прежде чем использовать условия переключения (4. 41) и (4. 42)

для определения начального распределения температуры в первый

период, необходимо согласовать сечения регенератора

в обоих периодах. Для этого нужно привести трансформированные

к безразмерным абсциссам г^ и г^ системы координат в первом

и втором периодах к одному переменному. В нашем случае удобнее

привести длину насадки к безразмерному параметру г^, т. е. согла-

совать ее во втором периоде с первым.

Из равенств (4. 18), (4. 19) и (4. 30) находим зависимость между

г2 и г^ и соответственно между р.2 и Р1

/-2 --=

62 =

/1-2

61-

(4. 43)

200