Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)

Подождите немного. Документ загружается.

310

Гпава 7

5.5. Найти длину подкасательной, поднормали и нормали

кривой

j;^

= х^ в точке

JCQ

Решение. Данная кривая представляет полукубическую па-

раболу. Поскольку касательная и нормаль проходят через точку

JCQ

у^-\, то рассмотрим только одну ветвь кривой (рис.

7.11). ^Л^—подкасательная; BN—поднормаль.

Рис. 7.11

Найдём угловой коэффициент касательной в точке М\

2уу<

3х'; у'

-—, у\\)

= К

Ъ_

1 у' ^ ^' ' Т

Угловой коэффициент нормали в точке М(1,1) будет

1 2 3

А:, = = —. Уравнение касательной у

—

=—{х

—

\)\ нормали

>'-1 = -|(х-1).

Найдём координаты точек

A^^B,

Поскольку точки лежат на оси

Ох,

то

из

уравнений касательной

нормали

имеем

^ -,

5 —,0 . Длина подкасательной

\AN\^\

—

= —;

поднормали

|ДЛ^|==--1==-.Дшшакасательной|^\/|== II

—

(1-0)^

л/в.

длинанормали

ВМ

—1

V(.-o)==-^"

)

аИффЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ фУНКиИИ

311

5.6. Под каким углом пересекаются кривые у

^тх и

= cosx,

ХЕ[0,Л:]?

Решение. Совместно решив уравнения кривых (рис. 7. 12),

находим абсциссу точки их

пересечения:

sin х -

cos

х =

О,

XQ=

—. Продифференцируем уравнения кривых y = cosx и

-sin

.Найдем угловые коэффициенты касательных к кри-

вым в точке их пересечения (т. е. значения производных при

тг /о /о

^0= j): А'{хо)

—, /2'(хо) = ——. Отсюда по формуле (4)

пункта 3.4 имеем:

tg<p =

.:/2_V2

'^ 2_

V2 л/2

2 2

= -2л/2,

(р =

- arctg 2

л/2.

y=cosx y=smx

•к

^ис.

7.72

5.7.

Под каким

углом кривая у

= \п

\уЪх -1 j пересекает

ось

л:?

Решение. Находим точку пересечения кривой с осью Ох.

Полагая у-^, получим:

1п(л/Зд:-11

= 0, v3x-l = l,

_ 2 _2л/з , л/З

x-—F=-

Находим производную у

Sx-\

и угловой

312

Гпава

коэффициент касательной к кривой в точке х^ =

2N/3

/U)

^/3•2^-l

V3.

Поскольку угловой коэффициент оси Ох равен

нулю,

то по

фор-

г _^

муле

(4)

пункта

3.4:

tg ^ = v3

Следовательно, искомый угол ^ ~

"Г •

5.8. Найти длины отрезков полярных касательной, норма-

ли,

подкасательнои и поднормали, а также угол между касатель-

ной и полярным радиусом точки касания у спирали Архимеда

р=а(р в точке с полярным углом

(р =

2к .

Решение. Представим график спирали Архимеда (рис.7.13).

Находим производную р'

а, тогда длина полярной касатель-

ной

й равна

\МК\=-Г^У1Р^+(РУ

=—л/4л:'аЧа' =2л:ал/1+4л:' ;

\Р\ ^

длина полярной нормали

MN \=^р^

(^p'f

^J{2кaУ +а^ =

г——г „ ^^ р^ а^Ак^ ^ 2

= avl + 4^ ; длина подкасательнои

uK=-r—j-

= =

чак

длина поднормали ON

\р'\

а.

Рис.7.13

аИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИИ 3^

Угол, образованный касательной

MKVL

полярным радиусом

, ^ р а2к ^

точки касания, находим по формуле tga = -^ = =

2л:,

от

куда a = arctg2л:.

5.9. Точка движется вдоль прямой по закону ^ = 2/^ -

+ 4.

Найти скорость и ускорение точки в момент времени

= Зс.

Решение. Скорость точки определяется первой производной

по времени v

— =

6/^-3.

При t-Ъ скорость равна

t;(r = 3) =

6-3'~3

= 51c-^

Ускорение точки определяется второй производной

= —у =

12/.

При t =

ускорение равно w(t = 3) =

12 • 3

= 36

с""^.

5.10. Угол поворота шкива в зависимости от времени задан

формулой

<р

г^

+ 2/ + 4. Найти угловую скорость и ускорение

при / = 4 с.

Решение. Угловая скорость определяется первой производ-

ной от угла поворота по времени

О)

= —^ =

2г

+ 2, а угловое ус-

корение определяется второй:

Е =

—j- = 2.

dt .

При

= 4 угловая скорость равна ш = 2-4 +

= 10—,а угло-

вое ускорение

постоянно,

от

времени

не

зависит,

и равно

—.

5.11.

Снаряд выпущен вертикально вверх с начальной ско-

ростью

—. Определить скорость и ускорение движения сна-

ряда. На каком растоянии от земли и через сколько секунд

снаряд достигнет наивысшей точки? (Сопротивлением воздуха

пренебречь).

Решение. Уравнение движения

тела,

брошенного вертикаль-

но вверх, имеет вид

314

Гпава 7

X = VQt-

gt'

где

— высота подъема тела за время t, g — ускорение свобод-

ного падения.

Первая производная от пути определяет скорость движения

снаряда

v^v-gt

,з, вторая производная — ускорение

w =

-g.

Когда снаряд достигнет наивысшей

точки

подьема,

его скорость

будет равна нулю, т. е. 0=£;-g^, откуда время подъема t=— с.

Чтобы найти расстояние снаряда от земли до наивысшей

точки подъема, необходимо в уравнение движения подставить

время подъема

X = Un

Г..

7.12. Движение точки М определяется уравнениями

{

acoskt,

y=bsmkt.

Определить направление скорости

момент времени / =

Решение. Скорость направлена по касательной к траекто-

рии. Тангенс угла наклона касательной в момент t

= tQ

равен

bkcoskt

-ак

sin

Ак

в момент / = — скорость направлена к положительному

Ак

направлению оси Ох под углом

(р =

arctg

= -arctg

7.13.

Количество электричества, протекшее через провод-

ник, начиная с момента времени

О,

определяется по закону

аИффЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИИ

315

3t^ -2. Найти силу тока в конце второй секунды.

Решение. Сила тока равна первой производной от количе-

ства электричества по времени / = — = 6t. При t -2 сила тока

равна /(/ = 2) = 6-2 = 12а.

5.14. Зависимость между количеством q вещества, получа-

емого в некоторой химической реакции, и временем t выражает-

ся уравнением д = А(\ —

е"""

Определить скорость реакции.

Решение. Скорость реакции есть производная

~dt

Аае

или

q-^a{A-q),

7.6. Теоремы о среднем

1°.

Теорема Ролля. Если функция f{x) непрерывна на от-

резке

[а,Ь\,

имеет конечную производную в каждой внутренней

точке этого отрезка и удовлетворяет условию f{ci)

f {b) = О,

то между avib найдется такая точка ^ е ] а,

что /'(^) =

О.

Геометрически это означает следующее: если крайние ор-

динаты кривой у = /(jc) равны

нулю,

то на кривой найдется точ-

ка, где касательная параллельна оси Ох (рис. 7.14). Теорема

также верна, если f{a)

f[b)^0.

Рис. 7.14

316

Глава

2°.

Теорема Лагранжа. Если функция

f{x)

непрерывна

на отрезке

[а,

Ь]

имеет конечную производную

каждой внут-

ренней точке этого отрезка,

то

между

аиЬ

найдется такая точка

(^б]а,б[,

что

/(6)-/(a)

(fe-a)/'(^).

Эта

формула называет-

ся формулой конечных приращений.

Геометрически

это

означает следующее:

на

дуге

АВ (рис.

7.15) всегда найдется по крайней мере одна точка М,

которой

касательная параллельна хорде

АВ.

'^'^

/ \

Рис,

7,15

3°.

Теорема

Коши,

Пусть функции

(р{х) и ^{х)

непрерыв-

ны

на

отрезке

[а,

Ь]

имеют конечные производные

каждой

внутренней точке этого отрезка. Если эти производные не обра-

щаются в нуль одновременно vL(p{a)^(p

{b), то

между avib най-

дется такая точка qe\a,bL

что —j-{ 7~т^'~Т7ТТ^ ^^^^

„

, ^ ,,

НЬ)-(р{а)

(р{^)

(р

[х)^0 в

промежутке [а, Ь],

6.1.

Проверить справедливость теоремы Ролл я

для

функ-

ций:

а) у

х^

-2х-3 на

отрезке [-1,3];

б)

Vх^

на

отрезке

[-1,1].

Решение,

а)

Функция определена, непрерывна

диффе-

ренцируема

при

всех значениях

х.

Значения функции

на

гра-

ницах отрезка равны между собой

у(-1) =

^^(З)

функция

аИффЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ 317

имеет конечную производную У =

2JC

в каждой точке это-

го отрезка, следовательно условия теоремы Ролля выполня-

ются. Значение ^ определяем из выражения У =

О,

2JC

= О,

т. е. ^ =1.

б) Функция непрерывна на отрезке

[-1,1]

и на концах этого

отрезка принимает равные значения ^^(--l) = ^(l) =

. Находим

, 2 1

производную у

""-г^гу

•

в точке

д:

[-1,1]

производная не

существует. Поскольку условия теоремы Ролля не выполнены,

то теорема Ролля

данной функции неприменима.

6.2. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для фун-

кций:а) f{x)

-x'-x

\ на[0,1];б) /(х)=\/?-1 на[-1,1].Если

теорема применима, то найти точку ^ .

Решение, а) Даная функция на отрезке [0,1] непрерывна и

имеет конечную производную f\x) =

л:^

-1.

Следовательно, ус-

ловия теоремы Лагранжа выполняются. Точку ^ найдем из фор-

мулы конечных приращений /(1)-/(0) = (1-0)/Х<^),

—

= ^^

-1,

^,2 --—

•

Поскольку ^ = не принадлежит

отрезку

[0,1],

то искомое значение ^ = —.

б) Функция непрерывна на отрезке

[-1,1]

и имеет производ-

2 1

ную f {х)

—7=-. Поскольку производная в точке

= О

[-1,1]

3 yjx

не существует, то теорема Лагранжа к данной функции не при-

менима.

6.3.

В какой точке касательная к параболе у

х^ +2х па-

раллельна хорде, стягивающей точки А

(-2,0)

и В (1,3) ? Пояс-

нить графически.

318

Гпава 7

Решение. Наклон хорды АВ (рис. 7.16) определяется угло-

вым коэффициентом

к^———

•^2 -^1

3-0

= 1. По теореме Лагран-

жа /(1)-/(-2) =

+ 2)ЛО, 3 = 3(2(^+2), ^=-^. Угловой

коэффициент касательной к данной кривой

к = у

Ниг)

Рис. 7.16

касательная к парабо-

Следовательно, в точке С —,—

12 4

ле параллельна хорде АВ. ^

6.4. Для функций

(jc) = sin

у^

(х) =

cos

х проверить вы-

полнение условий теоремы Коши в интервале

[

О,—]

и найти t,.

Решение. Найдем производные (p\x)

cosx\

1/А'

(х) = - sin

Поскольку производные существуют во всех точ-

ках этого интервала

и (j9

(л)

т^

(^7);

sin

—,

то условия тео-

ремы Коши выполняются.

По формуле Коши имеем

аИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИИ 319

COS

о • е

2 _-sin«g t„^ 1 ;: ^

. 7t . ""^^' откуда tg.^=l,<^=-.

Sin smO ^ ^

6.5.

Доказать, что уравнение

е""

- х

--1

= О, имеющее корень

О,

не имеет других действительных корней.

Решение. Пусть данное уравнение имеет еще один действи-

тельный корень х^, тогда между корнями х =

и х^ найдется

такая точка ^ , в которой /

((^)

О.

Обозначим левую часть

уравнения за /(х) =

е''~х-1

и найдем производ-

ную fXx) -е"" -\. Приравнивая

ее

нулю,

получим

е""

х = О.

Поскольку это значение х совпадает с корнем уравнения, а дру-

гой точки t,, где бы / (^) =

нет, то данное уравнение не имеет

других действительных корней.

6.6. Многочлен /(х) =

х"^

х^

имеет корни х =

= 1. Доказать, что имеет действительный корень, принад-

лежащий интервалу

[0,1].

Решение. Находим производную —^ =

4х^

~3х^+2х-1.

Поскольку функция /(х) удовлетворяет на интервале [0,1] ус-

ловиям теоремы Ролля, то приравниваем производную нулю

4х^ ~

Зх^

+ 2х -1 =

О.

Даное уравнение третьей степени, следова-

тельно, имеет, по крайней мере, один действительный корень.

-f

Поскольку многочлен на концах интервала

[0,1]

имеет

d f 2

разные знаки, а производная от него —— = 12х - бх +

не име-

df ^'

ет корней, то на данном интервале имеет один действитель-

ных

ный корень.