Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)

Подождите немного. Документ загружается.

340

Гпава

Находим производную (р\х) = 4sin^ xcosx-4cos^ jcsin jc и

приравниваем ее к нулю 2sin jccosjc(sin^ x-cos^ ^) = О, откуда

sin2xcos2x = 0, sin2x = 0,

COS2JC

= 0, ^i-

nn к кп

' 4 2

Подставляя найденные критические точки

функцию находим, что

при х

—

= о, ±

...) функция имеет наибольшие значе-

ния равные

единице,

а при х = —

2п)

(п = О, ±

...) — наи-

меньшие значения равные —.

в) Функция задана и определена на всей числовой оси. Ис-

следуем значения функции при хе]-оо^оо[. Найдем производ-

ную f\x)

В точке

производная не существует.

Значение функции при х =

равно

-1.

При х -^

± с»

функция нео-

граничено возрастает.

Следовательно, наименьшее значение функции будет

/(0) =

-1,

а наибольшего значения функция

не

имеет

(рис.

7.32).

7.11.

Решение задач на максимум

минимум

При решении задач на максимум и минимум по условиям

задачи следует составить функцию, приняв одну из переменных

аИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИИ 341^

за основную и выразив все остальные переменные через нее.

Далее следует исследовать эту функцию на экстремум по иско-

мой переменной, т. е. найти наибольшее или наименьшее значе-

ние полученной функции. Интервал изменения независимой

переменной определяется из условий задачи.

11.1.

Объем цилиндра V. Найти радиус основания, при ко-

тором цилиндр имеет наименьшую полную поверхность.

Решение. Полную поверхность цилиндра принимаем за фун-

кцию.

S =

S^^^+Sg^^

2KR^+2KRH

2K{R^-\-RH)

где Я—вы-

сота цилиндра, R — радиус основания. Объем цилиндра

кК^Н, отсюда Н = —-. Исключая Н из выражения пол-

ной поверхности цилиндра, получим S

2к

Вычис-

ляя производную по R\ 5' = 2;г 27? и приравнивая ее к

V ^ ^

нулю 2R =

О,

находим, что минимум наименьшей полной

KRT

поверхности будет при радиусе R - ?/—-.

[У

Действительно, вторая производная при R = }1— равна

V 27Г

= 2л:

\ 2К ^

—г

= 12л:>0.

То есть найденное значение радиуса определяет наимень-

шую полную поверхность.

11.2.

данный шар вписать конус

наибольшим объемом.

Решение. Объем конуса, вписанного в шар (рис. 7.33), ра-

вен V

—7гНг^,

где Н — высота конуса, г — радиус основа-

ния.

342

Гпава

Рис. 7.33

Обозначим за i? — радиус шара, тогда из

АОО'В

имеем:

(OBf ={00У +(0'В)\ R' ={Н-Rf +г\

r^=2HR-H^.

От-

сюда V

—n{2H^R -

//^).

Принимая объем конуса за функцию,

наибольшую его величину находим, исследуя эту функцию на

экстремум: К; =~(4ЯЛ-ЗЯ'),

4HR-3H^

=0, Н

^R.

При Н

0 функция, естественно, не может иметь наибольшего

объема. При Н

= —R

производная F^ меняет знак с плюса на

минус, т. е. функция имеет максимум. Следовательно, наиболь-

ший объем конуса, вписанного в шар, при высоте конуса

4 Iw

—R, где радиус шара R = II—.

3 \4л:

11.3.

На эллипсе —

— =

даны две точки ^fv3,-2j

. Найти на данном эллипсе третью точку С такую,

чтобы площадь треугольника ABC была бы наибольшей.

Решение. Обозначим координаты искомой точки С за

X, у, тогда площадь треугольника по формуле

аИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ фУНКиИИ 343

^ = -\[х,{у2-Уъ)-^^2{Уъ-У\)^^ъ{У\^У2)'\\ будет иметь

ВИД

5 = -(л/3(1-;;)-2л/3(:и +

2) +

х(-2-1)) = -(л/3-373у-4л^

Из уравнения эллипса, как уравнения связи, находим

Рассматривая площадь треугольника как функцию, иссле-

дуем

ее

на экстремум, беря производную по

у\

=—(-Зл/з

-Зх'),

15 5 ' ' X ' ' 2

'2 '

f \

9у

-3^ +

•

V15-3/

л/Зл/15-ЗУ -

З^^

О,

±J-,

X =

±J—. При отрицательном

значении J производная знака

не

меняет.

При переходе через точку

У-\1~^

^~\1~ производная S^ меняет знак

плюса на минус.

V2"V2

ТО

площадь

следовательно, если координаты точки С |

треугольника ABC наибольшая.

11.4.

Число 64 разложить на два таких множителя, чтобы

сумма их квадратов была наименьшей.

Решение. Обозначим множители зах и

j^,

тогда х^ =

64.

Сум-

2 2 2 64'

му квадратов обозначим за z

x -hy , z

x +—г-. Найдем

64'

минимум

функции:

2'=2;с-2-у-,

х'^-64'=0, (х'-8')(х'+64)=0.

Производная меняет знак с минуса на плюс при переходе че-

рез точку х = 8 (рис. 7.34), т. е. функция имеет минимум, сле-

довательно, при X = S, у = S сумма квадратов наименьшая.

344

Гпава 7

Рис. 7.34

11.5.

Из углов квадратного листа железа

со

стороной

нуж-

но вырезать одинаковые квадраты так, чтобы, согнув лист по

пунктирным линиям (рис. 7.35), получить коробку наибольшей

вместимости. Какова должна быть сторона вырезанного квад-

рата?

т 1

а'2х

—•

Рис. 7.35

Решение. Если обозначить сторону вырезаемого квадрата

через

то сторона основания коробки будет равна

- 2x, а вы-

сота —

jc.

Объем коробки выразится функцией V

—

{а-2х)^х,

причем JCG[0, —]. Находим максимум этой функции:

У'

{а-1х){а-вх\{а-2х){а-6х)

{).

Производная меняет

знак

плюса на минус при переходе через х =

—

(рис. 7.36). Сле-

довательно, наибольшая вместимость коробки будет при сторо-

не вырезаемых квадратов равной —.

аИффЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ фУНКиИИ

345

Рис.

7.36

11.6.

Кусок угля массы

лежащий на горизонтальной кон-

вейерной ленте, должен быть сдвинут приложенной к нему си-

лой (рис. 7.37). Под каким углом (р к горизонту следует

приложить эту силу, чтобы величина ее была бы наименьшей,

если коэффициент трения угля по резине // = 0,6 ?

^у<^

чс, 7.3

Решение. Разложим силу

^Рна

горизонтальную и вертикаль-

ную составляющие: Fcoscp и Fsin<p. Fcosq) —сдвигающая

сила. Прижимающую силу находим, как разность силы веса кус-

ка и вертикальной составляющей mg - F sin

(jO

, где g — ускоре-

ние свободного падения. Согласно закону Кулона сдвигающая

сила равна прижимающей, умноженной на коэффициент трения,

ii^g

т. е. F

cos ф

Liimg

- F sin

(р).

Отсюда F = : .

cos^

+ jUsmcp

Наименьшее значение силы будет при наибольшем значе-

нии знаменателя у

= cos (р

+/J,

sin

ср.

Для отыскания наибольше-

го значения у приравниваем у' к нулю, получим

346 Гпава 7

~sin9 + ^cos()[) =

О,

откуда igcp^fi,

(p =

3TCtgiJ.

при (рЕ[0,—].

Поскольку у'' = -

cos (jO

sin

< о при ф = arctg д

то знамена-

тель j принимает наибольшее

значение,

а соответственно, сила—

наименьшее, т. е. прилагать силу под углом

(р

наиболее выгод-

но.

Угол

(р

— называется углом трения и в нашем случае равен

(р

= arctg 0,6 .

11.7.

Сопротивление балки прямоугольного поперечного

сечения на изгиб пропорционально произведению ширины этого

сечения на квадрат его высоты.

Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной

из круглого бревна диаметром

чтобы

ее

сопротивление на из-

гиб было наибольшим?

Решение. Обозначим высоту балки через

й,

ширину через b

(рис.

7. 38).

Рис. 7.38

Сопротивление на

изгиб

определяется функцией y

bh^. Так

как

А^

=d^ -Ъ^ ,то у

b{d^

-b^). Исследуем эту функцию на эк-

л/З^

стремум: y'

d^-3b^, d^-ЪЬ =0, 6 = . Найдем вторую

7з

производную у'

- 66, при b = d, у'' = -2v3fif < О. По-

л/з

скольку

у''<0,

то сопротивление балки на изгиб при

= —d

будет наибольшим, высота балки при этом будет h = J—d.

аИффЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ фУНКиИИ

347

11.8.

Тело движется по закону 5 = 2к +

3г^

-/^. Найти его

максимальную скорость.

Решение. Обозначим скорость v

— за

функцию,

которую

необходимо исследовать: v

2l-{-6t-3t^,

Исследуем функцию: v'

6-6t, при t= 1 производная

0. Так как v''

--6 для любого /, то при t ~

функция v

имеет максимум, т. е. v^^ = 24 ед.скорости.

11.9.

Уравнение движения снаряда, вылетающего из ство-

ла орудия с начальной скоростью v^ имеют вид

X =

COS

•

gt'

VQsma't-^,

угол

где t — время, g — ускорение свободного падения, а

между горизонтом и направлением вылета.

Определить, под каким углом следует произвести выстрел,

чтобы получить наибольшую дальность

полета,

если орудие стоит

подножья возвышенности, поверхность которой наклонена под

углом Р кгоризонту (рис. 7.39).

к^

Рис. 7.39

Решение.

Поскольку требуется найти наибольшую дальность

полета в зависимости от а, то дальность полета х примем за

функцию, а а — за независимую переменную. Для этого, ис-

348 Гпава 7

ключая из уравнений движения г, запишем уравнение траекто-

pHHj;

= xtga-—^^ —.

2VQ

COS а

Из условия равенства ординат в точке А прямой ОА (рис.

7.39)

y^xigp

и уравнения траектории находим, что

x\gP=xiga-—f—z— или

= -^(sin2a-2cos^atg6).

2uocos^a g^ ^^

Находим производную от дальности по

сх

dx V

— =

2-^(cos2a

+ sin2atgj8)

da g^

и приравниваем ее к нулю cos2a

sin2atg)8 =0, откуда

. Находим вторую

/тг Л

ctg2a =

-tg)8,

2а

=—+j8

илиа = -| —+ j8

d^x v^ 1

производную —-J =4—(-sin2a+cos2atg)8). При а=-

d^x

вторая производная <

О,

следовательно, найденный угол а

обеспечивает наибольшую дальность полета.

11.10.

Два источника света расположены друг от друга на

рас-

стоянии

25м.

На

прямой,

соединяющей

эти

точки,

найти

наименее

освещенную

точку,

если

силы света источников

относятся,

как

27:8.

Решение. Пусть источники находятся

точках А и В, причем

в точке А находится наиболее сильный источник. Считаем, что

точка С наименее освещена

отстоит от точки А на расстоянии х

(рис.

7.40), тогда СВ = 25 - х. Если силу света более сильного ис-

точника принять за /, то срша света другого источника будет -— /.

С В

Рис. 7.40

аИффЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ фУНКиИИ 349

Поскольку освещенность точки прямо пропорциональна

силе света и обратно пропорциональна квадрату расстояния от

точки до источника света, то, учитывая, что выбранная точка

освещается обоими источниками света, функция освещенности

в зависимости от расстояния примет вид

х'

2Ц25-хУ

Находим производную £

=-2—7+

г иприрав-

х'

27 (25-х)

8 2

ниваем ее к нулю, откуда

(25

-х)^ х^ =0 или

д:

= —

л:.

Таким образом, наименее освещенная точка отстоит от ис-

точника

на расстоянии

= 15м.

Докажем

это.

Возьмем вторую производную от освещенно-

сти Е'' =

6—Г

7. Нетрудно заметить, что Е''

> О

при

х'

21{25-хУ ^'

15,

следовательно, точка Сесть точка минимума функции.

11.11.

Электрическая лампа висит над центром круглого

стола радиуса

г.

На какой высоте над столом должна находится

лампа, чтобы книга, лежащая у края стола, была лучше всего

освещена?

Решение. Обозначим высоту через х (рис. 7.41). Зная, что

освещенность Е прямо пропорциональна косинусу угла падения

и обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника

cos

ОС

света, составим функцию: Е

к——, где к

const.

Из треу-

X +г , COS а =-7=

•

Тогда

л/777

к ^^—г.

(хЧ.^)