Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)

Подождите немного. Документ загружается.

320 Гпвва 7

7Л.

Раскрытие неопределенностей

по правилу Лопиталя

Если при

-> а функции (р{х) и \lf{x) одновременно стре-

мятся к нулю или

оо,

то предел их отношения равен пределу от-

ношения их производных, т. е.

При этом предполагается, что (р'{х) и ^\х) существуют и

конечны.

Если же отношение производных также будет представлять

О ^

случай

—

или —, можно снова и снова применять правило Ло-

питаля.

Если неопределенности типа О-^о или оо~оо, то сначала

приводят эти функции к виду дроби, которая представляет нео-

0 оо

пределенность -- или —, а затем уже пользуются правилом Ло-

0 оо

питаля.

Нахождение предела функции в случае неопределенностей

типа

1~,00^,0^

с помощью логарифмирования также сводится

О ^

сначала к случаям -- или —, а затем уже используется правило

Лопиталя.

— 1

2 cos 2х

7.1.

Найти пределы: а) lim^^ ; б) lim ;

^-^0

sin

Ъх ^-^01

- cos Зх

. ., е -х -\ Insinx

в) lim—гтт;—; г) lim .

^-^0 sin 2х x^Q Inx

Решение, а) При

имеем неопределенность вида —.

Применяем правило Лопиталя

аИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИИ 321

^-*о

sin

3JC

^-*<> 3 cos Ъх

б) При

X —> О

неопределенность вида—. Применяем прави-

опиталя ло Лопиталя

l-cos2x

,. 2sin2x

lim = Iim .

^-^01

cos 3x

^-^0

sin

3JC

При

X —>

имеем

неопределенность вида --. Применяем пра-

вило Лопиталя еще раз

,. 2sin2x ,. 4cos2x 4

hm = lim =

—.

^-^0

sin

^-^0 9

cos 3x

в) При

неопределенность вида --. Применяем прави-

ло Лопиталя

е""

~х^~1 ,, Ixe"" -2х ,.

хе""

-х

hm -. = lim г = hm г .

^-^0 sin 2х

^-^0

4 sin 2х cos 2х

-2 ^-*о

4 sin 2х

cos

2х

Выделим первый замечательный предел и воспользуемся

теоремами о пределах и правилом Лопиталя еще раз

hm —^ = lun = —hm—-— =

^^0 8 sin 2х sin 2х

cos

2х

^-^о

8 sin^ 2х

cos

2х 8

^-^о

sin 2х

1,.

2хв"' I

=—hm

= —.

8^-^o2sin2xcos2x-2

оо

г) При

X —>

о неопределенность вида—. Применяем прави-

оо

ло Лопиталя

,. hisinx ,. COSXX ,.

hm = hm = hmcosx = 1.

^-^0 inx ^-^0 sinx ^-^0

322

Гпава

,n..

б) lim

jcsinjc

7.2.

Найти пределы: a) lim

^-^Mlnjc jc-1

X ( \\

в) lim(x-^)tg-~; r) lim xsin— .

x-^n^

^2 ^-^'"l X)

Решение, a) При x ->

имеем неопределенность вида

Приводим

общему знаменателю и получаем неопределенность

Применяем правило Лопиталя

л:

x~l-xlnx

lim — = -

lim

^-^» (x~l)lnx ^->J

lnx +

x-\

-lim-

jclnx

= -lim-

lnjc

+ 1

^^1 xlnx + jc-1 ^-^1 lnx

+ 1 + 1

6) При

-> 0 имеем неопределенность

(

приводим

общему знаменателю и получаем неопределенность --•. Приме-

няем правило Лопиталя

lim

jc-^O

1 1

jcsinjc

,. sinjc-jc ,.

= lim—г = lim-

COSJC-1

= lim

^^0

x"^

sin

X ^-^0

2x sin

jc + jc cos

-sinx

= ~lim-

^-^0

2sinx + 4xcosx-x^sinx

cosx

^-^o2cosx

4(cosx-xsinx)-2xsinx-x^cosx 6

в) При

х-^к

имеем неопределенность вида (О •

«>).

Приводим

неопределенность к виду -- и пользуемся правилом Лопиталя

lim (x-;r)tg

—

= lim = lim : = -2.

х-^к

2 ^-^^ . X '^*

ctg

sin

аИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ фУНКиИИ 323

г) При

оэ

имеем неопределенность вида

оо.

О •

Приво-

ДИМ

эту неопределенность к виду

—

и пользуемся правилом Ло-

питаля

.1 11

. sin— —^cos— .

limxsin~ = lim—-^ =

lim—=^^—-—=^

= limcos—= 1.

ДС—>oo д- X-»«> 1 JC—>oo 1 JC—>oo Д-

X X^

^_,а ^-^- дс->о

7.3.

Найти

пределы:

a) limftgxV^^''; 6) lim(lnxV ; в) Итх"";

x->—

r) lim(x + 2^V; д) lim(l + sin2xV

Г-400

N /

v__i.n

^ ^

Решение, a) При x -^

—

имеем неопределенность 1~.

Прологарифмируем данную функцию >' = (tgx)^ "";

= tg 2x

тогда lim lny

lim tg 2x

In tg

x, т. e. получим

X—>—

JC—>—

4 4

неопределенность вида

©о.

О.

Представим эту неопределенность в виде неопределеннос-

ти -~ и применим правило Лопиталя

,. , ,. Intgx ,. sin^2x

Iim

= lim —f—

Iim

-1.

£ 1 x-^- sin2x

4 4 -— 4

tg2x

t 2x 1

Таккак limln>^ = -l,TO

lim>^

e~*

=— или lim(tgx)^ ""=—.

4 4 4

6) Неопределенность вида оо

Прологарифмируем данную

1 1

функцию

= (In

х)^;

у =

—In In X

и сведем неопределенность

In In X

к виду —: liming = lim

оо

Х-^оо

324 Г пава 7

Применим правило Лопиталя

,. Inlnx 1- X л

lim =

lim^^=^

= 0.

X ^-^**° In

Так как Ит1п>^ = 0,то \\ту

\ и lim(lnx)^=l.

в) Неопределенность вида 0^. Прологарифмируем функцию

оо

у^х^

JC In X И

Представим неопределенность в виде —:

г 1 -Г ^^ Injc

i™ ^~^ 1

Применим правило Лопиталя

lim——

Нт-^"

= О.

_ л-Я) 1 х->0 1

^ XX

Отсюда lim

и lim y

= l>

Итак Итх"" = 1.

jc-^O JC^O х^О

г) Неопределенность вида

оо^.

Положим у

(х

2''У и про-

логарифмируем:

=—ln(jc

2"").

Применяя правило Лопита-

ля,

получим

1п(х + 2'')

2''1п2

limln>; =

lim—5^

= lim'^^ "^^ -

JC—>«>

X ^^~ X +

l""

,. 2Чп'2 ,. 2Мп'2 , ^

= lim = lim

z—

-^-1 + 2Чп2 -^~2^1n'2

откуда lim;; = 2.

д) Неопределенность вида Г. Прологарифмируем функцию

= {l +

sm2xf'

lim In у = lim ctg 5jcln

+ sin 2x)

x-^O

Jc->0 ^ ^

аИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИИ 325

и приведем неопределенность к виду —

ln(lH-sin2x)

lim

= lim

cos

5 jc —^^ .

^^0

^-^0

sin

5JC

Пользуясь теоремами о пределах и правилом Лопиталя, бу-

дем иметь

2 cos

2JC

ln(l + sin2x)

+sin 2 г 2.. 1 2

limln>; = lim—^

i^j^i-hsmzx

::=

„ju^ = -.

д^_»о

J:-»O sin 5x ^->o

5 cos

5JC

^-^^

i + sin 2x 5

Таким образом, lim

+ sin IxT^

=e^.

7.8. Возрастание

убывание функций

При исследовании поведения функции у = f{x) в зависи-

мости от изменения независимой переменной х обычно предпо-

лагается, что во всей области определения функции независимая

переменная изменяется монотонно возрастая, т. е. каждое следу-

ющее ее значение больше предыдущего ^2 > х,.

Если при этом последовательные значения функции также

возрастают /

(-^2)

^ / (^i)

то функция называется возрастаю-

щей, а если они убывают /

(-^2)

^ / (-^i)' ^^ функция называется

убывающей.

Возрастание и убывание функции характеризуется знаком

ее производной: если внутри некоторого промежутка у' > О, то

функция возрастает, а если

^''^ <

О, то в этом промежутке функ-

ция убывает.

При практическом исследовании функции на возрастание и

убывание находят производную и приравнивают

ее

нулю.

На-

326

Гпава 7

ХОДЯТ

корни получившегося уравнения, а также точки, в кото-

рых производная не существует.

Все

эти точки, вместе

возмож-

ными точками разрыва функции, разбивают область

существования функции на ряд промежутков, на каждом из ко-

торых вопрос о возрастании или убывании функции определяет-

ся

знаком производной.

8.1.

Определить промежутки монотонности функций:

а)

у^Ъх^-\\

б) ;; = log^x-l); а <\ \ в)

У^——г\

г) у = (х + 1)Чх-3);д) ;; = jc'|x|.

Решение, а) Функция определена для всех значений х, т. е.

область ее существования ("-<^,^). Находим производную

у = Зх^. Очевидно, что при любом х у >^, следовательно, фун-

кция возрастает на всем промежутке (рис. 7.17).

Рис. 7.17

б) Функция существует для всех х>

т. е. область ее суще-

ствования (1,«^). Находим производную У =- ——. По-

(jc

—

скольку д<1,то \па<0 и у' для всех х > 1 меньше нуля.

Следовательно, данная функция на промежутке (1,«>) убывает

(рис.

7.18).

аИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКиИИ

327

Рис. 7.18

в) Функция определена для

всех

х кроме х-\, где она терпит

„ , х(х-2)

разрыв. Находим производную у =— ^ ^ приравниваем ее к

Х\Х-~ Z)

нулю Y -

О •

Это уравнение имеет два

корня:

х, =

О,

^2 =

О.

\Х — i)

Учитывая точку разрыва х =

разбиваем числовую ось на

промежутки (рис. 7.19) и определяем знак производной на каж-

дом из

них.

Следовательно, функция возрастает на промежутках

(-00,0)

и (2,сх>) и убывает — (0,1) и (1,2). На рис. 7.20 показан

график функции.

о 1 2

Рис. 7.19

Рис. 7.20

328

Гпвва 7

г) Функция определена на всей числовой оси х. Находим

производную / = 3(x + l)^(jc~3) +

(jc

+ l)^=4(jc + l)^(x-2). Из

уравнения (х + 1)^(х-2) = 0 определяем корни производной

Xj 2

= -1 и

Х3

= 2

Корни уравнения определяют три промежутка

]-«>^-1];

]~l5

и ]2,<»[. Из выражения производной видно,

что при переходе через корень х^^ =

""^

производная не меняет

знака. При х < -1 и при -1 < х < 2 имеем:

д^'

О,

следовательно,

функция убывает. При х > 2 производная

j;'

О,

следовательно

функция возрастает.

д)

Функция}^

определена на всей числовой оси. Находим ее

производную

, Зх^ при х>0;

У -{

[-Зх^ при

< 0.

Отсюда следует, что функция при х <

убывает, так как

J' <

О при

любом значении х, а

при

х >

возрастает, так как

у*>0.

График этой четной функции показан на

рис.

7.21.

Рис. 7.21

8.2.

Доказать справедливость

неравенств:

а) tg х > —+х при

к X

0<х< —;б)х>

1п(1

+ х) прих> 0;в) X—-~<sinx<х прих > 0.

аИффЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИИ 329

JC^

Решение, а) Найдем производную функции j = tgx х

для указанных значений

х:

У = у ^ -•l = tg х-х .

cos X

Поскольку tg^x-x^ >0,так как tg^x>x^, tgx>x,Toj^'>

х' х'

и функция возрастает, откуда tgx---— х>0 или tg х > —+х.

б) Найдем производную функции

х-1п(1

+ х):

,_ 1 X

У -1 . При

функция имеет минимум, а при

X > О,

у*>0

и функция возрастает. Следовательно,

1п(1

+ х) > О, откуда х >

1п(1

+ х).

в) Рассмотрим систему неравенств

х'

X <sinx,

sin

< X.

х'

Введем функции f{x) = х sin

х,

^(х) = sin х - х и най-

дем их производные /'(х) =

х^

cos х,

(р\х) = cos х

-1.

При

^ ^

f\^)

О, так как

-х^ < cosx, и (р\х)

< О

или равна

нулю для значений х

2кк (/: = 0,1,2,...), так как cosx<l.

х^ .

Функции убывающие, следовательно х—---sin x<U и

^' •

sinx-x< О, откуда х—— < smx< х.

7.9. Максимум

минимум функции

1°.

Значение функции ^=:/(х) в точке х^ называется

JW^^K:-

симальным

{минимальным),

если оно является наибольшим (наи-

меньшим) по сравнению с ее значениями во всех достаточно

близких точках слева и справа от х^.