Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)

Подождите немного. Документ загружается.

350 Гпава 7

Рис. 7.41

Находим производную Е' -к j- и приравниваем ее

(х'+г')2

к нулю г^ -

2JC

откуда х =

^л/2

Чтобы выяснить, имеет ли

функция при данном значении х максимум, находим знак второй

rV2 W, ,^3х(2х^-3г^) .

производной при

= \ t -к

Zj—,

' ^^

следовательно, функция имеет максимум и при высоте лампоч-

ки x =

^л/2

книга лучше всего освещена.

11.12.

Заводе отстоит от железной дороги, проходящей че-

рез город В, считая по кратчайшему расстоянию, на а км. Под

каким углом а к железной дороге надо провести шоссе

завода

А,

чтобы доставка грузов \\зАъВ была наиболее дешевой, если

стоимость перевозок по шоссе в два раза дороже, чем по желез-

ной дороге?

Решение. Обозначим стоимость перевоза груза на расстоя-

ние 1км по железной дороге за т руб., тогда стоимость перевоза

аИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ фУНКиИИ

351

ПО

шоссе будет 2т руб. За b км обозначим расстояние от 5 до С

(рис.

7.42). Из треугольника ACD длина шоссе AD=^ км.

sin

Длина железной дороги DB

b-actga

,км.

Отсюда стоимость z перевозки груза с завода А в город В

2та

равна z = hmib-actga).

sin

Рис. 7.42

dz ma(l-2cosa)

Находим производную — = ^^— и приравнива-

ла sin а

1 л

ем ее к нулю

cos а =

О,

cos а =

—,

= — .

Исследуем функ-

цию на экстремум при а

= —

по знаку второй производной:

j2^

2ат (l - cos а +

cos^

а)

^я^

чЪ

>0.

da sin а

Следовательно, функция имеет минимум и, чтобы доставка

груза была наиболее дешевой, то шоссе следует проводить под

углом а

—.

11.13.

Два самолета летят с одинаковой скоростью

V км/ч, в одной плоскости, прямолинейно и под углом

60°

друг

к другу, в некоторый момент один самолет пришел в точку

пересечения линий движения, а второй

не

дошел до нее на а км.

352 Гпава 7

Через сколько времени расстояние между самолетами будет

наименьшим и чему оно равно?

Рис, 7.43

Решение. По условию, когда один самолет был в точке А,

другой был в точке В, отсюда АВ = а (рис. 7.43). За время t са-

молеты пройдут

путь,

соответственно:

АА^

= vt,

ВВ^

= vt. Отсю-

да

АВ^

= АВ -

ВВ^

=a-vt. Пусть расстояние между самолетами

^jSj=5,

тогда по теореме косинусов получим

{{vty-b{a-vty--2vt{a-vt)cos\20y шш S

(vY-Ivt

a^^.

2v^t

—

Найдем производную S = р и приравняем

2(vV-avt

a^y

ее к нулю: 2vt-av

0,t

—. Вторая производная

2v\vY-avt^-a')--{2vh-avf

S = —3 при

= — больше нуля,

2{v^t^-avt

a^y

следовательно, функция имеет минимум.

Наименьшее расстояние между самолетами через

= —-

будет равно

аИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКиИИ 353

5 =

t; —--av—-\-а

л/З

= ^.

11.14.

Стоимость топлива для судна пропорциональна кубу

его скорости. При какой скорости судна общая сумма расходов

на 1км пути будет наименьшей, если при скорости 20 км/ч рас-

ходы на топливо составляют 40 руб.в час, а остальные расходы

270 руб. в час?

Решение. Обозначим стоимость топлива через q, тогда

q = kv^, где к — коэффициент пропорциональности найдем из

условия 40

к-20\ к

0,005

Общая стоимость плавания судна в течение часа в рублях

находится по формуле Q

a-\-q

kv^,

где а

= 270руб. осталь-

ные расходы. Затраты на 1км пути выразятся в виде функции

/ ч б « 2

u{v)

= —

'\'av .

V V

Для нахождения общей наименьшей суммы расходов на 1км

пути вычисляем производную и

=—т+2ки

и приравниваем ее к

нулю 2kv^-a

0, Подставляя числовые значения, получим

t; = 30 км/ч. Вторая производная

2п 540

м"=^+2^=^^^+а01=аОЗ>0,

I? 27000

следовательно, при скорости судна v

30 км/ч общая стоимость

расходов на 1км пути будет наименьшей и составит

«=^+0,005-30" =13,5 руб.

354

Гпавв

7.12. Направление выпуклости кривой.

Точки перегиба

Если кривая расположена в некотором интервале ниже лю-

бой своей касательной, то она назыается выпуклой вверх, а если

кривая расположена выше любой своей касательной, то она на-

зывается выпуклой вниз.

Функция у - f(x) выпукла вверх, если f'{x) <

и выпук-

ла вниз, если f'{x)

О. Если /"(^о) =

в некоторой точке

бесконечна или вовсе не существует и f'\x) меняет знак при

переходе через точку jc^, то график функции в точке х^ имеет

перегиб. Если же f'Xx) сохраняет знак, то перегиба нет.

Чтобы исследовать кривую у = /(х) на направление вы-

пуклости, надо найти вторую производную и приравнять ее к

нулю

/'(х)=0.

Корни этого уравнения, а также возможные точки

разрыва функции и второй производной разбивают область оп-

ределения функции на ряд интервалов. Выпуклость на каждом

из интервалов определяется знаком второй производной.

12.1.

Исследовать на направление выпуклости и найти точ-

ки перегиба кривой: а)

Зх"^

8JC^

+ 6х^ -9;;6) у

х^-х

Решение, а) Функция определена для любого значения х.

Находим

производные:

у=12х^ -24JC^

Н-12Х;

/' = 36JC^

~48JC

+ 12

и приравниваем вторую производную к нулю

(JC-1)

JC— =0.

1 ^ ^^

Корни этого уравнения

jCj

и ^2 =

—

разбивают область опре-

деления функции на три интервала. Определяем методом интер-

валов (рис. 7.44 ) знак г/'' на каждом промежутке.

Поскольку у'' при переходе через эти точки меняет знак, то

в точках

—

и х=1 функция имеет перегибы. На интервалах

аИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИИ 355

]-«^,

—[

И ]1,оо[ кривая выпукла вниз, а на интервале

] —,1

[

выпукла вверх.

Рис. 7.44

б) Найдем вторую производную и приравняем ее к нулю:

i/' = 4x'~l; ^" = 12х'; 12х'=0; х = 0.

При

вторая производная у'

Поскольку вторая

производная при переходе через точкул: = 0 знака не меняет и

при любом значении х положительна, то кривая на всей число-

вой оси направлена выпуклостью вниз.

12.2.

Исследовать направление выпуклости и найти точки

5 2

перегиба кривой: а) у

\^- {х-ЪУ ; б) у

х^ \ъ)

= 1-1

х^

-11.

,5,

,,| „ 10

Решение, а) Находим: У

='z\^'~^)

, У = ,/ . Вторая

3 9л/х-3

производная не существует в точке х =

и не обращается внуль

ни при каких значениях

х.

При переходе через точку х =

вторая

производная меняет знак с минуса на

плюс,

следовательно, точ-

ка (3,1) является точкой перегиба. Поскольку при хе]-оо^З[

j^"

О,

то

этом интервале кривая выпукла

вверх.

При х

] 3,«»[

j^"

О,

следовательно, кривая выпукла вниз.

2 ~

б) Найдем вторую производную: у = —jc^,

// 2 ~ 2

У =""~ -^ ^ ~—77=7

•

Производная у" нигде в нуль не обра-

9 9^х'

356

пава

щается. При х =

вторая производная не существует. При пере-

ходе через точку х =

вторая производная знака не меняет:

/ХО~в)>0, /'(0

в)>0, е>О.При ХЕ]-ОО,СО[ /'<0, сле-

довательно, кривая выпукла вверх на всей числовой оси.

в) Находим точки х, в которых j"=

или не существует:

у = ±3х^, у' = ±6х, где знак плюс соответствует значениям

хе]-ооД[ (хМ<0), аминус—хе]1,оо[ (хМ>0).

Поскольку при

вторая производная

j;"

О,

а при х = 1

не существует, то эти значения х могут быть абсциссами точек

перегиба. Знак

j^"

слева и справа от точек х =

и х =

показан

на

рис.

7.45. Так как ;;" при переходе через точки х =

и х = 1

О 1 ^

Рис. 7А5

меняет знаки, тох = Оих=

— абсциссы точек перегиба. При

хб]-оо,0] У<0 — кривая выпукла вверх, при

Xб]0,1] У

> О

— кривая выпукла вниз, при

хе]1,

оо] /'

< О

—

кривая выпукла вверх. Определяя ординаты точек перегиба

y{Qj)

О,

у(\) = 1, строим кривую (рис. 7.46).

Рис, 7,46

аИффЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИИ 357

7.13. Асимптоты кривой

1°.

Прямая у

— кхЛ-Ь

называется

наклонной асимптотой

для кривой у = f{x) при

jc —>

±оо, если lim {f{x) -

(Ах

Z?)]

= О,

JC-^±oo

Т. е. если расстояние от точки кривой до прямой стремится к

нулю.

Параметры к

b находятся с помощью пределов

/(х)

к = lim и

= lim {f{x) - кх). Если хотя бы один предел

бесконечен, то асимптот нет.

Если lim /(х) = 6, то кривая у = f{x) имеет горизонталь-

ную асимптоту

= b.

Если lim f{x) =

оо ,

то кривая у

f{x) при приближении х

к а будет безгранично приближаться, уходя в бесконечность, к

вертикальной прямой х

а. Прямую х = а называют

вертикаль-

ной асимптотой. Как правило, это точки разрыва.

2°.

Если кривая задана параметрически x==(p[t), y=\i/[t),

то исследуют, нет ли таких значений параметра t, при которых

функции

(p{t),

y^{t) или одна из них обращается в бесконеч-

ность.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y

kx-^b, где

= lim^^ fc = lim(VA(О-Л:ф(0),причем (p{t,)=\i/{t,)=00.

'^'0 (pit

]

'~^'о

Если при V^(/o) = ^5 ф(^о) = с, то кривая имеет вертикаль-

ную асимптоту

= С. Если при

(р(1^) =

оо,

{{/(t^)

= С, то кривая

имеет горизонтальную асимптоту у

С.

3^.

Если кривая задана уравнением р = р{(р) в полярной

системе координат, то, преобразовав уравнение кривой к пара-

метрическому виду по формулам х = pcos(p = p{(p)cos(p,

= р sin ^ = р

(^)sin

ф, ее асимптоты находят по предыдущему

правилу.

358

Гпава

4^.

Если кривая задана уравнением F{x,y) =

(т. е. неяв-

но),

то для отыскания асимптот в ряде случаев удобнее пред-

ставить ее в полярных координатах или перейти к

параметрическому виду.

Для алгебраической кривой ^

с1и^^У^

^Д^

суммирова-

ние идет по всем целым А:и/;(0<А:<«; 0<1<п), наклонная

асимптота у

= кх + Ь

находится подстановкой ее в уравнение

кривой и приравниванием к нулю, в получившемся многочлене

относительно х, коэфициентов при двух старших степенях х.

Из решения этой системы относительно киЬ находим парамет-

ры наклонной асимптоты.

Вертикальная асимптота алгебраической кривой нахо-

дится из приравнивания к нулю коэффициента при старшей

степени

j;.

1 U " ч х^+Зх + б

13.1.

Найти асимптоты кривых: а) у

;

JC-1

sin X

б)

= -у—;в) у =

-1 X

Решение, а) При

функция терпит разрыв, причем

X^+3JC

+ 6 ,. х^+Зх + 6

lim =

-оо,

а Ьт =

оо

То есть прямая х

= 1

является вертикальной асимптотой.

Находим параметры к иЬ наклонной асимптоты

хЧЗх +

, . ,. (х^+Зх

+ 6

к = lim =

= Km

•X

= 4

Следовательно, уравнение наклонной асимптоты имеет

вид у

4. График кривой и асимптоты показаны на рис.

7.47.

ПИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ фУНКиИИ

359

Рис. 7.47

б) Так как lim

вертикальными асимптотами

оо,

то прямые

л:

и х - -1 будут

Так как при

jc —> оо

предел lim f{x) - lim —г— =

О,

то пря-

мая

будет горизонтальной асимптотой.

Поскольку к = lim

О,

то наклонных

^-^±-х(х^ -1)

асимптот нет. График функции

асимптоты показаны на

рис.

7.48.

Рис. 7.48