Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)

Подождите немного. Документ загружается.

380 Гпава 7

х'

2т-\

smx

x-—+—-

... +(-1)"-'^^: +R„

5! (2w-l)! "•

Остаточный член

^2m+l

R =

sm(ex+(2m

\)-)<^

2m+\

" (2m +

l)!

^ ^ '2' (2m + l)!'

T. K. |sina| <

и при «

—> ©о

стремится к нулю независимо от зна-

чениях.

в) Если /(x) = cosx,TO /(0) =

f\x)

= -sinjc = cos

f'\x)

= - cos X = COS

f''\x)

= sin

= cos

|\ /'(0)

fx+2|\

/"(0)

-l;

3|\ /"'(0)

/*"4^) = cos

( ^^

+ n —

/^"40) = cos«

Разложение примет вид

cosjc =

l-—+—~

... +ЫТ——+R„

4! (2m)! "

Остаточный член

i?„ =- —cos(0jc + (2m + 2)—)<

2m+2

" (2m +

2)!

^ ^ '2' (2m + 2)!'

|cosa| <

и при n-^oo стремится к нулю независимо от зна-

чения х.

г) Рассмотрим степенную функцию

х)'",

где

т—любое

вещественное число.

аИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКиИИ 381

Разложим

х)"'

по степеням х, т. е. в окрестности точки

Хо=0

/(х) = (1+хГ, /(1) = 1;

/'(x) = m(l + xr-', /(l) = m;

f\x)

т{т

-1)(1 +

jc)-^,

/"(1) =

т{т

-1);

/'*>(x)

m(w-l) ... (т-к

+ 1)(1

+ ху-\

f'\\)

= m(m-l) ... (m-k + l).

Разложение примет вид

^ ^ 1! 2! п!

где /г„ = "^("^-^>-^"^-">х-(1+вхГ-"-', (О<0<1).

+ l)!

Здесь /?„

—> О

с возрастанием « только при

XG]~1,1[

т. е.

погрешность может быть сколь угодно малой величиной только

для значений из указанного интервала.

д) Находим производные и их значения в точке х =

Ах)

-^, /'(0) = 1;

/Ъ)=—^, /"(0)=-1

•

f"(x)

-^, /"'(0) = 1-2.

+ х)'

/'Ч:с) = --|^, /^Ч4) =

-1-2-3;

\1-т X)

382 Гпава 7

Подставляя

формулу Маклорена, получим

г^ х^ х^ х"

1п(1+^) =

х-^+^-^+

... +(-1Г'^ +

Л„,

2 3 4 п

п +

1[1+вх)

Погрешность вычисления логарифма i?„

—> О

с возрастани-

ем п

только при хе]-1,1],т.

е.

полуоткрытом интервале.

15.2.

Разложить многочлен

х'*

—

2х^

+ х^ +

Зх — 5 по степеням

двучлена х + 2.

Решение.

Введем

обозначение / (х)

х'' —

2х^

х^

+ Зх—5 и

найдем

производные:

/'(х)

4х^-6хЧ2х +

/"(x) = 12x'-12x +

/"'(л:)

24х-12,

/^''Чл:)

= 24,/^"^=0 для п>5. При х = -2 имеем:

/(-2) =

25,

/'(-2)

-57,

Г(-2) =

74,

/'"(-2) =36, Г(-2) =

24.

Отсюда

х"

- 2x4 хЧ Зх -

= 25 - 57(х

+ 2)

+ 37(х

2f -

-10(х

2)Ч(х

2)\

15.3.

Пользуясь формулой Тейлора, разложить функцию

/(х) =

(х^

+ 2х

-1)^

по

степеням х.

Решение.

Находим производные

и их

значения при х =

fix)

2(х' + 2х - 1)(3х' +

2),

/'(0) = -

/"(х) = 2((3х'

2)4

бх"

+12х^ -

6х),

/"(0)

/'"(х)

12(2(3х' +2)х

4хЧ4х-1), /'"(0) = -12;

/'Ч^) = 12(30x48), /'•>(0)=96;

/^Ч^) =

720х,

/^Ч0)

/'Ч^) =

720,

/'Ч0) = 720.

аИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ фУНКиИИ

383

Подставляя значение

/(0) =

1 и

значения производных

фор-

мулу Тейлора при

д:

О,

получим

(X42JC-1)'=1-4X + 4JC'-2JC44JC4JC'.

15.4.

Представить функцию

vx в

виде многочлена четвер-

той степени относительнох-\.

Решение. Находим значения функции

и ее

производных

точке (2=1:

f{x)

x^;

/(1)

f\x)

\x~'; f\\)

1 1

7 -- 117

4 44

444

^'''W

-777T^'^'

/'''(!)

=-777T-

4444 4444

По формуле (1) имеем

л -J п /,- 1\3

<G =

ui(.-l)-ii<izl)l^>-3.7(.-l)'

' 44 2! 4' 3!

ЬЗ-ТПСдг-!)"

•+/г.

где Л„=^^—^(д:-1)';

\л-в{х-\); О<0<1.

15.5.

Написать разложение функции:

а) е"^" до

члена с

х*;

б)

cos

д:

до X*.

Решение,

а)

Пользуясь уже известным разложением (15.1 ,а)

и принимая cos

л:

за

новую переменную, запишем

384 Гпава 7

„„,,

, cos^x cos^jt: cos''x

e""'^ =l + cosx + + + +

0(cos''x).

Так как по формуле (15.1,в) cosx =

l——+—+0(х

), то

окончательно имеем

( 2 4 Л

, X X *

1 +—

2 24

1+—

^ х'^

1-—

V 2,

1-^

2 \ .4

V )

..2\

1--

..2\

1--

24 V

—+—

24 24

/ .2 Х» / .2 V -4 ^

1-^

V 2,

1-^

hHO(x') =

61 ^

65-32x4—х"

-0(хО.

б) Представим логарифм в виде

cos х =

(l + (cos

л:

-1))

и воспользуемся разложением

(15.1

,д),

принимая

cos

х -1 за но-

вую переменную

lncosjc = cosx-l—(cos jc-l)^+-(cos х-1)^+0(х^).

Здесь остаточный член R^ = О(х^), так как бесконечно ма-

лые

и sin

д:

эквивалентны и, следовательно,

cos jc

sin^

—

одного порядка

л:

С другой стороны имеем

cosx

2 24 720

Отсюда

lncosx =

1 4 1

X + X -

720^

2 4 24

аИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКиИИ 385

+ -

8 J ^ ^ 2 12 45 ^ ^•

15.6.

Вычислить

точностью

0,001

приближенные значения

следующих чисел: а) sin

20°;

б) cos

65°

Решение, а) Воспользуемся формулой разложения sin х по

степеням

л:

(15.1,б), подставляя в нее радианную меру угла

х = 20 =

—

180 9

—. -- --3 —.5 2т-\

sin —^ г+—г- ... +(-1Г

^гт^К

9 9 3!9' 5!9' (2т-1)!9'"-^ "*

При определении числа первых членов в данном разложе-

нии, необходимых для обеспечения требуемой точности вычис-

лений, оценим величины последовательных остаточных членов

3 5

Iл |< ^<0,006, IR, |<-^<0,00003.

3!9 5!9

Поскольку

17?21<

10"^,

то для получения требуемой точнос-

ти достаточно взять первые два члена разложения, предшеству-

ющих 7?2

sin- = -—^ =

0,3491-0,0071

0,342

9 9 3!9'

Здесь значения числа

л:

3,14159

и результатов промежу-

точных вычислений взяты

одним лишним знаком, т. е.

точно-

стью до 10"^.

б) Представим функцию cosx по формуле Тейлора в виде

cosjc = cosa + cos

к \х-а ( ^K\{x

—

ал—

+C0S

2 1!

а +

2—

\- —л-

2 2!

386 Гпава 7

I к

+ ... +COS аЛ-п

—

{х-аГ

R - cos

в{х-а)Л-{п

—

+к.

{х-а)"

(«

(О<0<1).

Поскольку

COS а |<

то

л„

р и по мере увеличе-

(п +

1)!

ния числа членов погрешность неограниченно убывает, стремясь

к нулю. Причем чем меньше по абсолютной величине разность

х—а,

тем меньше потребуется первых членов разложения для

обеспечения требуемой точности вычислений.

Пусть а = 60° или в радианной мере а = 60, тогда

х-а

——(65-60) - —, отсюда

180 36

^^^ \ S 71 1л:' л/з л:'

cos65° = ;-+ Г-+

2 2 1!36 2 2!36' 2 3!36^

/?„.

Поскольку

/?^

|< 10^, то для получения требуемой точнос-

ти достаточно взять первые три члена разложения, тогда

cos65°= 0,4221.

Глава 8

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

8.1.

Понятие о функции нескольких

переменных. Область определения

1°.

Если в силу некоторого закона каждой совокупности п

чисел

(х,

j^,Z,

... ,t) из некоторого множества Еставится

соов-

ветствие определенное значение переменной

то и называется

функцией от

переменных x,y,z, ... ,/, определенной на множ-

стве£',

и обозначается

= /(x,y,z, ... ,/).

Переменные x,y,z, ... ,/ называются аргументами функ-

ции, множество Е— областью определения функции.

Частным значением функции называется значение функ-

ции в некоторой точке М^{х^,у^,2^, ... .t^) и обозначается

Областью определения функции

называется множество всех

значений аргументов, которым соответствуют какие-либо дей-

ствительные значения функции.

2°.

Функция двух переменных z = /(х, у) в пространстве

представляется некоторой поверхностью. То есть, когда точка с

388 Гпава 8

координатами х,у пробегает всю область определения функции,

расположенную в плоскости хОу, соответствующая простран-

ственная точка, вообще говоря, описывает поверхность.

Функцию трех переменных и =

/(JC,

у, z) рассматривают

как функцию точки некоторого множества точек трехмерного

пространства. Аналогично, функцию п переменных

и- f{x,y,z, ... ,t) рассматривают как функцию точки некото-

рого

п-мерного

пространства.

Линией уровня функции и - /(х, у) называется совокуп-

ность точек плоскости хОу, в которых функция имеет одинако-

вые значения,

обозначается /(х, у)

С, Различным постоянным

значениям С соответствуют различные линии уровня.

Поверхностью уровня функции и= f{x,y,z) назыается

совокупность точек пространства, в которых функция имеет

одинаковые значения, и обознчается f{x,y,z)

C . Различ-

ным значениям С соответствуют различные поверхности

уровня.

ху

1.1.

Пусть /(х, у)

—

Y •

Найти а) частные значения фун-

X +у

(\ 1^

кции в точках М(1,1); Л^(3,~4); б)/(х-1,х

1),

/ —, —

Решение, а) Чтобы найти частные значения функции

/(х,

у) в точках М и N, необходимо подставить координаты

этих точек в выражение функции. Тогда частное значение фун-

кции в точке М будет /(1,1) =

-^—j-

—,

а в точке Л'^ будет

ЗЧ(-4)'

б) Чтобы найти требуемые значения функций, необходимо

переменным

x,j^

присвоить значения х-1, х

+1,

соответствен-

аИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

389

11 ^ ^

НО,

в первом случае и —, во втором. Тогда будем иметь

У X

f(x-l,x

l) =

(х-\)(х+1)

х'-\

{x-iy+ix

\y 2(jc'+l)'

1 1

y'x

ух

lY ^ +/

'y ^

-,x-y

yX J

= x -y

1.2. Найти f{x,y^, если a) /

6) f{^x'^y,lx-y)

xy.

Решение, a) Обозначим

=—, v

x-y. Разрешая эти

V UV

уравнения относительно х,у, будем иметь х

, у

1—ы 1—«

Представим заданную функцию через новые переменные

f(",v) =

«V _v'(\-u') _v\l

(\-иУ (l-uf (l-uf 1-м

Если переименовать переменные u,v в х,у, то получим

2х

у, v

2x-y. Откуда

Пх,у)

\^/

б)

\-х-

Обозначим

К ^ 1/ ч

Запишем заданную функцию через новые переменные

f{u,v)

l(u'-v').

Если переименовать переменные u,v в х,у, будем иметь

f{x,y)

Ux'-y').