Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)

Подождите немного. Документ загружается.

410 Гпава 8

^ ^ ,2 dx^ Idxdy xdy^

Таким образом, J z = h у-.

X у у

б) в данном случае функция трех переменных. Пользуясь

формулой

(4),

запишем дифференциал второго порядка

d^u=—-dx

+—-dy

+—г-J

z +

Эх' Э/ az'

+2 dxay-\-2 axdz

z ayaz

дхду dxdz dydz

Найдем частные производные второго порядка

ди ^, ди ^,, ди ^у,

— = yze^ , — = xze^ , — = хуе'

дх ду dz '

дх' '' ' ' ду' ' ' ' ду'

д'и , о. „,. д'и

= (z

xyz')e^\ ^

xy'z)e''-^

{x^xyz)e^

дхду дхд:

д'и

dydz

Отсюда имеем

d'u

е"^'

{{yzdxf + {xzdyf + {xydzf +

+(z

xyz' )dxdy +

(jK +

xy'z)dxdz

x'yz)dydz).

в) Воспользуемся формулой

(2).

Найдем частные производ-

ные третьего порядка

dz ^ . dz ^ d'z ^ .

—

е sin;;, —

cosj;,

—-

е smy

дх ду дх '

d'z . Э-z _ Э'

^ cosjv, —1~~^

sinj;,

—j = e

sinj^^

дхду ду дх

аИффЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ фУНКиИЙ 411

d'z

. a'z . . э'

дх ду дхду ду

Окончательно получим

d^z

е""

sin ydx^ +

Зе""

cos

ydx^dy -

Зе""

sin ydxdy^ -

-e""

cos

j^tfy^

e""

(sin

j^fltc^

3 cos

ydx^dy -

sin ydxdy^ -

cos

>^(i>^^).

8.6. Дифференцирование сложных функций

1°.

Функция вида z = /(w,t;,...,w) называется

слолсной

фун-

кцией от независимх переменных х,у, ... , ^ если она задана по-

средством промежуточных аргументов: и =u(x,y,...,t),

v(x,y,.„,t), ... , w=w(x,y,...,t).

Частная производная сложной функции по независимой пе-

ременной равна сумме произведений ее частных производных

по промежуточным аргументам на частные производные от этих

аргументов по независимой переменной

dz _ dz

ды

dz dv dz dw

дх ды дх dv дх dw дх

dz _ dz ди dz dv dz dw

dy du dy dv dy dw dy

dz du dz dv dz dw

dt du dt dv dt '" dw dt '

Если

все

промежуточные аргументы будут функциями толь-

ко одной независимой переменной и

и{х), v

v(x),

w =

w{x),

то

будет функцией только х

производная такой сложной фун-

кции называется полной производной

412 Г пава 8

dz _ dz du dz dv dz dw

dx du dx dv dx dw dx

Если функция z вида z = /(x,w,t;,...,w), где u,v, ,„,w —

функции только

то полная производная определяется по фор-

муле

dz _ dz dz du dz dv dz dw

dx dx du dx dv dx dw dx

2°.

Если функция z = f{u,v,...,w) сложная, то дифферен-

циал первого порядка сохраняет свой вид (свойство инвари-

антности формы первого дифференциала) и находится по

формуле

. dz . dz . dz .

—-du

+—dv-\-

... +—-aw, (4)

du dv dw

Дифференциал 2-го порядка от сложной функции находит-

ся по формуле

d'z =

d d

—du

+—dv+

... +—dw

ydu dv dw J

dz ,2 dz ,2 ^z ,2

+ --^

+—d\л• ... +—d^w, (5)

du dv dw

6.1.

Найти производные сложных функций:

а) z

yju^+v^,

= cosx,

= sinjc; б) z=j^\ny, x=2u+3v, y

= —;

в) u=xyz, x

lnt, y

l-\-t^,

smt; r) z=xlnwsmu,

= cosx,

x^ -\.

Решение, a) Поскольку промежуточные аргументы u,v яв-

ляются функциями только одной независимой переменной х, то

производную находим по формуле (2)

аИффЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИЙ 41^

dz и . V . .

= 1 sin X + . cos

= - cos JC sin X + sin X

COS

X = 0

6) Промежуточные аргументы

x,y

являются функциями двух

независимых аргументов u.v.B этом случае формулы (1) примут

вид

dz _ dz дх dz ду

ди дх ди ду ди '

dz дх dz ду

dv дх dv ду dv '

Отсюда

—

Зх^\пу-2

+ =

6(2и

ЗиУ\п-

- —•

ди у V V и '

dz ^ 21 ^ X

dv у

V ^Л -. /-. .-лз

V "%

= 9{2u-h3vyin—- ^

V V

в) функция и зависит от трех промежуточных аргументов,

которые в свою очередь зависят только от одной независимой

переменной, поэтому по формуле (2)

—

yz-

xz2t

xycost

sin/ +

2/ln^sin

/ +

+ / jln^cosi

dt t t

r) Здесь независимая переменная x явно входит в выраже-

ние функции, поэтому воспользуемся формулой (3)

dz . . -^ • / • ч , ^

— =

In W

sin

+—sin

v(- sm x)-\-xmu

cos

v-2x =

dx и

cos

jc •

sin(jc^ -1) - sin(x^ ~

2x^

In cos

•

cos(x^ -1).

6.2.Найти

dz и ^^2,если z

f{u,v\ M=sin(xy), u = ln—.

Решение. При нахождении дифференциала 1 -го порядка вос-

пользуемся формулой

(4),

где

414

Гпава 8

du= — dx-\ dy

у cos(xy)dx

x cos(xy)dy;

dx dy

, dv . dv , dx dy

dv- —

rfx

+—dy

—

dx Ъу X у '

Тогда

fXy co^{xy)dx

X cos{xy)dy) + /1

,( dx dy I

При вычислении дифференциала 2-го порядка по формуле

(5) найдем сначала d^u и d^v

'•

д'и

d^u

-—r-dx^+1- dxdy-^—^dy =

ах ахау ау

= -у^ s\n{xy)dx^ - 2ху

%\n{xy)dxdy

х^

s\n{xy)dy^

d'v d'v d'v

dx" dy^

d^v

—-rdx^ +2- dxdy

—jdy = r-+

2 • 2

x у

дх^ Ъхду '' Ъу^

Таким образом,

^^^ =

f'uuiy

cos(xy) Jx

X co%{xy)dyf + 2f"^{y

zo%{xy)dx

+xcos(xy)(3(y)

dx dy

X у

+ Г

dx dy

X у )

-f^sm(xy)iydx+xdyf +/;!

•

ful

cos'

(xy){ydx

xdyf

2f"^ ZQb{xy){ydx+xdy)

^dx__dy^

X у

[x у

- fu^HxyXydx

xdyf

^dy^_dx^^

ПИффЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИЙ 415^

8Л.

Дифференцирование неявных

и параметрически заданных функций

1°.

Неявной функцией

от

нескольких независимых перемен-

ных

х,у, ... ,t

называется переменная z, если она задана уравне-

нием

F(x,j^,

... ,

О, которое не разрешено относительно

Первый способ. Частные производные неявной функции

заданной уравнением F(x,>',

... , t,z)

= Q,TjxtF—дифференци-

руемая функция переменных

{х,у, ... ,t

,z),

определяются по фор-

мулам

dF_

^ ар

дх 3F' Э;; Э^' •*• ' Э/ 3F ^'^

dz dz dz

при условии, что —- ^ о .

Второй способ. Дифференцируя уравнение

F{x,y,

... ,

^,z)

будем иметь

^ dF ^ dF ^ dF ^ ^

—

+—dy

,..

+—dt

+—dz

= 0,

дх

ду dt dz

Находя отсюда

dz и

сравнивая

формулой

, dz , dz ,

= —dx

+—dy

,„ +

—

dy dt '

находим соответствующие частные производные.

2°.

Если неявная функция

задана уравнением

F(x, у)

где F—дифференцируемая функция переменных

j^,

то

произ-

водная неявной функции будет

(2)

416

Гпава 8

Производные высших порядков вычисляются последова-

тельным дифференцированием формулы (2).

3°.

Пусть неявные функции и =u(x,y,z) и v

v{x,y,z) за-

даны системой уравнений

\F^{u,v,x,y,z)

\F^(u,v,x,y,z)=:0,

Первый

способ.

Если якобиан

D{u,v)

\щ

\ ди

\dF,

ди

dFA

Э^2

^0,

ди dv

то частные производные

-г—

и тг- находятся из системы

Эх ах

Э/^ дК ди дК dv

ди дх dv дх

ЭК ди дГ, dv

—-

—-—+—^—

дх ди дх dv дх

дх

дК

= 0;

(3)

ди dv du dv

Частные производные —,— и —-,-— определяются ана-

Э^' Э;; dz dz

логично.

Второй

способ.

Дифференцируя заданные уравнения, на-

ходим два уравнения, связывающие дифференциалы всех пяти

переменных. Решая полученную систему относительно du,dv и

сравнивая эти выражения

полными дифференциалами

du , du , du ,

=—dx-i

dy'\ dz;

dx dy dz

dv , dv , dv J

— dx

—

dy-\

dz,

dx dy dz

аИффЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИЙ

417

находим искомые частные производные.

4°.

Пусть функция

от

переменных

х,у

задана параметри-

чески уравнениями

jc(w,

v)^

у =

y{u^v)^

z -

z(u,

v).

Первый

способ.

Для нахождения частных производных

—

составим дифференцированием систему

ду

Эх , дх .

ах

—аи-\

av;

ди

—du

— dv;

ди

3z , 3z ,

—awH

dv.

ди

Если якобиан

дх

D{u,v)

дх

ди

\Эу

ди

дх

^0,

то решая первые

два

уравнения относительно du,dv

подстав-

ляя их

третье, из сравнения полученного выражения с полным

дифференциалом

=—dx

+—dy,

находим частные производ-

дх

ду

ные

т— и —.

Второй

способ.

Дифференцируем сначала первые два урав-

нения по

и,

из

получившейся системы, находим

-г- и zr-. Да-

дх

ох

лее,

дифференцируем первые

два

уравнения

по у и, из

получившейся системы, находим

тг- и

—-. Затем, дифференци-

оу

ду

418 Гпава 8

руя третье уравнение по

и подставляя туда ранее найден-

dz dz

ные частные производные от u,v по х,у, находим — и -- .

ох ду

7.1.

Найти частные производные: а) х^ -\-у^ -\-z^ -t^ =0',

б) z^ -xyz^la^.

Решение, а) Функция z задана неявно. Полагая

F(jc,y,zj) = x^ +у^ +z^-t^, по формулам (1) имеем

^^2х' —

2у' — = 2z- — = ~2Г

Эх Эу dz dt

dz _ X 3z _ у dz _ t

дх z ду z dt z

С другой стороны, дифференцируя данное уравнение, бу-

дем иметь 2xdx

2ydy + 2zJz - 2tdt = О.

Находим отсюда dz, т. е. полный дифференциал неявной

функции

tdt-xdx-ydy t , X , у ,

Jz = -LJL^^dt dx- — dy,

z z z z

Сравнивая с формулой полного дифференциала

, 3z , dz J dz J

dz = — ox + — dy

~~dt,

dx dy dt

окончательно получим

dz _ X 3z _ у

dz _t

dx z' Эу z' dt z

6) Полагая F(x,y,z)=z^-xyz-2a^=0, находим частные про-

изводные

dF dF dF ^ 2

— = -yz, — =

—xz,

= 3z -xy .

dx dy dz

аИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИЙ

419

Отсюда по формулам (1) получим

3z _ У^ 3z _

Эх 3z^-jcy' Ъу

Второй метод. Дифференцируем

Zz^dz - yzdx

—

xzdy - xydz

—

О.

Находим дифференциал

—yzdx

- xzdy yz

— -

3z -xy

dx--

-dy.

3z^

- xy 3z^ - xy 3z^ - xy

Сравнивая с полным дифференциалом функции от двух пе-

ременных, получим

dz _ У^ 3z _ xz

дх 3z^—xy ду 3z^—xy*

dy d^y d'y

7.2.

+ In у , найти —"; ~гт

'•>

~ТТ и дифференциал dy.

dx dx dx

Решение. Пусть F{x, у)^у —

х-\пу

0. Находим частные

у-\

др , aF , 1

производные — =

—1;

— =

—

Эх ду у

получим

-1

—

•.

Отсюда по формуле (2)

Вторую производную находим дифференцированием первой

производной по

учитывая, что^ есть функция

d^y _ d

dx^ dx

y-\)

y\y-\)-yy

(7-ir

Аналогично, третья производная

d'y d(d'y\ у\у-\)-Ъуу' y{\ + 2y)

dx dx

dx^

{y-^^Y

(>'-!)'