Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)
Подождите немного. Документ загружается.
400 Гпава
8
Полным дифференциалом функции называется главная
часть полного приращения, линейная относительно приращений
Дх,Ау.
Полный дифференциал
от
функции
z
равен сумме
ее
част-
ных дифференциаловд.
е.
dz
=
—dx +—dy. (4)
Эх
Эу
В случае функции многих переменных
w
= /
(х,,^2,
... ,х„)
полный дифференциал определяется по формуле
,
3w , 3i/ , ди ,
du=—-dx^+——dx^-^
... +-—dx^, (5)
dXi
0X2 ox^
3°.
При достаточно малых приращениях независимых пере-
менных, полное приращение функции приблизительно равно
ее
полному дифференциалу Au^du.
Это
равенство используется
для приближенного вычисления значения функции
в
точке
М(х,
>^,...,
z), если проще найти значения функции
и
ее частных
производных
в
достаточно близкой точке М^(х^,у^,
...
,
ZQ)
и{М)^
u(M^)
+
u[{M^)dx
+
u^{M^)dy-^,..W^{M^)dz,
(6)
гдех-Хо=^х, y-yQ=dy,
.., ,
z-z^^dz.
4.1.
Найти частные дифференциалы:
а) z
=
^x^+y;
6)w=ln(x4/~2z').
Решение,
а)
Находим частные производные
3z
_ 2х 3z _ 1
аИффЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКиИЙ
401
Умножая на соответствующие дифференциалы аргументов,
получим
, Ixdx - dy
б) Функция трех переменных. Находим частные производ-
ные
ди
2х
ди
2у
ди
4z
дх x4/~2z'' ду jc4/-2z'' dz x4/-2z'*
Отсюда, частные дифференциалы
2xdx , 2ydy , 4zdz
du =
(i,.w:
dM
—
—
2 , 2 '-i 2 ' v*^ 2 , 2 n 2 ' г'^ 2 , 2 о 2 •
X Л-у -Iz X Л-у -2z X ^-у -2z
4.2.
Найти полный дифференциал функции:
а) z = arctg^^-^; б)
и^х''.
\Л-ху
Решение, а) Находим частные производные
dz _ 1 \
+
ху-'{х-у)у _
1
+ У
дх
1
+
^х-у^'
1
+ jcy
az
(1
+ ху)'
1
+ х'-ху + /'
1
+
l + xy
(1
+
ху)^
l + jc^-xy + /
Полный дифференциал находим по формуле (4)
(1
+ /)^^-(1 + х')ф;
dz
—
1 +
x^-jcy
+
y
б) Находим частные производные
ди
дх
= fx'"-\
ди г . ^_1 ди .,-, 2,
^—=
x^
In X'zy —=:jc^ Injcy ln>;
dy ' dz
402
Гпава 8
Отсюда, полный дифференциал
du = у^х^
~^dx
+
х^~
y^'^z
In
xdy
+
х^ у^
In
х
In
ydz =
=
fx-'-
dx zlnx
— +
X у
dy
+
\nx\nydz
4.3.
При помощи полного дифференциала вычислить при-
ближенно: а) ln(VW + VW -1); б) (1,02)'
•
(0,98)'
•
(2,03)'.
Решение, а) Рассмотрим функцию z
=
lnl^Jx+
^у-l).
Тре-
буется найти значение функции
в
точке
М(0,97;1,04).
Однако про-
ще
найти значение функции в вспомогательной точке М^
(1;
1).
Найдем сначала дифференциалы аргументов
Jjc = x-Xo=0,97"l =
-0,03,
J); =
J;-J;Q
=1,04-1 = 0,04 и вос-
пользуемся формулой (6)
1
z(M)=^z{M,)
+
4b'
V^+VJ^-1
dx-{-
3^7
^+^-1
м„
dy
м„
ln(^^+',llM-l)
=
\n(fl
+
fl-l)+ "^f
(-0,03)
+
1
+
3^0,04
=
-МЗД
=
о,32б
VT+Vi-i 4 3'-
6) Требуется найти значение функции и
=
x^y^z^ в точке
М(1,02;
0,98; 2,03). Пусть М^ (I
;1 ;2)
будет вспомогательной точ-
кой. Найдем дифференциалы аргументов t/x = jc-Xo =0,02;
(iy =
>^->^о
= -0,02; t/z =
2
-
ZQ
= 0,03 и воспользуемся форму-
лой (6)
аИффЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКиИЙ
403
и{М)-и{М^)Л-
ды
дх
ди
dx-\-
—
ди
dy
+
—
dz
Mr,
=
1'1'2' +
4
•
1'1'2'
•
0,02 +
3 •
1'1'2'
(-0,02)
+
2 •
l'l'2
•
0,03
=
=
4 +
0,16-0,24 + 0,12
= 4,04.
4.4.
Стороны прямоугольного параллелепипда равны:
а =
2 см, b
=
3 см, с = 6
см. Найти приближенно величину изме-
нения длины диагонали паралллепипеда, если
а
увеличивается
на 3
мм, b — на 1мм, а с
уменьшается
на 2 мм.
Решение. Диагональ параллелепипеда равна
а
+Ь +с =
7
.
Изменение длины заменим приближенно
дифференциалом
2ada 2bdb 2cdc
Al-dl=
,
=•
+ -
^а'+Ь^+г ^a^+b'+c^ ^Ja^+b^+c^
=
, ^
^{ada+bdb+cdc)=
^
=(2»0,3+30,l+6(-2))
=
= |(-0,3)
=
-0,0857,
T.
e.
длина уменьшилась
на
0,857мм.
4.5. Дана функция
z
=
4xy
+
5x-2y
и две
точки ^4(1;3),
5(1,04;2,97). Требуется:
а) вычислить приближенное значение функции в точке
В;
б) вычислить точное значение функции в точке
В
и оценить
в процентах относительную погрешность, возникающую при
за-
мене приращения функции дифференциалом.
Решение,
а)
Формула
(6) для
нашего случая примет
вид
z{B)
= z(^)
+
z;
{A)dx +
z;
(A)dy .
Найдем: z(l;3)
=
4b3 + 51-2-3
=
ll; z^ =4>^+5, z;(l;3)
=
17.
404 Гпава 8
z\=4x-2,
z;(l;3)
= 2, t/x = x~Xo =
1,04-1
= 0,04, dy
=
y-y^ =
=
2,97-3
=
-0,03.
Отсюда приближенное значение функции в точке В
z{B) -11
+
17-
0,04
+
2(^0,03) = 11,62.
б) Найдем точное значение функции в точке В
z(5) = 41,04-2,97 + 51,04-2-2,97=: 11,6152.
Если а есть приближенное значение числа
а"",
то относи-
тельная погрешность S определяется по формуле 8 =
111,61-11,62
а -а
а
Таким образом, 5 =
11,62
= 0,00086.
Принимая приближенное число
11,62
за 100 %, находим, что
относительная погрешность в процентах равна 0,007%.
8.5. Частные производные
и дифференциалы высших порядков
1^.
Частные производные первого порядка от функции мно-
гих переменных и = /(х,
j,...,0
обычно зависят от тех же пере-
менных и их можно еще раз дифференцировать.
Частными производными второго порядка называются ча-
стные производные от частных производных первого порядка
дхудх
д (
ди
ду ду
\ •" J
д'и
ду
Эх
дх
ди
дхду
д'и
дудх
=
w,.
Смешанные частные производные, отличающиеся только
последовательностью дифференцирования, равны между собой,
если они непрерывны, т. е.
аИффЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИЙ
405
ъ\
ъ\
ЪхЪу ЭуЭх
*
Частными производными третьего порядка называются ча-
стные производные от частных производных второго порядка
v^-%
ох ОХ
( :^2.. Л
хху '
///
2 "~ ^хуу '
Частные производные других высших порядков определя-
ются аналогично.
2^.
Дифференциалом второго порядка от функции двух не-
зависимых переменных и - f{x,y) называется дифференциал от
ее полного дифференциала
d{du)^d^u\
Э и , 2 г.^ и , J д и
-z-rdx
л-2—-—ах(1у
+ -—г
ох охоу оу
(1)
Аналогично определяется дифференциал третьего порядка
d{d\)
=
d'u\
дх охоу охоу оу
в общем слчае для дифференциалов высших порядков спра-
ведлива символическая формула
d^'u
Y
—dx-\ dy
удх
ду )
(3)
где сначала выражение в скобках формально возводится в сте-
пень п, а затем при символе Э" подписывается и.
406 Гпава 8
В многомерном случае и
=
/(XpXj,...,
jc^)
имеет место ана-
логичная символическая формула
d"u
(4)
5.1.
Найти частные производные второго порядка
а) z
=
\n(x^
-^у^);
б) u=xy
+
yz
+
zx.
Решение, а) Найдем частные производные первого порядка
dz _ 2х 3z __ 2у
дх х^ Л-у^' Ъу х^ +
у^
Отсюда вторые частные производные
a'z_2(jc4/)-2jc-2x_ /-jc'
Эх' (хЧ/)' (jc'+/)''
Э'2^2(хЧ/)^4/^2(х'-/)
Э/ (хЧ/)' (^Ч/)^'
3'z _ 4ху 3^2 _ 4х>;
ЭуЭх (х' +/)'' ЭхЭу (х' +/)''•
Последние два выражения наглядно доказывают, что сме-
шанные производные не зависят от порядка дифференцирова-
ния.
б) Находим сначала частные производные первого порядка
Ъи ди ди
—
=
y
+
z; — = x +
z;
—
=
у
+
х
Эх Э^ 3z
Отсюда частные производные второго порядка
^^^_л.
^^"-«л.
^^"_п-
^^" -1- ^^" -1- ^^" -1
Эх' ' ду^ ' dz^ ' ЭхЭ>^ ' dxdz dydz
аИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ фУНКиИЙ 407
5.2.
Найти: а) ^ ^ ^ , если z
=
cos(jcy); б) ::;^ :^ :::^-, если
-—у, если z = cos(xy); б) - _ :^
охау dxayoz
и
=
(xyzf.
Решение, а) Поскольку смешанная производная не зависит
от порядка дифференцирования, то последовательно дифферен-
цируя, получим
dz /л 9^z ^ / ч
—-
= -xsin(xy); ——= -х cos(xy);
ду ду
d^z
г-
= - (2
JC
cos(jcy) - х^у sin(xy)) =
х^у
sin(xy) ~ 2х cos(xy)
дхду
б) Функция от трех независимых переменных. Смешанная
производная по переменым будет
——
=
3
(xyz^ ху = 3x^y^z^
dz
=
9x'y'z\ ^i^i_
=
27xVV,
dydz ' dxdydz
5.3.
Найти: a)
z'^XO;l);
6) <;(0;1), если z =
г^
^
Решение, a) Требуется найти значение частной производной
третьего порядка в точке (0,1). Находим сначала частную про-
изводную
z'y
=
х^е""
^,
z;; = 2хе''' + x^e'^'^lxy
= 2х(1
+ х'у)е'''',
С = 4x^(1 + х'у)е''' +
(2
+ 6х'у)е'''.
Отсюда
z;;;^^(0,l)
= 2.
б) Используя результат предыдущего примера
z^'^,
находим
z'^y
=
Ix^e""^^'
+ 2х{\ + х^у)х^е'''^. Отсюда значение производной в
точке ^rw(0;l) = 0.
408 Гпава 8
5.4. Показать, что функции удовлетворяют уравнениям:
а)
w
= ^sinAxcosaA/,
w
=
^-^^^("'^">,
—^^а-^\ б) z = e"^
Эг Эх
J^ 2 Э Z 2 Э
Z
—- =
У4Я
COS
ЯХ
COS
аЯ^ —- = -А}} sin Ях cos aXt.
Решение, а) Найдем частные производные второго порядка
от первой функции
—~
= -AcL^ sin Ях sin aXt, —-- = -AiaXf sin
Ях
cos aXt,
Э/ Э/'
— = AX cos
Ях
cos
aXt^
—-
Эх Эх
Подставляя вторые производные в уравнение, получим
-Аа^}} sin
Ях cos aXt
=
—Aci^}^
sin
Ях cos aXt •>
что и требовалось доказать.
Найдем теперь частные производные от второй функции
^ = «sin(a^ +
xK^°^^^'"^\
Э^
~
=
(а' cos(at
+
х)
+
а' sin' (at +
х))^-^^^^'''"^^,
dt
— = sin(fl/ +
xK^^^^^'"^\
Эх
^ = (cos(fl/ + x) + sin' (at +
x))e-^°^^"'^"^.
Эх
Подставляя вторые производные в уравнение, получим
а^
(cosiat + х) + sin' (at +
х))^-'"^^^'^"^
=
= а' (cos(a^ + х) + sin' (at +
х))^-''^^"'^"^.
что и требовалось доказать.
б) Находим вторые частные производные от функции
аИФФЕРЕНиИАПЬНОВ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИЙ
409
3z ,
э^
Z 2 XV ^2 X
Э^2
= jcV.
Эх '' ' Эх^ "^ ' Эу ' Эу^
Подставляя вторые частные производные в уравнение, по-
лучим
у^у^е^^'
-у^х^е'^' =
О,
что и требовалось проверить.
У
Найдем вторые частные производные для z
=
у.—
dz
Эх 2^
1 fy"^
yXj
2
ty\
yX J
Э^^З
Эх'~4
уХ J
У
dz__l
ду~ 2
^f
d'z _3 1
(хуГ
Подставляя вторые частные производные в уравнение, по-
лучим
3/"
х^-
^4-/
1
4 i
(хуУ
3 у^ 3 у^
= 0
±1^-±У^=о
что
И
требовалось проверить.
У
5.5. Найти: а) d z•, если z
=
xln
— ;
б) J w, если и
=
е^;
X
в) (i^z , если
Z =
е''
siny.
Решение, а) При нахождении дифференциала второго по-
рядка воспользуемся формулой (1). Для этого найдем частные
производные второго порядка
d'z 1
^ = ln^-l;
дх X
dz
d'z_ 1
дх^ X
X d^z
дхду у
ду у' Эу^
У