Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)

Подождите немного. Документ загружается.

430

Гпава 8

(l-sin'O

1 d у sin/ (fy

cos / dt cos t dt

sin/ dy

cost dt

= 0.

dt'

-\-у

dy d\

8.2. Преобразавать уравнение

———г

= 3

'd'y'^'

y<^ ,

,приняв у

dx dx^

за аргумент, a

за функцию.

Решение. Выразим производные от

по

л:

через производ-

ные от

по

ф___1_

d^y _ d

dx dx^' dx^ dx

d'x

dy' 1

(Ту)

r^\'dx

ydy^

d^^x

( dx\

{ \

dy_

d'y _ d

dx* dx

dx'

V )

dy\

d'x

dy'

(dx'

[dy]

d X dx

dy _ dy dy

-3

' d X ^

dy'

^dx"^

^dy^

'dy

Подставляя эти производные в данное уравнение, будем

иметь

d^x dx

'dy^'dy

•3

dy'

d^x dx

= 0.

аИффЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИЙ 431

Так как обратная производная существует

— ^

О,

то урав-

d'x _

нение окончательно примет вид —-

О.

8.3.

Преобразовать к полярным координатам уравнение

dy _х + у

dx х-у'

Решение. Полярные координаты связаны

декартовыми

формулами: х

cos(jO,

= р sin^ . Рассматривая р как фун-

кцию

(р

, дифференциалы dx.dy примут вид:

dx = cos(pdр -рsin(pdcp , dy = sincpdр-h рcos(pd(p , откуда

s\n(p-^—

+ pcoscp

dy _ smcpdp +

pcoscpdcp

_ dcp

dx ~ coscpdp-psmcpdcp ~ cos(p^-psin(p

d(p

Подставляя в данное уравнение х, у, -^^, выраженные че-

рез новые переменные р,

(р ,

получим

sm(p—^+ pcoscp

d(p _ pcoscp -f p

sin(p

^..cr^^P ^c.\^.^ pcoscp-psincp ,

coscp—^—psinep t^ ^ r ^

dcp

cos^cp

sin^cp

+ cosV

dcp coscp-sincp cos^-sin^

Таким образом, —^ = p .

dcp

8.4. Преобразовать уравнение x \-y г = 0, перейдя

Эх ду

к новым независимым переменным u,v, если и

х, v

—.

432 Г пава 8

Решение. Выразим частные производные от z по х,у ^lepes

частные производные от z по и,v. Воспользуемся формулами

дифференцирования сложных функций

Ъх да дх dv дх ' ^У ^и ду dv ду '

_ ди ^ да ^ dv у dv \

Таккак-- =

—-

= 0, ^—= -^,—-= -, то

дх ду дх X ду х

dz _дг у dz dz _\ dz

дх да х^ dv' ду X dv

Подставляя найденные производные в данное уравнение и

выражая х,у через u,v, будем иметь

dz dz dz ^ ^^ А

—

+ V

2 = 0 или и-—z

du dv dv да

d'z , d'z d'z ,

8.5. Преобразовать уравнение —у ~ 2

———f-

-—j - ^, при-

дх дхду ду

няв за новые независимые переменные и=^х

у, у=-~,аза но-

вую функцию

= —.

Решение. Выразим частные производные от z по х,у через

частные производные от

и;

по w,t;. Для этого найдем дифферен-

циалы данных выражений:

xdy-ydx , xdz

—

zdx

dx-^-dy, dv =

—-—r^—,

dw = z .

x x

С другой стороны дифференциал dw как от функции двух

, 3w , dw J

переменных u,v равен dw = —du

-\-——dv

du dv

Отсюда

dw , dw , dz z ,

—du

+—dv

-dx

du dv XX

аИффЕРВНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИЙ

433

или

— (dx

dy)

—' -^ -^

\dx =

Разрешим это выражение относительно dz

(fdw у dw z Л ,

ди x^ dv ''^

dw I dw\

du X dv

Таким образом,

dz dw dw

= X V hW,

dx du dv

8.6. Преобразовать уравнение

dz _ dw dw

dy du dv '

d^u d^u d^u

dz'

= 0, перей-

dx" dy^

ДЯ

к сферическим координатам.

Решение. Сферические координаты связаны с декартовы-

ми формулами

= р sin 0

cos

(р,

j = р sin 0 sin ^, z = р cos в .

Преобразование можно провести

два приема, полагая сна-

чала x = rcos^,

= ''sin^ (считая z неизменным), затем

COS0,

г = р sin0 (считая

(р

неизменной).

Преобразуем сначала выражение

d^u d'u

dx' dy'

ся формулами дифференцирования сложных функций

Воспользуем-

du _ du dx du dy

dr dx dr dy dr

тогда

du du

—^

= cos^ hsm^ —

dr dx dy '

du _ du dx du dy

d(p dx d(p dy

d(p

du du du

= -rsm(p-z—

rcos(pz—

d(p dx dy

Решая эту систему относительно

du du

dx' dy

,получим

434 Гпава

ди

sin© ди

—

= cos(p

——.

Эх

дг г д(р

ди

. ди

cosfl) ди

—

sm(p —

——.

ду

дг г дер

(*)

Вторые частные производные равны

дх'

sincp

д ^

д'и

д_(диЛ

дх

ydXj

cos(p

дг

ди sincp ди

дг

г д(р

д(р

ди

sincp

ди

coscp

——

дг

г дер

д^и

sin (2)

cos ф

д^и

COS

(р-г-г

^т-г—+

дг'

дгд(р

sin^

(р

д'и

sin

(р cos (р

ди sin^ ф ди

г'

дер'

д'и

д(ди^

ду'

ду

coscp

д ^

[By)

= sm(p

дг

д(р

дг

ди cos(p ди

smcp

дг

дер

д(р

ди

coscp

ди

sm^—

——

дг

г дер

2 д'и

2 sin

ф cos ф

д'и

•sm (р-г-г + —^

^ +

дг'

дгдср

cos^

ф д'и

sin

ф cos ф

ди cos^ ф ди

дер'

д(р

дг

д'и д'и д'и д'и д'и 1 д'и

1 ди

Отсюда

1 1 = 1 1 1 .

дх'

д/ dz' dz' дг'

г'дср'

гдг

Учитывая, что z

cos

г = р sin 0, первые два члена в

правой части последнего выражения могут быть записаны ана-

логично

д'и э^_э^ _Li!^

dz''^dr'~dp'^

р'дв'^

рдр'

Производная —-, аналогично (*), примет вид

дг

ди

_ . ди

дг

др

cos

в ди

дв'

аИффЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЫИЙ 435

Таким образом, окончательно получим

д^и д^и д^и _ д^и 1 д^и 1 д^и 2 ди ctg0 ди

8.9. Экстремум функции

1°.

Экстремумом функции называется максимум или мини-

мум

функции.

Функция

двух

независимых переменных z

f{x,y)

в точке М^(х^,у^) имеет максимум (минимум), если значение

функции

этой точке больше (меньше)

ее

значений

любой точке

М{х,у),

расположенной в окрестности точки М^, т. е.

/(MQ) > /(М)

(/(MQ)

< f{M)), для всех точек М, удовлетворя-

ющих условию

MQM

где £>0 —достаточно малое число.

Необходимое условие

экстремума.

Если дифференцируемая

функция

Z =

f(x, у) имеет экстремум

точке М^ (XQ

ТО

ЭТОЙ

точке

ее

частные производные первого порядка равны нулю

^/(^О^Уо)

^Q. ^Я^О^Уо) ^Q (1)

дх ' ду

Точки, в которых выполняются условия (1), называются

стационарными точками функции, однако не в каждой стацио-

нарной точке функция имеет экстремум.

Достаточные условия экстремума. Пусть MQix^.y^) —

стационарная точка функции z = /(jc, у), причем функция дваж-

ды дифференцируема и имеет непрерывные вторые частные про-

изводные в точке

Обозначим

^^^^'/(хр^Уо).

g^^'fj^o^yo), ^^^VOwO. (2)

дх^ ' дхду ' ду^

и/)

^С-5'.Тогда:

436

Гпава

если

О,

то функция z = f{x, у) в точке М^

{х^,

у^) име-

ет экстремум: максимум при ^ <

(С < 0) и минимум при ^ >

(ОО);

2) если

О,

то экстремума а точке М^ нет;

3) если

О,

то требуется дополнительное исследование.

2°.

Функция нескольких независимых переменных

z{x.) (/ = 1,2, ... ,л) в точке Мо(х°) имеет максимум (ми-

нимум), если значение функции в этой точке больше (меньше)

ее значений в любой точке М{х^), расположенной в окрестно-

сти точки

, т. е. /{MQ)

f(M)

(/(М^)

< f(M)), для всех

М, удовлетворяющих условию М^М <£, где £>0 — доста-

точно малое число.

Необходимое условие экстремума. Если дифференцируе-

мая функция

Z =

z{x-) имеет экстремум в точке М^

{х^),

то в этой

точке ее частные производные равны нулю

М^П^О 0

1,2,

...,«).

(3)

дх^

Точки,

которых первые частные производные равны нулю,

называюся стационарными, однако не в каждой стационарной

точке функция имеет экстремум.

Достаточные условия экстремума. Пусть MQ(X°)— ста-

ционарная точка функции z = z(jc^), причем эта функция дваж-

ды дифференцируема и имеет непрерывные вторые частные

производные в точке М^. Тогда:

1) если второй дифференциал

J^z(Mo,A

JC^)<0

(z =

1,2,...,«),

то функция имеет в точке М^ максимум, а если

d/^z(Mo,A

xj>0 — минимум, причем Дх. =х^-х)';^0

(/ =

1,2,...,

п) одновременно;

2) если

(i^z(Mo,

Х-)

принимает как положительные, так и

отрицательные значения при различных значениях Ах., т. е. яв-

аИффЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ фУНКиИЙ

437

ляется знакопеременной функцией Ах., то точка

М^

не является

точкой экстремума функции;

3) если ^f^z(Mo,

X.)

при Ах^

{i-1,2,...

,п)

одновре-

менно,

то для

выяснения существования экстремума функции

требуются дополнительные исследования.

Если ввести обозначения

^х^,

(-^Г?-^!'

—Ю"^

(2-^

(/,

А:

= 1,2, ...

w),

то

достаточные условия экстремума

мо-

гут быть определены знаком квадратичной формы

от

перемен-

ных

Ахр ... ,Ах^.

Если квадратичная форма ^а^^Ах^Ах^^

является положительной, т.

е.

1^=1

а,

*1\

а.

4,22

^пХ

^п2

*\п

*1п

а^

>о,

(4)

ТО

в стационарной точке

(jc°,

Хз,...,

х°)

будет минимум; если

от-

рицательной,

то

максимум. Если квадратичная форма может

принимать значения противоположных знаков,

то

в стационар-

ной точке (xl'jX^,...

,х^)

экстремума

нет.

При

равенстве квадра-

тичной формы нулю требуются дополнительные исследования

на экстремум.

9.1.

Найти экстремум функции:

а)

х-х^—хуЛ-у^л-

9x-6j^

20;

б) Z = 3JCJ;-4JC-8>;; в) z =

хЧ/-6х +

27>^;

г) 2

+ (х-1)'(;;

1)';д)

z =

l~x^-j;^.

Решение,

а)

Находим частные производные

—-

2х

Эх

—

2j;

л:

6. Приравниваем производные нулю

находим ста-

Ъу

ционарную точку

438 Гпава 8

Г2х->; +

=0,

[х-2з;н-6 =0.

Из решения системы это будет точка х^ = -4,

J;^

= 1. Воп-

рос о характере экстремума решается с помощью достаточного

признака. Находим:

А^—Г"=2,

В- =

-1,

С = = 2 и

Эх ЭхЭу

Ъу^

D-

АС-В^ =4-1 = 3>0. Так как у4> О, то точка

(-4,1)

будет

точкой минимума функции г. Значение функции в этой точке

будет z^„=16 + 4-fl-36"6

20 = ~l.

б) Находим частные производные первого порядка:

—--Ъу-А\

-—

Эх

- 8. Приравнивая производные нулю, на-

Эх ду

ходим критические точки, которые лежат внутри области опре-

деления функции: 3>^-4 = 0, Зх-8 = 0, следовательно,

_8 _4

Воспользуемся теперь достаточным признаком. Для этого

найдем вторые производные:

А^—г~^'

^~ ^^'

^2 Эх дхду

о Z

с = —у = о. Поскольку

= л с -

JB^

= -9 < о, то экстремума в

ду

8 4

точке Хо=~,

у^=-яет.

в) Находим частные производные: — = 3x^-6,

Эх

т—

= 'iy^ +

Зл/

, приравниваем их к нулю и находим критичес-

ду

кие

точки:

Mj(V2,0) и М2(-л/2,0). Область определения функ-

ции:

-сх>

4-00,

0<j;<+^ представляет половину

плоскости, лежащую выше оси Ох и включающую ось Ох,

аИффЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИЙ 439

Поскольку точки Mj и М^ расположены не внутри области

определения функции, а на ее границе

О,

то они не являются

критическими.

Следовательно, исследуемая функция, как не имеющая кри-

тических точек, экстремума не имеет, т. к. граничные точки не

могут быть точками экстремума.

г) Находим частные производные

—-

= 2(x-l)(j; + l) ,

дх

-\ _ _

— = 4(х -1)

(>'

!) .

Из решения системы — = 0 и — = 0 нахо-

qy Эх Эу

ДИМ

единственную точку

MQ(1,-1)

Вычисляем вторые производные л =

—Y

^(>'

дх

^ = т-7- = 8(х-1)(;; + 1)\ с = ^ = 12(х-1)'(;; +

1)'

и значение

охду Эу

D = АС-В^ в критической точке М^(1;-\), Поскольку D = 0,

то требуется дополнительное исследование.

Рассмотрим знак приращения функции Az = z(M) -

Z(MQ)

окрестности точки

Если у^ <

-1,

то Az = (х

-1)^

(>^

+1)"^

> О,

а если

j;^^

-1,

то Az >

О.

Если

Хд^

< 1, то Az >

О;

если

Хд^

> 1, то

Az >

О.

Следовательно, вблизи М^ приращение Az >

и точка

Мо(1;-1) является точкой минимума z^^ =1.

dz 2 1

д) Находим частные производные: т~~~ТТг^'

дх 3 ijx

dz _ 2 \

V" - ~ 7г^

•

Частные производные

не

равны нулю ни при каких

значениях х,у и обращаются в бесконечность в точке М^ (0;0).

Следовательно, в точке

производные не существуют и точ-

ка

является критической, поскольку принадлежит области

определения функции.