Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)

Подождите немного. Документ загружается.

420 Гпава

Дифференциал функции будет dy = y^dx = --^—dx .

у-\

т^тт"

3z Ъ 2 д Z 2 2 2 2

7.3.

Найти

-—,

-ц-:—'

Т^'

если

X +>' +Z =а .

ах дхау

оу

Решение. Функция

z от

двух независимых переменных

за-

дана неявно. Полагая F(x,y,z) =

+у^-{-z^-а^

=0,

находим

сначала

по

формулам

(1) — и — :

дх

оу

_ ^^ - 9 ^^ - 9 3z _ X dz _ у

Эх

' ду ' dz ' дх z' ду Z

d^z

дх

первой производной

по х,

учитывая, что

есть функция

Вторую производную

-:—^

находим дифференцированием

х'

I / \ / Z-\ 2,2 2 2

_ d I X \ z-xz^ _ 2__ Z Л-х _у —а

дх^

z' z' z' z'

Смешанную производную

——

находим дифференцирова-

дхду

нием первой производной

по>^,

учитывая, что

есть функциями

a'z d ( х^

-""^у

ху

дхду

dy\ z

Аналогично

d'z^d(

у\ Z^yz'^^ ^ + 7"^ ^2^у^^2_^2

d/ dy{ z) z" z^ z' z'

y^ z'

7.4. Найти

d!z и d^z,

если

~т +

7Т

"Т~^-

о с

аИффЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ фУНКиИЙ

421

Решение. Дифференциал от функции

находится по форму-

ле dz

—dx-\--—dy. Поскольку функция задана неявно, то ча-

ох оу

стные производные находим по формулам (1), где

а b с

dF 2х dF 1у dF Iz

Ъх а

Ъх

с^ X

Ъу 'Ъ" Z

с'У

2 2

С X су

Таким образом, dz

—-—dx—т—dy.

а z b z

Дифференциал второго порядка находится по формуле

i2 ^ ^ т 2 .л ^^^ 1 1 ^^^ 1 2

d z

—jdx +2 dxdy

—-dy

i2 ^ ^ 1 2 r> ^ ^ 1 1 C^^i2

Вычислим частные производные второго порядка

a'z _ d

дх^ dx

f 2 \

С X

a^ z

a'z _ d

дхду dy

d'z _ d

dy^~ dy

' z'

'---1

- z-yz^

' z'

a^z^+c^x^

a a z

b'-/

2f 2

аЪ

c^xz\,

2 1

a z

aV z' '

2 L2_2 , ^2_2

b' b'z'

c' a'-x'

2i2 3

a'b

Отсюда,

d'z

-[{b^

-y^)dx^ +2xydxdy

(a^

-x^)dy^).

aVz'

7.5.

Неявные функции

и у заданы системой

422 Гпава 8

+ x +

+ z = 0,

Найти частныепроизводные —,—.

Ъz dz

Решение. Полагая F^(u,v,x,y,z)

u-\'V

x-\-y

z и

F^{u,v,x,y,z)

+и^ +xV/ 4-z^ -/г^ система для определе-

ния -- и —, аналогичная системе (3), имеет вид

dz az

—^

—^—

—-— = 0,

OZ ди dz dv dz

Э^2 dF, du . dF, dv

- +

•

= 0.

Отсюда

dz du dz dv dz

du dv

dz dz

r^ du ^ dv ^

—

2v —

dz dz

Решая данную систему относительно производных, получим

du _V'-z dv __z-u

dz u-v' dz u-v

Решим этот пример вторым способом. Найдем дифферен-

циалы от заданных функций

{

du-vdv

dy-^dz

udu + vdv + xdx

-h

ydy + zdz

Решим полученную систему относительно

du,

v-x , v-y , v-z J

+ —dy +

dz,

u-v u-v

x—u

, y—u

u-v u-v

u-v

dy-\ az.

u-v

аИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИЙ

423

Сравнивая эти выражения с полными дифференциалами,

будем иметь

ди _^v-z dv _ Z-U

dz u-v' dz u-v '

Замечание, Из формул для du, dv следует, что

ди _v

—

x dv _х-и ди _v-y dv ^у-и

дх u-v' дх u-v' ду u-v' ду u-v '

7.6. Функции

независимой переменной х заданы систе-

мой

уравнений:

и^

-\-v^

х',

2УЧ3JC'=

Найти

d\ d^v

dx^ dx^

Решение. Функции заданы неявно. Полагая

F,(w,t^,Jc)

= w^^-t;^-д:^ F^{u,v,x)

+2v^

-{-Зх^

-\, находим

сначала систему (3)

^ du ^ dv ^

2и

—

2t;

2х = 0,

dx dx

^ du . dv ^ ^

2и

—

4v — + 6х = 0.

dx dx

Отсюда первые производные:

du 5х dv

dx и dx

Дифференцируя повторно, получим

4£

dx dx

d^v _d i

' ~ dx\

= 5-

^^^ц'-5х'

v-x-

= -4-

dx _

= -4

v^+4x^

dx йх\ и ) V v^

in.

Функции

независимой переменной x заданы систе-

мой уравнений

+ х =

О,

uvx = 1. Найти: d^u, d^v .

424 Гпава 8

Решение. Дифференцируя, находим уравнения, связываю-

щие дифференциалы всех трех переменных

{

du-\-dv-\-dx-^,

XV du + uxdv + uvdx

—

Решая эту систему относительно дифференциалов du.dv,

будем иметь

u{v-x) , , v{x-u) ,

- ~ dx, dv = -^——^ dx

x{u-v) x{u-v)

Дифференцируем повторно

2 _

{du{v

-x)

u{dv - dx))dx{u - v)x -

u{v

- x)dx{dx{u - v)

x\u-vf

x(du-dv)) _ (u(v-x)^ +u(v{x-u)-x{u-v)))x(u-v) , 2

X {u-vy X {u-vy

-u{v-x){x{u-vY +x{u{v-x)-v{x-u))) 2

dx' =

x^wvf

_ ia{{v^ +x^ -uv-xu){u-v)'-{v-x){u^ +v^ -ux-xv)) ^2

"^ x^u-uf

~ I CIX

x\u-vf

2 __{dv{x-u)+v{l-'du))x{u-v)dx--v{x-u)dx{{u-v)dx+x{du-dv)) _

^" ^^{u-vf "

_ {v{x -uf +

v{x{u

-v)-u{v-

x)))x{u

- y) , 2

"" x\u-vf

-v{x-u){x{u-vy +x{u{v-x)-v{x-u))) 2

.3/.

..\3

x\u-vy

dx'==

vx{{{x-u) +{xu-xv-vu

ia))x{u-v) 2

г г CLX i

x\u-vf

ПИффЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИЙ

425

-(лс

t/)((w

- vf ^-{uv-ux'-vxл- uv)))

dx^ =

x\u-vf

vx{(x^ +u^ +v^)(u-v)-(x-u)(u^ +u^ +x^)) 2

x\u-vf

3(u^+v^+x^) , 2

dx' =

, dx'=-d'u

x\u-vf

7.8. функции uHV независимых переменных x и у заданы

неявно системой уравнений: xu-\-yv

0, u

Ъ\ Ъ\ д'и d'v d'v d'v

Найти —-, , —-, —-, , —-.

Эх дхду ду дх дхду ду

Решение. Найдем сначала первые частные

производные.

По-

лагая F^{u,v,X,у)

хи

yv и F2(UyV,x,у)

+ V + X +

у-I,нахО'

ди dv

ДИМ

систему (3) для определения

дх ' Эх

ды dv

х-—

у--

+ и =

ох ох

ди dv

дх дх

Решая эту систему относительно производных, получим:

dv _и-х ди _у

— и

дх х-у дх х-у '

Аналогично

ди dv

x—-\'y—-

ду оу

ди dv

dy dy

426

Гпава 8

ди y-v dv v-x

откуда:

—-

= , -—= .

ду х-у ду х-у

Повторно дифференцируя и учитывая, что функции u,v за-

висят от переменных х,у, будем иметь:

дх^ Эх

д'и

у-и

х-у)

_ дх

— (х-у)-{у-и)

(Х-УУ

2(и-у)

(x-yf

дхду ду

ду' ду

Ь^^д/

дх' дх

д'у ^д^

дхду дх

д/ ~ ду

—и

ух-у

ди

ду

\{х-у)

{у-и)

y-v

х-у

ду

{x-yf

ix-y)

{y-v)

x-y+v-u

(x-yf

2{x-v)

(x-yf ix-yf

u-x

[x-y)

-—1 \(x-y)-(u-x) ^, s.

дх у ^' ' ^2{y-u)

^x-yf

v-x

{x-y

v-x

дх

{х-уУ

-1 Vx-y)-{v-x)

x-y

{Х-УУ

— {x-y)

{v-x)

{Х-УУ

y—x+u—v

(Х-УУ

2{v-x)

(Х-УУ

7.9. Функции u,v независимых переменных x,y заданы неяв-

но системой уравнений: u

x, uv

y, Найти d\, d^v .

Решение. Найдем сначала dundv. Для этого продифферен-

цируем заданные уравнения

аИФФЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКЦИЙ 427

{

dx,

vdu

udv

dy.

Решая эту систему относительно

и dv, получим

udx-dy , dy-vdx

du = —, dv

— .

u-v u-v

Дифференцируем повторно

2 _ dudx(u -v)- (udx - dy)(du - dv) _

"~ {u-vf ~

_ {udx - dy)dx(u -v)- (udx - dy - dy + vdx)(udx - dy) __

_ (udx

—

vdx - udx + 2dy

—

vdx)(udx

—

dy) _ 2(dy

—

vdx)(udx

—

dy) _

" (u-vf " (u-vf "

_ 2(udxdy - (dyf - uv(dxf + vdxdy _

2(uv(dx)^

- (w+v)dxdy+(dyf )

(u-vf (u-vf

-2 -dvdx(u -v)- (dy - vdx)(du - dv)

= :; =

(u-vf

_ -(dy—vdx){u - v)dx - (dy - vdx)(udx - Idy

vdx) _

~ (u-vf ~

(-udx+vdx

- udx+2dy - vdx)(dy - vdx) _ 2(dy - udx)(dy - vdx) _

~ (u-vf ~ (u-vf ~

2 ((dyf - udxdy - vdxdy + uv(dxf )

~ (u-vf ~

_ 2(uv(dxf - (» + v)dxdy + (dyf ) _ 2

~ (u-vf "

428

Гпава 8

7.10. Найти —, —, если X =

MI;,

J =

Z^U-V.

Эх Ъу

Решение.

Функция задана параметрически. Дифференцируя,

находим систему из трех уравнений, связывающую дифферен-

циалы всех переменных

\dx-vdu-^udv',

<dy

dv;

[dz

du'dv.

Из первых двух уравнений находим дифференциалы

и dv

dx-udy , dx

—

vdy

du= —; dv = —,

v-u u-v

Подставляя найденные выражения в третье уравнение и

сравнивая с полным дифференциалом dz, будем иметь

dz =

dx-udy dx-vdy

v-u

Эх

u-v

2 ^

-V

u-v

dy-

U-V dy u-v '

7.11.

Найти dz, если x =

sin a,

cos

Решение. Функция задана параметрически. Дифференцируя

все три выражения, находим три уравнения, связывающие диф-

ференциалы всех пяти переменных

sin vdu +

е"

cos

vdv,

ё"

cos

vdu -

ё*

sin vdv,

vdu

udv.

Из первых двух уравнений находим duKdv:

smvdx-\-co^vdy

dv =

cos vdx-sin vdy

аИффЕРЕНиИАПЬНОЕ ИСЧИСПЕНИЕ ФУНКиИЙ 429

Подставляя

du,

dv в третье уравнение, получим

— (sin vdx +

cos

vdy) + —

(cos

vdx - sin

vdy)

e" e"

e~"

((v sinv

+ u

cos v)dx + (v

cos

v-usin

v)dy)

•

8.8. Замена переменных

в дифференциальных выражениях

в некоторых дифференциальных выражениях производные

по одним переменным целесообразно выразить через производ-

ные по другим

переменным.

Для этого используются правила

диф-

ференцирования сложных функций.

8.1.

Преобразовать дифференциальное уравнение

2ч

^V dy ^

(1-^

)-7Т""-^Т~ + >'==^'Г10лагая x = sin^

dx dx

Решение. Выразим производные от j по х через производ-

ные от j по t\

dy^ dy^

dy ^dt ^ dt

dx dx^ cos^?

d^y _ d

dx^ dx

dy^ dt

dy\ d^y dy . ^

— —f cosr + -^sm^

dx _ dt^ Л

dx ] dx^ cos^/cos^

_ 1 d^y sint dy

cos^

t dt^ cos^ t dt

Подставл51я полученные производные

данное уравнение

заменяя х на sin t, будем иметь